数学第一章 直线与圆1 直线与直线的方程1.3 直线的方程课文内容课件ppt

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1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程.
2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围.
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线.怎样表示直线的方程呢？
问题1　我们知道已知两点也可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程.若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程________________，我们把它称为直线的两点式方程，简称 .
(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示.(2)两点式方程与这两个点的顺序无关.(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等.
　　已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中：(1)求BC边所在的直线方程；
BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
即2x＋5y＋10＝0，故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0.
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
设BC的中点为M(a，b)，
又BC边的中线过点A(－3,2)，
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
利用两点式求直线的方程首先要判断是否满足两点式方程的适用条件.若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程.
　　　(1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为_______________.
因为直线过点(－2,1)和(3，－3)，
化简得4x＋5y＋3＝0.
(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程.
由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在.①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
问题2　若给定直线上两点A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？
通常，称方程 (其中ab≠0)为直线方程的截距式.其中，a为直线与x轴交点的横坐标(即直线在x轴上的截距)，b为直线与y轴交点的纵坐标(即直线在y轴上的截距).
(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程.(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图.(3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示.(4)过原点的直线的横、纵截距都为零.
　　求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
延伸探究1.若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？
(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，
(2)当直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，
综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0.
2.若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？
所以直线l的方程为x＋y－7＝0.(2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.(3)要注意截距式方程的逆向应用.
　　　已知直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点为P(4,1)，求直线l的方程.
设A(a,0)，B(0，b)，
　　直线l过定点A(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程.
因为点A(－2,3)在直线l上，
又因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4，
即9x＋2y＋12＝0或x＋2y－4＝0.
涉及直线与坐标轴围成的面积问题，往往用直线在坐标轴上的截距解答.注意面积公式中截距加绝对值.
　　　直线l过点P　　 ，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点.当△AOB的周长为12时，求直线l的方程.
两边平方整理得ab－12(a＋b)＋72＝0.①
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
1.知识清单： (1)直线的两点式方程. (2)直线的截距式方程.2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法.3.常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解.
1.在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是
∵所求直线过点(1,2)，(5,3)，
2.过(1,2)，(5,3)的直线方程是
3.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为_______________________.
当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；当在坐标轴上的截距不为零时，
将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，得直线方程为x－y＋1＝0.∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
4.已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为______________.
AB的中点坐标为(1,3)，
1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1C.y＝x＋2 D.y＝－x－2
2.已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是A.1 B.－1C.－2或－1 D.－2或1
∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，
A.a>0，b>0 B.a>0，b<0C.a<0，b>0 D.a<0，b<0
因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0.
4.经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为A.2 　　　B.－3　　　 C.－27 　　　 D.27
即x＋5y－27＝0，令y＝0，得x＝27.
5.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为A.2x＋y－8＝0 B.2x－y＋8＝0C.2x＋y－12＝0 D.2x－y－12＝0
由中点坐标公式可得M(2,4)，N(3,2)，
7.过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________.
由题意知直线过点(2,0)，
整理得3x＋y－6＝0.
8.若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝______.
即x＋y－1＝0.又点P(3，m)在直线AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2.
9.求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程.
故所求直线方程为2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
10.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8，0).(1)求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程.
由题意，得点D的坐标为(－4,2)，
即2x－y＋10＝0.
11.(多选)下列说法正确的是A.经过定点P(x0，y0)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y－y0　＝k(x－x0)B.经过定点A(0，b)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y＝kx＋bC.不经过原点的直线的方程都可以表示为D.经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的方程都可以表示为　(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)
经过定点P(x0，y0)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y－y0＝k(x－x0)，故A正确；经过定点A(0，b)的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y＝kx＋b，故B正确；
经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的方程都可以表示为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，故D正确.
12.已知△ABC的三个顶点分别为A(2,8)，B(－4,0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为A.2x－y＋4＝0 B.x＋2y＋4＝0C.2x＋y－4＝0 D.x－2y＋4＝0
由A(2,8)，C(6,0)，得AC的中点坐标为D(4，4)，则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D(4,4)，
于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足.
14.已知直线l过点(2,3)，且在x轴上的截距是在y轴上截距的两倍，则直线l的方程为________________________.
3x－2y＝0或x＋2y－8＝0
若l在坐标轴上的截距均为0，即l过原点时，满足题意，
当l在坐标轴上的截距不为0时，设其在y轴上的截距为b，
所以l的方程为x＋2y－8＝0.综上，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋2y－8＝0.
15.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_____.
16.过点P(1,1)的直线与x轴正半轴相交于点A(a,0)，与y轴正半轴相交于点B(0，b)，当2|OA|＋|OB|取最小值时，求直线的截距式方程.