2021年山东省冬季普通高中学业水平合格性模拟考试数学试题含解析

2021年山东省冬季普通高中学业水平合格性模拟考试数学试题

一、单选题

1．已知复数，则z的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算求出,即可得到其虚部.

【详解】,

故虚部为，

故选：D

2．命题“，”的否定为（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】利用全程命题的否定形式，即可判断选项.

【详解】命题“，”为全称量词命题，则命题的否定为，，

故选：D.

3．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由集合B的描述求集合，应用集合的交集运算求.

【详解】解：由得，解得，所以，

又，所以，

故选：D

4．已知两个单位向量与的夹角为，则“”是“”的（       ）

A．充分必要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】用定义法，分充分性和必要性分别讨论即可.

【详解】充分性：若,则由、是单位向量可知，即充分性得证；

必要性：若,则由、是单位向量可知，因为,所以,必要性得证.

所以“”是“”的充分必要条件.

故选：A

5．若，则下列不等式中不正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合不等式的性质确定正确选项.

【详解】由<0，得b<a<0，故B项正确；∴a2<b2，ab<b2，故C项不正确，D项正确；

∵a+b<0，ab>0，∴a+b<ab，故A项正确.

故选：C

6．若角α的终边经过点，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正切函数的定义可得选项.

【详解】解：∵角的终边经过点，∴.

故选：B.

7．已知，且，则(       )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合已知条件，对两边同时平方求出，然后对平方求值，结合的范围即可求解.

【详解】∵，∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，即.

故选：B.

8．某校为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一人､高二人､高三人中，抽取人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是(       )

A．，， B．，， C．，， D．，，

【答案】B

【分析】结合已知条件首先求出三个年级的总人数，然后利用样本容量分别乘以各个年级的抽样比即可求解.

【详解】由题意可知，三个年级共有(人)，

则高一抽取的人数为，

高二抽取的人数为，

高三抽取的人数为.

故选：B.

9．在同一个坐标系下，函数与函数的图象都正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的单调性判断函数图象．

【详解】解：指数函数是增函数，

对数函数是减函数，

故选：A.

10．若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由函数的最小正周期为，可得，令，分析即得解

【详解】由题意，函数的最小正周期为，

故

即

令

即

令，可得，故A正确；

BCD选项中，不存在与之对应，故错误

故选：A

11．若函数是奇函数，且在上是增函数，又，则解集是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据奇函数的性质进行求解即可.

【详解】因为函数是奇函数，所以有，

因为奇函数在上是增函数，所以该函数在上也是增函数，

当时，由，

当时，由，

所以不等式的解集为

故选：C

12．在中，，则一定是（       ）

A．直角三角形 B．钝角三角形

C．等腰三角形 D．等边三角形

【答案】C

【分析】利用化简可得，即可判断.

【详解】，

，即，

，

，即，

所以一定是等腰三角形.

故选：C.

13．函数，且)恒过定点（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用指数函数恒过点即可求解.

【详解】当时， ，

所以函数恒过定点.

故选：C

14．的内角，，的对边分别为，，，满足，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用余弦定理可求，再结合正弦定理即得.

【详解】因为，不妨设，

则

所以

故选：D

15．已知，向量与的夹角为，则（       ）

A．5 B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知先求出，然后根据，代值即可求解.

【详解】∵，向量与的夹角为

∴

∴

故选：D.

16．某盒内有十张标有0到9的卡片，从中任取两张，则取到卡片上的数字之和不小于6的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】基本事件总数，利用列举法求出取到卡片上的数字之和小于6包含的基本事件有9个，利用对立事件概率计算公式能求出取到卡片上的数字之和不小于6的概率.

【详解】解：某盒内有十张标有0到9的卡片，从中任取两张，

基本事件总数，

取到卡片上的数字之和小于6包含的基本事件有：

（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），（0，5），（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），共9个，

则取到卡片上的数字之和不小于6的概率P=.

故选：B.

