新教材北师大版学习笔记必修一第一章 §4 培优课 不等式恒成立、能成立问题【学案+同步课件】

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培优课　不等式恒成立、能成立问题
第一章　§4　一元二次函数与一元二次不等式
学习目标
学习目标
会用判别式法、分离参数法、数形结合等方法解决不等式中的恒成立、能成立问题.
内容索引
在R上的恒成立问题

一
　　已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围.
当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意.当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立，∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.
综上，实数k的取值范围是{k|－1反思感悟
图①
反思感悟
图②
(3)若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0.
　　　若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是
√
当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意；
在给定区间上恒成立的问题

二
　　(1)当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围.
令y＝x2＋mx＋4.∵y<0在1≤x≤2上恒成立.∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.
∴m的取值范围是{m|m<－5}.
(2)若不等式mx2－mx－6＋m<0对满足1≤m≤3的所有m均成立，求实数x的取值范围.
方法一　mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)·m－6<0，
方法二　mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0，设y＝(x2－x＋1)m－6，该函数为以m为自变量的一次函数，
∵1≤m≤3，∴该函数的图象为一条线段，要使y＝(x2－x＋1)m－6<0对满足1≤m≤3的所有m均成立，
反思感悟
对于含参数的不等式在某一区间上恒成立问题，求解时主要有两种方法(1)分离参数法，可转化为m>ymax或m0时，ax2＋bx＋c<0在x∈[α，β]上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.
反思感悟
②a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈[α，β]上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.(3)已知参数的取值范围，求变量的取值范围时，常常把变量和参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解.
　　　若对任意的－3≤x≤－1都有ax2－x－3<0成立，则实数a的取值范围是______.
a<0
简单的能成立问题

三
　　当10有解，则实数m的取值范围为__________.
{m|m>－5}
方法一　记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(10或2m＋8>0，解得m>－5.
显然－m＜5，即m＞－5.∴实数m的取值范围为{m|m>－5}.
反思感悟
含参数的不等式在某一区间上能成立问题，求解时主要有两种方法(1)分离参数法，可转化为m>ymin或m∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，∴m≥2x2－8x＋6能成立，令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴m≥－2，∴m的取值范围为{m|m≥－2}.
课堂小结
1.知识清单： (1)在R上的恒成立问题. (2)给定区间上的恒成立问题. (3)解决简单的能成立问题.2.方法归纳：等价转换、数形结合.3.常见误区：要注意端点值的取舍.
随堂演练

1.若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是A.m≥2 B.m≤－2C.m≤－2或m≥2 D.－2≤m≤2
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不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2，∴实数m的取值范围是－2≤m≤2.
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A.m≥2 B.0√
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当m≠0时，mx2＋2mx＋2≥0恒成立，
综上，0≤m≤2.
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3.已知1≤x≤2，x2－ax>0恒成立，则实数a的取值范围是A.a≥1 B.a>1C.a≤1 D.a<1
√
因为1≤x≤2，故x>0，故x2－ax>0在1≤x≤2上恒成立等价于x－a>0在1≤x≤2上恒成立，故1－a>0，即a<1.
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－41
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∴k≥－4，即k的最小值为－4.
－4
课时对点练

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1.一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是
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2.若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是A.{m|m≤－2或m≥2} B.{m|－2≤m≤2}C.{m|m<－2或m>2} D.{m|－2√
因为关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，所以Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.
3.已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是A.{a|－4≤a≤4} B.{a|－44}
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由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4.
4.已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为A.{a|－1≤a≤4} B.{a|－11
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由题意知，－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4.
5.(多选)不等式ax2－2x＋1<0的解集非空的必要不充分条件是A.a<1 B.a≤1C.a<2 D.a<0
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所以a<1，结合选项，ax2－2x＋1<0的解集非空的必要不充分条件为a≤1或a<2.
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{m|m<－1或m>4}
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解得m>4或m<－1.
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1≤m≤9
7.若不等式x2＋(m－3)x＋m<0无解，则实数m的取值范围是_________.
x2＋(m－3)x＋m<0无解，Δ＝(m－3)2－4m＝m2－10m＋9≤0，解得1≤m≤9.
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{k|－38.若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是_____________.
当k＝1时，－1<0恒成立；
解得－31
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9.∀x∈[2,3]，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围.
由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1，因为x∈[2,3]，所以x2－x>0，
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原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，解得a≤－1或a≥4，∴实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥4}.
10.(1)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；
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(2)关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，求实数a的取值范围.
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①若a2－1＝0，即a＝±1时，若a＝1，不等式变为－1<0，解集为R；
∴a＝1时满足条件.
11.设p：“∀x∈R，x2－mx＋1>0”，q：“－2≤m≤2”，则p是q成立的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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∵∀x∈R，x2－mx＋1>0，∴Δ＝m2－4<0，∴－212.(多选)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是A.6 B.7 C.8 D.9
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设y＝x2－6x＋a，其图象是开口向上，对称轴为直线x＝3的抛物线，如图所示.
又a∈Z，故a可以为6,7,8.
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[0,8]
13.命题“∃x∈R，ax2＋ax＋2<0”为假命题，则实数a的取值范围是______.
因为命题“∃x∈R，ax2＋ax＋2<0”为假命题，所以命题“∀x∈R，ax2＋ax＋2≥0”为真命题，当a＝0时，2≥0恒成立，则a＝0；
综上，实数a的取值范围是[0,8].
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令y＝ax2＋(a－2)x－2＝(x2＋x)a－2x－2，是关于a的函数，由题意得 (x2＋x)－2x－2＞0或 (x2＋x)·3－2x－2＞0.即x2 －x－2＞0①，或3x2＋x－2＞0②.
14.若存在1≤a≤3，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围为_________________.
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15.在R上定义运算：x⊗y＝x(1－y)，若∃x∈R使得(x－a)⊗(x＋a)>1成立，则实数a的取值范围是
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由题意知(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]
∴若∃x∈R，使得不等式(x－a)⊗(x＋a)>1成立，
16.不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，求实数λ的取值范围.
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因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，由一元二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.即实数λ的取值范围为{λ|－8≤λ≤4}.