新教材北师大版步步高选择性必修一【学案+同步课件】第六章 章末复习课

一、条件概率与全概率公式

1．求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝求解；另一种是缩小样本空间，即以A为样本空间计算AB的概率．

2．掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养．

例1　采购员要购买10个一包的电器元件．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品．求：

(1)采购员拒绝购买的概率；

(2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率．

解　B1＝{取到的是含4个次品的包 }，

B2＝{取到的是含1个次品的包 }，

A＝{采购员拒绝购买}，

P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.7.

P(A|B1)＝1－＝，

P(A|B2)＝1－＝.

(1)由全概率公式得到

P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)

＝×＋×＝.

(2)P(B1|A)＝＝＝.

反思感悟　条件概率的计算要注意以下三点

(1)明白是在谁的条件下，计算谁的概率．

(2)明确P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者间的关系，实现三者间的互化．

(3)理解全概率公式P(A)＝(Bi)P(A|Bi)中化整为零的计算思想．

跟踪训练1　某小组有20名射手，其中1,2,3,4级射手分别为2,6,9,3名．又若选1,2,3,4级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85,0.64,0.45,0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组比赛中射中目标的概率为(　　)

A．0.542 2   B．0.612 3

C．0.527 5   D．0.324 5

答案　C

解析　设B表示“该小组比赛中射中目标”，

Ai(i＝1,2,3,4)表示“选i级射手参加比赛”，

则P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝×0.85＋×0.64＋×0.45＋×0.32＝0.527 5.

二、离散型随机变量的分布列、均值和方差

1．均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛．

2．通过求离散型随机变量的分布列，培养数学运算、逻辑推理等核心素养．

命题角度1　二项分布的均值、方差

例2　某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的．

(1)求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率．

(2)设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X，Y，求随机变量X，Y的均值EX，EY和方差DX，DY，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．

解　(1)甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率P＝×2＝.

(2)甲班级能正确回答题目的人数为X，则X的可能取值为1,2，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

则EX＝1×＋2×＝，

DX＝2×＋2×＝.

乙班级能正确回答题目的人数为Y，则Y的可能取值为0,1,2.所以Y～B，

∴EY＝2×＝，DY＝2××＝.

由EX＝EY，DX<DY可知，由甲班级代表学校参加大赛更好．

命题角度2　超几何分布的均值、方差

例3　某学院为了调查本校学生4月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5)，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．

(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；

(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及均值EY.

解　(1)由图可知健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.

(2)随机变量Y的所有可能取值为0,1,2，

且Y服从超几何分布．

所以P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，

P(Y＝2)＝＝.

所以Y的分布列为

所以EY＝1×＋2×＝.

反思感悟　求离散型随机变量X的均值与方差的步骤

(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值．

(2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)．

(3)写出X的分布列．

(4)由分布列和均值的定义求出EX.

(5)由方差的定义，求DX，若X～B(n，p)，则可直接利用公式求，EX＝np，DX＝np(1－p)．

跟踪训练2　某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：

(1)若购进这批生蚝500 kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；

(2)将频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5,25)间的生蚝的个数为X，求X的分布列及均值．

解　(1)由表格中的数据可估算出这批生蚝质量的平均数为

＝28.5(g)，因为购进生蚝500 kg，

所以这批生蚝的数量为≈17 544(只)．

(2)由表格中的数据可知，任意挑选一只，

质量在[5,25)的概率为＝，

由题意可知，X～B，

随机变量X的可能取值有0,1,2,3,4，

则P(X＝0)＝4＝，

P(X＝1)＝C··3＝，

P(X＝2)＝C·2·2＝，

P(X＝3)＝C·3·＝，

P(X＝4)＝4＝.

所以随机变量X的分布列为

因此，随机变量X的均值为EX＝4×＝.

三、正态分布的综合应用

1．正态分布是连续型随机变量X的一种分布，其在概率和统计中占有重要地位，尤其是统计学中的3σ原则在生产生活中有广泛的应用．

2．熟记正态分布的特征及应用3σ原则解决实际问题是本章的两个重点，在学习中提升直观想象、数据分析的素养．

例4　“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，得到如下的频率分布直方图．

(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(38.45，50.4]内的概率；

②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于[10,30)内的包数为X，求X的分布列和均值及方差．

附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝≈11.95；

②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0.954 4.

解　(1)根据频率分布直方图可得各组的频率为

[0,10)的频率为0.010×10＝0.1，

[10,20)的频率为0.020×10＝0.2，

[20,30)的频率为0.030×10＝0.3，

[30,40)的频率为0.025×10＝0.25，

[40,50]的频率为0.015×10＝0.15，

∴所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.

(2)①∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，

且μ＝26.5，σ≈11.95，

P(38.45<Z≤50.4)

＝[P(26.5－2×11.95<Z≤26.5＋2×11.95)－P(26.5－11.95<Z≤26.5＋11.95)]

≈(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，

∴Z落在(38.45,50.4]内的概率是0.135 9.

②根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于[10,30)内的概率为0.2＋0.3＝0.5，

∴X～B，

X的可能取值分别为0,1,2,3,4，

P(X＝0)＝C4＝，

P(X＝1)＝C4＝，

P(X＝2)＝C4＝，

P(X＝3)＝C4＝，

P(X＝4)＝C4＝，

∴X的分布列为

∵X～B，

∴EX＝4×＝2，DX＝4××＝1.

反思感悟　利用正态曲线解决实际性问题时常利用其对称性解题，并注意借助(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率值求解，并注意正态曲线与频率分布直方图的结合．

跟踪训练3　某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69,49)．

(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在(62,90]内的概率；

(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.从这12个数据中随机选取4个，记X表示大于总体平均分的个数，求X的方差．

参考数据：若Y～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Y≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ<Y≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ<Y≤μ＋3σ)≈0.997 4.

解　(1)设学生的普通话测试成绩为Y，则其服从正态分布N(69,49)，所以μ＝69，σ＝7，

所以P(62<Y≤90)＝P(μ－σ<Y≤μ＋3σ)

≈＝0.84.

(2)因为总体平均分为μ＝69，

所以这12个数据中大于总体平均分的有3个，

所以X的可能取值为0,1,2,3，

则P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，

所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝1，

DX＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(3－1)2×＝.