2021年黑龙江省普通高中学业水平考试数学试题含解析

2021年黑龙江省普通高中学业水平考试数学试题

一、单选题

1．直线在轴上的截距是（       ）

A． B．

C．4 D．5

【答案】B

【解析】求出直线与轴交点的横坐标即可.

【详解】当时，代入可得：.

故选：B

【点睛】本题考查直线在坐标轴上截距的概念，考查基本运算求解能力.

2．已知直线与直线平行，则实数（       ）

A． B．3 C．5 D．或3

【答案】A

【分析】根据有斜率的两条直线平行的条件列式可解得结果.

【详解】当时，显然不符合题意，所以，

由得，由得，

所以，解得.

故选：A.

【点睛】本题考查了两条直线平行的条件，属于基础题.

3．椭圆的两个焦点分别为、，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由焦点坐标，可知椭圆的焦点在x轴上，且c=8，再根据椭圆的定义得到a=10，进而求得b，即可得椭圆的方程.

【详解】已知两个焦点的坐标分别是F1（-8，0），F2（8，0），

可知椭圆的焦点在x轴上，且c=8，

由椭圆的定义可得：2a=20，即a=10，

由a，b，c的关系解得b==6∴椭圆方程是,故选B

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的定义和性质，涉及到两焦点的距离问题时，常采用定义法求椭圆的标准方程.

4．平行于直线且过点的直线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平行线斜率的性质，结合代入法进行求解即可.

【详解】与直线平行的直线可设为：，直线过点，

所以有，

故选：D

5．x轴上任一点到定点 、 距离之和最小值是（       ）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【分析】求出(0,2 )关于x轴的对称点，连接对称点与( 1, 1 )，即可求出距离之和的最小值.

【详解】x轴上任一点到定点(0, 2)、( 1,1)距离之和最小值，就是求解(0,2 )关于x轴的对称点，连接对称点与( 1, 1 )的距离即可，

因为(0, 2)关于x轴的对称点为，

所以

即x轴上任一点到定点(0,2)、( 1, 1 )距离之和最小值是.

故选：C

6．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)

A．4 B．

C．  D．

【答案】D

【详解】因为点关于点对称，所以有，解得．所以点到原点的距离为，故选D

7．已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数的不等式，解出即可.

【详解】由于方程表示的曲线为圆，则，解得.

因此，实数的取值范围是.

故选：B.

【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.

8．若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），

故选D.

【解析】双曲线的简单性质

【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线共渐近线的可设为；（2）若渐近线方程为，则可设为；（3） 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；（4） 的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.

9．两圆和的位置关系是

A．相交 B．内切 C．外切 D．外离

【答案】B

【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距与半径的关系，即可得到结果.

【详解】由圆的圆心为，半径为1，

圆圆心为半径为3，

所以圆心距为，此时，即圆心距等于半径的差，所以两个圆相内切，故选B.

【点睛】本题主要考查了两个圆的的位置关系的判定，其中熟记两圆的位置关系的判定方法，准确作出运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

10．双曲线的离心率大于的充分必要条件是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由方程确定，求出后得离心率，列不等式可得范围．

【详解】由题意双曲线的离心率为，，．

故选：C．

11．已知抛物线，定点A(4，2)，F为焦点，P为抛物线上的动点，则的最小值为（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得．

【详解】如图，作与准线垂直，垂足分别为，则，

，当且仅当三点共线即到重合时等号成立．

故选：B．

12．在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】B

【详解】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y＝kx＋b，

即kx－y＋b＝0，

所以，，

解之得k＝0或，

所以所求直线方程为y＝3或4x＋3y－5＝0，

所以符合题意的直线有两条，选B.

二、填空题

13．若与直线垂直，那么__________．

【答案】

【详解】由两条直线垂直知，

得．

14．已知A，B（5，1），则以线段AB为直径的圆的方程的一般式为________．

【答案】．

【解析】【详解】试题分析：以AB为直径的圆的圆心为AB的中点，坐标为（1，－2），半径为，

所以圆的标准方程为：，转化为普通方程为．

【解析】考查了圆的一般方程．

点评：解本题的关键是根据圆心坐标和半径先求出标准方程，再转化为圆的一般方程．

15．已知点在直线上，则的最小值为_______.

【答案】3

【分析】将的最小值转化为原点到直线的距离来求解.

【详解】可以理解为点到点的距离，又∵点在直线上，∴的最小值等于点到直线的距离，且.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.

16．已知点，到直线的距离相等，则实数的值为_______

【答案】或

【分析】利用点到直线的距离求解.

【详解】因为点，到直线的距离相等，

所以，

解得或，

故答案为：或

三、解答题

17．已知三角形ABC的顶点坐标为A（－1，5）、B（－2，－1）、C（4，3），M是BC边上的中点。

(1)求AB边所在的直线方程；

(2)求中线AM的长

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，，由点斜式得直线方程；

（2）由中点坐标公式求得中点坐标，由两点间距离公式计算可得．

(1)

由两点式写方程得，即.

或直线的斜率为，

直线的方程为，即

(2)

设的坐标为，则由中点坐标公式可得，

故，

18．（1）求焦点的坐标分别为，且过点的椭圆的方程.

（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点、的椭圆标准方程.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由题意椭圆的焦点在轴上，且，结合即得解；

（2）设椭圆的方程为，待定系数即得解

【详解】（1）由题意，椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为

由椭圆定义，

故

故椭圆的标准方程为：

（2）不妨设椭圆的方程为：

经过两点、

故，解得

即

故椭圆的标准方程为：

19．已知圆和直线，点P是圆C上的动点.

（1）求圆C的圆心坐标及半径；

（2）求点P到直线的距离的最小值.

【答案】（1）圆心坐标，半径为；（2）

【解析】（1）将圆化为标准方程：，即可求解.

（2）求出圆心到直线的距离，减去半径即可.

【详解】（1）由圆，

化为，

所以圆C的圆心坐标，半径为.

（2）由直线，

所以圆心到直线的距离，

所以点P到直线的距离的最小值为.

【点睛】本题考查了圆的标准方程、写出圆的圆心与半径、点到直线的距离公式，属于基础题.

20．求满足下列条件的双曲线的标准方程：

(1)焦点分别为，，且经过点；

(2)经过点，；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设双曲线的方程为，代入点坐标，结合，即得解；

（2）设双曲线的方程为，代入点坐标，待定系数即得解

(1)

由题易知焦点在y轴上，设双曲线的方程

则

解得：

所以所求双曲线的标准方程为

(2)

设双曲线的方程为：

代入点坐标得到：

解得：

故双曲线的标准方程为：

21．已知抛物线的准线方程为.

(1)求p的值；

(2)直线交抛物线于A，B两点，求弦长.

【答案】(1)2

(2)8

【分析】（1）根据抛物线的准线方程直接求出即可；

（2）设，，联立方程，利用韦达定理求得，，再根据弦长公式即可得解.

(1)

解：因为抛物线的准线方程为，

所以，所以；

(2)

解：设，，

由，消去，得，

则，，

所以.

22．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【详解】（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴，半焦距，则半短轴．

又椭圆的焦点在轴上，∴椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）当直线垂直于轴时，，因此的面积．

当直线不垂直于轴时，该直线方程为，代入，

解得B（,），C（－,－），

则，又点A到直线的距离，

∴△ABC的面积．

于是．

由，得，其中当时，等号成立．

∴的最大值是．