新教材北师大版学习笔记必修一第一章 3【学案+同步课件】.1 不等式的性质

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3.1　不等式的性质第一章　§3　不等式学习目标1.初步学会作差法比较两实数(代数式)的大小.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.导语大家知道，相等关系与不等关系是数学也是日常生活中最基本的关系.古有“远看山有色，近听水无声”，今有“死有重于泰山，有轻于鸿毛”.看一看，大家能发现有哪些不等关系？内容索引比较大小 一问题1　在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？提示　设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab，如图所示.知识梳理1.不等关系与不等式(1)在生活中，存在着形形色色的数量关系，既有相等关系，又有不等关系.在数学中，用不等式来表示不等关系.(2)我们经常应用不等式来研究含有不等关系的问题.常用的不等号有2.作差法比较两实数(代数式)大小a－b>0a－b＝0a－b<0差0(1)比较两实数(代数式)的大小常用作差法，作差后需对差式进行恒等变形，常采用配方、因式分解、有理化、通分等方法，直到能明显判断出其正负号(通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积或商的形式)为止.(2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小.注意点：　　(1)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小；(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).∵a>0，b>0，且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0，∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.作差法比较大小的步骤：作差—变形—判断差的符号－得出结论，需要注意的是只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式. 反思感悟　　　已知x<1，试比较x3－1与2x2－2x的大小.∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2∴x3－1<2x2－2x.不等式的性质 二问题2　判断下列命题是否正确？(1)如果a＝b，那么b＝a；(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c；(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c；(4)如果a＝b，那么ac＝bc；提示　以上均正确，这些都是等式的基本性质.知识梳理不等式的性质>>ac>bcacb＋dac>bd>>(1)在应用性质3时，应特别注意c的符号，当c≠0时，a>b⇒ac2>bc2；若没有c≠0这个条件，则a>b⇒ac2>bc2是错误的.(2)在使用不等式的性质时，一定要弄清不等式成立的条件，如性质4中只有同向不等式相加，而没有不等式相减.若判断不等式相减可转化为加上负的.注意点：　　对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是A.若a>b，则ac2>bc2√方法一　∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题.方法二　(特殊值排除法)取c＝0，则ac2＝bc2，故A是假命题；反思感悟利用不等式的性质判断命题真假的方法(1)综合法：运用不等式的性质判断或证明，特别要注意不等式成立的条件.(2)特殊值法：解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.(3)作差法：将结论移项作差后，判断符号.　　　(1)(多选)已知a，b为非零实数，且a0，则a＋bb3，④正确.故不正确的不等式的个数为2.①|a|>|b|，②ab3.则不正确的不等式的个数是A.0 B.1 C.2 D.3√利用不等式的性质求范围 三　　已知120，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是A.a>b>－b>－a B.a>－b>－a>bC.a>－b>b>－a D.a>b>－a>－b1234√5由a＋b>0知，a>－b，∴－a0，∴a>－b>b>－a.2.已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是1234√5当c＝0时，A不成立；当c<0时，B不成立；同理可证D不成立.12343.设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则A.a>b B.a0，那么下列不等式中正确的是√C.a2|b|123456789101112131415162.已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是A.P>Q B.P≥QC.PQ.123456789101112131415163.若a>b>0，c－d>0，12345678910111213141516A.正数 B.负数C.非正数 D.非负数√∵a>b>c，∴b－c>0，c－a<0，b－a<0，A.b>a>c B.c>b>aC.a>b>c D.c>a>b12345678910111213141516√12345678910111213141516即b>a>c.123456789101112131415166.已知a，b为实数，且a≠b，a<0，则a_____2b－.(填“>”“<”或“＝”)<∵a≠b，a<0，123456789101112131415167.已知－1≤xb>1，c<0，②∵－c>0，∴a·(－c)>b·(－c)，∴－ac>－bc，∴acb>1，－c>0，∴a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)>0，∴a(b－c)>b(a－c)，故正确；123456789101112131415169.判断下列各命题的真假，并说明理由.12345678910111213141516∴是假命题.(3)若a>b，且k∈N＋，则ak>bk；假命题.当a＝1，b＝－2，k＝2时，显然命题不成立，∴是假命题.12345678910111213141516(4)若a>b，b>c，则a－b>b－c.假命题.当a＝2，b＝0，c＝－3时，满足a>b，b>c这两个条件，但是a－b＝20，b>0，求证：(a2＋b2)2≥4a2b2，当且仅当a＝b时等号成立.(a2＋b2)2－4a2b2＝a4＋b4＋2a2b2－4a2b2＝a4＋b4－2a2b2＝(a2－b2)2≥0，当且仅当a2＝b2时取等号.又∵a>0，b>0，∴当且仅当a＝b时取等号，即(a2＋b2)2≥4a2b2，当且仅当a＝b时等号成立.1234567891011121314151611.已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是A.c≥b>a B.a>c≥bC.c>b>a D.a>c>b√12345678910111213141516因为c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，所以c≥b；综上，c≥b>a.12.已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是A.xy>yz B.xz>yzC.xy>xz D.x|y|>z|y|12345678910111213141516√因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0,3za－1，∴a－10，所以0<|a|＋b<18，综上0<|a|＋b<18，即0