新教材北师大版步步高选择性必修一【学案+同步课件】第三章 再练一课(范围：§1～§3)

再练一课(范围：§1～§3)

一、单项选择题

1．在空间直角坐标系中，已知点P(3，－2，－5)，点Q与点P关于xOz平面对称，则点Q的坐标是(　　)

A．(－3,2,5)   B．(3，－2,5)

C．(3,2，－5)   D．(－3，－2，－5)

答案　C

解析　在空间直角坐标系中，点P(3，－2，－5)，

因为点Q与点P关于xOz平面对称，

所以点Q的坐标是(3,2，－5)．

2．已知向量a＝(2,1,2)，b＝(－2，x,2)，c＝(4，－2,1)，若b⊥(a＋c)，则x的值为(　　)

A．－2  B．2  C．－6  D．6

答案　C

解析　因为a＝(2,1,2)，b＝(－2，x,2)，c＝(4，－2，1)，

所以a＋c＝(6，－1,3)，

又b⊥(a＋c)，

所以－12－x＋6＝0，

解得x＝－6.

3．设x，y∈R，向量a＝(x,1,1)，b＝(1，y,1)，c＝(2，－4,2)，且a⊥b，b∥c，则|a＋b|等于(　　)

A．2  B.  C．3  D．4

答案　C

解析　 ∵b∥c，

∴2y＝－4×1，

∴y＝－2，∴b＝(1，－2,1)，

∵a⊥b，

∴a·b＝x＋1×(－2)＋1＝0，

∴x＝1，

∴a＝(1,1,1)，

∴a＋b＝(2，－1,2)，

∴|a＋b|＝＝3.

4．在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋＋λ，若M，A，B，C四点共面，则λ等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　因为M，A，B，C四点共面，

所以＋＋λ＝1，

解得λ＝.

5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则cos〈，〉为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(1,1，)，D1(0,0，)，

所以＝(－1,0，)，＝(1,1，)，

所以cos〈，〉＝＝＝.

6．在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，|cos〈，〉|＝，则该四面体的体积为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　以B为原点，BC，BA，BD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设BD＝a，

则A(0,1,0)，B(0,0,0)，E，D(0,0，a) ，

＝(0，－1，a)，＝，

|cos〈，〉|＝

＝＝，

解得a＝2，

该四面体的体积为××1×1×2＝ .

二、多项选择题

7．已知空间向量a＝(－2，－1,1)，b＝(3,4,5)，则下列结论正确的是(　　)

A．(2a＋b)∥a

B．5|a|＝|b|

C．a⊥(5a＋6b)

D．a与b夹角的余弦值为－

答案　BCD

解析　对于A，∵2a＋b＝(－1,2,7)，

∴≠≠，A错误；

对于B，∵|a|＝＝，

|b|＝＝5，

∴5|a|＝|b|＝5，B正确；

对于C，∵a·(5a＋6b)＝5a2＋6a·b＝30＋6×(－6－4＋5)＝0，

∴a⊥(5a＋6b)，C正确；

对于D，∵a·b＝－6－4＋5＝－5，

∴cos〈a，b〉＝＝＝－，D正确．

8.如图，已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则(　　)

A.·(－)＝0

B．(＋＋)2＝62

C．向量与向量的夹角是60°

D．向量与向量的夹角是45°

答案　ABD

解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体棱长为2，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，B1(2,0,2)，C(2,2,0)，D(0，2,0)，D1(0，2,2)，

所以＝(2,2，－2)，－＝＝(2,0,2)，

因此·(－)＝·＝4－4＝0；故A正确；

又＋＋＝＋＝(－2,0，－2)＋(0,2，－2)＝(－2,2，－4)，＝(－2,0,0)，

所以(＋＋)2＝4＋4＋16＝24,62＝24，

因此(＋＋)2＝62，即B正确；

因为＝(2,0，－2)，＝(0,2,2)，

所以cos〈，〉＝＝＝－，

因此向量与向量的夹角是120°，故C错误；

因为E，F分别是BC，A1C的中点，

所以E(2,1,0)，F(1,1,1)，

则＝(－1,0,1)，

又＝(0,0,2)，

所以cos〈，〉＝＝＝，

所以向量与向量的夹角为45°，即D正确．

三、填空题

9．已知e1 ，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为________．

答案　e1

解析　(e1＋e2)·e1＝|e1|2＋e2·e1＝1＋1×1×＝，向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为e1＝e1.

10.如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为一组基，则＝________________.

答案　－－＋

解析　由题意，连接AE(图略)，

则＝－＝＋－

＝＋(－)－×(＋)

＝－－＋.

11．已知在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为__________________．

答案　

解析　如图所示，

＝＋＝＋＋，

故||2＝|＋＋|2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)

＝42＋32＋52＋2

＝85，

故||＝，即AC′的长为.

12.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则cos〈，〉＝________.

答案　－

解析　由题设易知，AB，AD，AQ两两垂直．以A为原点，AB，AD，AQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方形边长为2，则A(0,0,0)，E(1，0,0)，M(0,1,2)，F(2,1,0)，

＝(－1,1,2)，＝(2,1,0)，

cos〈，〉＝＝＝－.

四、解答题

13．已知空间三点A(2,1,0)，B(2,2,1)，C(0,1,2)．

(1)求·的值；

(2)若(＋k)⊥(＋)，求k的值．

解　(1)因为A(2,1,0)，B(2,2,1)，

所以＝(0,1,1)．

又C(0,1,2)，所以＝(－2,0,2)，

所以·＝0×(－2)＋1×0＋1×2＝2.

(2)由(1)可知＝(0,1,1)，＝(－2,0,2)，

所以＋k＝(－2k,1,2k＋1)，

＋＝(－2,1,3)．

因为(＋k)⊥(＋)，

所以4k＋1＋3(2k＋1)＝0，解得k＝－.

14．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．

(1)若点D在直线AC上，且⊥，求点D的坐标；

(2)求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积．

解　(1)由题意知，＝(1，－3,2)，点D在直线AC上，

设＝λ＝λ(1，－3,2)＝(λ，－3λ，2λ)，

∴D(λ，2－3λ，2λ＋3)，

＝(λ，2－3λ，3＋2λ)－(－2,1,6)＝(λ＋2,1－3λ，2λ－3)，

∵⊥，

∴·＝(1，－3,2)·(λ＋2,1－3λ，2λ－3)

＝λ＋2－3＋9λ＋4λ－6＝14λ－7＝0，

∴λ＝，∴D.

(2)∵＝(2,1，－3)，＝(3，－2，－1)，

∴||＝＝，

||＝＝，

∴·＝2×3＋1×(－2)＋(－3)×(－1)＝7，

∴cos〈，〉＝＝＝，

∴sin〈，〉＝，设以BA，BC为邻边的平行四边形的面积为S，

则S＝××＝7，

∴以BA，BC为邻边的平行四边形的面积为7.

15.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝2，AA1＝3.

 (1)求cos〈，〉；

(2)设3＝＋，求||.

解　∵AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，∴以点A为坐标原点，

AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

则A(0,0,0)，A1(0,0,3)，B(2，0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,3)．

(1)＝(－2，2,3)，＝(0,2，－3)，

∴cos〈，〉＝

＝＝－.

(2)＝(－2，0,3)，＝(－2，2,0)，＝(2，0,0)，

∵3＝＋＝(－4，2,3)，

∴＝，

∵＝＋＝，

∴||＝＝.