17．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的个数为（       ）

①平面PBC             ②平面PCD       ③平面PDA ④平面PBA

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】证明，即可证明②③正确；平面，故①错误，平面，故④错误．

【详解】对于①，平面，故①错误；

对于②，由于为的中点，为的中点，则， 平面，平面，则平面，故②正确；

对于③，由于，平面，平面，则平面，故③正确；

对于④，由于平面，故④错误．

故选：B

18．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（       ）

A．梯形 B．平行四边形

C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．不确定

【答案】B

【分析】根据长方体的性质，结合面面平行的性质有，即知的形状.

【详解】由长方体的性质：各对面平行，易知，

∴为平行四边形.

故选：B

19．如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（       ）

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

【答案】C

【分析】利用垂直关系，结合面面垂直的判断定理，即可判断选项.

【详解】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.

故选：C

20．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数型函数和一次函数的单调性，结合函数单调性的性质进行求解即可.

【详解】因为该函数为增函数，

所以，

故选：A

二、填空题

21．已知向量，，若，则实数_______.

【答案】5

【分析】利用向量的加法求得的坐标，再根据，利用数量积运算求解.

【详解】因为向量，，

所以，

因为，

所以，

解得，

故答案为：5

22．已知，，且，则的最大值为______．

【答案】

【分析】利用基本不等式即可得到答案.

【详解】因为，所以，解得，当且仅当，时，等号成立．

故答案为：.

23．函数，则__________．

【答案】1

【分析】根据分段函数的解析式，结合所求函数值对应自变量所在的定义域范围选取解析式求值即可.

【详解】∵，

∴，即，

∵，

∴，即．

故答案为：1．

24．在中，已知，若，则的面积为______．

【答案】

【分析】先由求出，然后再利用三角形的面积公式可求得结果

【详解】解：因为，，

所以，得，

所以，

故答案为：

25．已知、是方程的两根，并且、，则的值是______．

【答案】

【分析】由题可得，，根据两角和的正切公式即可求出.

【详解】、是方程的两根，并且、，

∴，，．

∴、均大于零，故、，∴．

∵，∴，

故答案为：．

三、解答题

26．已知函数的最小正周期是.

（1）求值；

（2）求的对称中心；

（3）将的图象向右平移个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递增区间.

【答案】（1）2；（2），；（3），.

【分析】（1）由且，即可求值；

（2）由（1）知，结合正弦函数的对称中心即可求的对称中心；

（3）由函数平移知，结合正弦函数的单调性即可求的单调递增区间.

【详解】（1），又，

∵，

∴.

（2）由（1）知，，令，解得.

∴的对称中心是，.

（3）将的图像向右平移个单位后可得：，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：，

由，解得，.

∴的单调递增区间为，.

【点睛】关键点点睛：

（1）应用辅助角公式求三角函数解析式，结合最小正周期求参数.

（2）根据正弦函数的对称中心，应用整体代入求的对称中心.

（3）由函数图像平移得解析式，根据正弦函数的单调增区间，应用整体代入求的单调增区间.

27．如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，且PA面ABCD，E，F分别是棱PB，PC的中点.

求证：（1）EF平面PAD；

（2）面PBD面PAC.

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.

【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明.

（2）利用面面垂直的判定定理即可证明.

【详解】（1）由E，F分别是棱PB，PC的中点.

则且，

又底面ABCD是菱形，，，

又平面PAD，平面PAD，

EF平面PAD.

（2）由PA面ABCD，是平面ABCD的对角线，

，

四棱锥P-ABCD的底面是菱形，

，

，且平面PAC，

平面PAC，

又因为平面PBD，

所以面PBD面PAC

28．已知是定义在上的奇函数.

(1)求的值；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明；

(3)若，求实数的取值范围.

【答案】(1) ；(2)单调递减函数，证明见解析；(3).

【分析】(1)根据函数是上的奇函数，可知 ，把代入，即可得到结果；

(2)利用减函数的定义即可证明．

(3)根据奇函数的性质，可得成立，等价于成立，再根据在上是减函数，可得，由此即可求出结果．

【详解】(1)因为是奇函数，所以，解得，

(2)证明：由(1)可得： ．

设 ，∴，

则，

∴．

∴在上是减函数．

 (3)∵函数是奇函数．

∴成立，等价于成立，

 ∵在上是减函数，∴，

所以.

【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，定义法证明函数的单调性，以及利用函数的单调性和奇偶性求参数的值，属于函数性质的应用；属于基础题．