2021届福建省普通高中学业水平合格性考试（会考）适应性练习（四）数学试题含解析

这是一份2021届福建省普通高中学业水平合格性考试（会考）适应性练习（四）数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届福建省普通高中学业水平合格性考试（会考 ）适应性练习（四）数学试题  一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出集合，再利用集合的交运算即可求解.【详解】，，所以.故选：A2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石【答案】B【详解】设夹谷石，则，所以，所以这批米内夹谷约为石，故选B.【解析】用样本的数据特征估计总体. 3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（ ）A．58 B．88 C．143 D．176【答案】B【解析】试题分析：等差数列前n项和公式，．【解析】数列前n项和公式． 4．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（  ）A． B．C． D．【答案】B【解析】试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．【解析】古典概型及其概率的计算． 5．在同一直角坐标系中，函数， （，且）的图象可能是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数过定点，排除AC，利用单调性排除B，从而可得答案.【详解】因为函数过定点，故排除AC选项；对于B，由图可知函数单调递增，可得，函数单调递增，可得，而与不能同时成立，所以B不合题意，排除B选项.故选：D.【点睛】方法点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．已知向量满足，，则（    ）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【分析】直接利用平面向量数量积的运算法则求解即可.【详解】因为，， 所以，故选：B.7．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间
 加油量（升）
 加油时的累计里程（千米）
 年月日
 
 
 年月日
 
 
   注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ）A．升 B．升 C．升 D．升【答案】B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升. 而这段时间内行驶的里程数千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B.【解析】平均变化率. 8．在中，，， 将三角形绕AC旋转一周得到圆锥，记其体积为；将三角形绕BC旋转一周， 得到圆锥，记其体积为，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆锥的定义，可得两个圆锥的底面半径与高，分别求出两个圆锥的体积，进而可得答案.【详解】因为，， 所以是直角三角形，两条直角边分别是，由圆锥的定义可得：将三角形绕AC旋转一周得到的圆锥的底面半径为2，高为1，其体积为；将三角形绕BC旋转一周得到的圆锥的底面半径为1，高为2，其体积为；，即，故选：B.9．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】试题分析：圆的圆心为点，又因为直线与直线垂直，所以直线的斜率．由点斜式得直线，化简得，故选D．【解析】1、两直线的位置关系；2、直线与圆的位置关系. 10．已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，利用三棱锥体积的最大值为36，求出半径，即可求出球的表面积．【详解】解：如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选：．【点睛】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大是关键，属于中档题．11．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）矩形的面积S=x（12-x）＞20∴x2-12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率【解析】几何概型 12．“十二平均律”  是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A． B．C． D．【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.13．过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先设直线点斜式，再根据圆心到直线距离小大于半径得斜率范围，最后根据斜率与倾斜角关系得结果.【详解】由题意得直线斜率存在，设为k，则直线：，由直线与圆有公共点得，从而倾斜角取值范围是，选D.【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力.14．已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为．若，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根据原函数的奇偶性及周期性确定的值，然后得到的解析式，再根据确定，最后求解的值.【详解】因为函数是奇函数，且其最小正周期为，所以，则，得．又，所以，故，所以，.故选：C.【点睛】本题考查型函数的图象及性质，难度一般.解答时先要根据题目条件确定出、及的值，然后解答所给问题.15．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC等于（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，，所以.故选C.   二、填空题16． 设，使不等式成立的的取值范围为__________.【答案】【分析】通过因式分解，解不等式．【详解】，即，即，故的取值范围是．【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．17．已知数列中，， （），则数列的前9项和等于_______．【答案】27【分析】先判断数列是以1为首项，以为公差的等差数列，再利用等差数列求和公式求解即可.【详解】因为（）所以（），又因为，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列，则数列的前9项和，故答案为：27.18．若实数、满足约束条件，则的最大值是______.【答案】10【分析】画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线到可行域边界处，由此求得目标函数的最大值为.故答案为【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的思想方法，属于基础题.19．若x，y为正数，且，则的最大值为______.【答案】【分析】利用基本不等式由求解.【详解】由，当且仅当，即时，取等号，解得，即的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．对于函数（），给出下列判断：①当时，函数为奇函数；②函数的图象关于点对称；③当，时，函数的最小值为1．其中正确的判断是_______．【答案】①②【分析】利用奇偶性的定义判断①是否正确；利用函数图象的平移变换判断②是否正确；再分析函数的单调性判断③是否正确.【详解】对于①，当时，，则，所以为奇函数，故①正确；对于②，由①可知函数为奇函数，图象关于原点对称，而看作是由的图象向上或向下平移个单位而得到，故图象关于对称，②正确；对于③，当时，因为函数在上递减，所以，最大值为，故③错.故答案为：①②. 三、解答题21．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,,S△ABC=3,求A和a.【答案】，【解析】试题分析：先由数量积公式及三角形面积公式得,由此求A,再利用余弦定理求a.试题解析：因为，所以，又，所以，因此，又，所以，又，所以.由余弦定理，得，所以.【解析】解三角形【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．22．某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过立方米的部分按4元/立方米收费，超出立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（1）如果为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当时，估计该市居民该月的人均水费．【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元.【解析】试题分析：（1）根据水量的频率分布直方图知月用水量不超过立方米的居民占，所以至少定为；（2）直接求每个数据用该组区间的右端点值与各组频率的乘积之和即可.试题解析：（1）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间内的频率依次为．所以该月用水量不超过立方米的居民占，用水量不超过立方米的居民占．依题意，至少定为（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 分组
 
 
 
 
 
 
 
 
 频率
 0.1
 0.15
 0.2
 0.25
 0.15
 0.05
 0.05
 0.05
 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：（元）．【解析】1、频率分布直方图的应用；2、根据频率分布直方图求平均值. 23．已知函数是奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数的单调性并用定义证明．【答案】（1）；（2）函数是区间上的增函数．证明见解析.【分析】（1）由是定义在上的奇函数，可得，解得，再验证奇偶性即可；（2）任取，作差、分解因式可得，判断即可得答案.【详解】（1）由题意可得，是定义在上的奇函数，所以，解得．此时， 故是奇函数，符合题意；（2）函数是区间上的增函数，证明如下：设，是区间上的任意两个数，且，则因为，所以，，则有，即，即证得函数是区间上的增函数．【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.24．如图已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，点是棱的中点，点在棱上，且，平面.（1）求实数的值； （2）求三棱锥的体积.【答案】（1）（2） 【解析】【试题分析】（1）运用空间三角形的相似建立等式求解；（2）先确定三棱锥的高，再运用三棱锥的体积公式求解：（Ⅰ）连接，设，则平面平面，//平面，//，         ∽，，，． （Ⅱ），又 ，，，     平面，                   所以．25．已知点，，动点Q满足． （1）求动点Q的轨迹方程C．（2）若曲线C与y轴的交点为A，B（A在B上方），且过点的直线l交曲线C于M，N两点．若M，N都不与A，B重合，是否存在定直线m，使得直线AN与BM的交点G恒在直线m上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）设动点，可得，再化简即可得结果；（2）根据圆的对称性，点G落在与y轴垂直的直线上，利用特殊位置猜想点G落在定直线，再证明任意直线AN与BM的交点G恒在直线即可.【详解】（1）设动点∵∴．整理得：．经检验得点Q的轨迹方程C为．（2）根据圆的对称性，点G落在与y轴垂直的直线上令，则直线即，与圆C： 联立得：．∴，∴，则直线．所以直线与的交点，猜想点G落在定直线．证明如下：设，，由得：，∴，，，直线，直线BM：，消去x得．要证：点G落在定直线上，只需证：．即证：，即证：，即证：．即证：，显然成立所以直线AN与BM的交点G在一条定直线上．【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.