北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定习题

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》同步练习题（附答案）

一．选择题

1．关于菱形，下列说法错误的是（　　）

A．对角线相等 B．对角线互相垂直 

C．四条边相等 D．对角线互相平分

2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定成立的是（　　）

A．∠BAD＝60° B．AC＝BD C．AB＝BC D．OA＝2OD

3．如图，菱形ABCD的对角线BD＝12，AC＝10，则该菱形的面积为（　　）

A．60 B．80 C．100 D．120

4．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）

A．对角线互相垂直 B．两组对角分别相等 

C．对角线互相平分 D．两组对边分别平行

5．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长是（　　）

A．16 B．24 C．28 D．32

6．下列说法中，正确的是（　　）

A．两邻边相等的四边形是菱形 

B．一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形 

C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 

D．对角线垂直的四边形是菱形

7．在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列的条件还不能使▱ABCD是菱形的是（　　）

A．AB＝BC B．AC⊥BD C．OA＝OC D．AC平分∠BAD

8．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　）

A．AB＝BC B．AC＝BC C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°

9．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是（　　）

A．四边形ABCD是梯形 B．四边形ABCD是菱形 

C．对角线AC＝BD D．AD＝BC

10．如图，在菱形ABCD中，点B在x轴上，点C的坐标为（6，2），点A的坐标为（0，2），则点D的坐标为（　　）

A．（4，4） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，3）

二．填空题

11．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是　   　．

12．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：　   　，使▱ABCD是菱形．

13．菱形ABCD的一个内角为120°，边长为6，则这个菱形较长的对角线长＝　   　．

14．如图，四边形ABCD是菱形，点A为（﹣3，0），点B为（0，4），则点C的坐标为 　   　．

15．如图，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，DE⊥AB于点E，则DE的长为 　   　．

三．解答题

16．如图，在四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD是菱形．

17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．求证：四边形BNDM是菱形．

18．如图，在▱ABCD中，AE是∠DAB的平分线，EF∥AD交AB、CD于点F、E，求证：四边形ADEF是菱形．

19．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，周长为48cm，求

（1）两对角线AC和BD的长度；

（2）菱形ABCD的面积．

20．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，连结AE，CE．

（1）求证：AE＝CE；

（2）若AE＝DE，AE⊥AB，求∠ABD的度数．

21．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF，连接EF，交对角线于点G．

求证：（1）∠BAE＝∠DAF；

（2）AC⊥EF．

22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．

（1）求证：四边形ABED是菱形；

（2）若CD＝2，∠ABC＝60°＝2∠C，求AB的长．

23．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF＝2．

（1）求证：△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由．

参考答案

一．选择题

1．解：菱形的性质有：对角线互相垂直平分，四边相等，

故选：A．

2．解：A．当BD≠AB时，∠BAD≠60°，此选项结论不一定成立；

B．当菱形ABCD不是正方形时，AC≠BD，此选项结论不一定成立；

C．因为菱形的四边相等，所以AB＝BC，此选项结论一定成立；

D．当OA≠BD时，OA≠2OD，此选项结论不一定成立；

故选：C．

3．解：∵菱形ABCD的对角线BD＝12，AC＝10，

∴该菱形的面积为：＝＝60，

故选：A．

4．解：A、正确．对角线互相垂直是菱形具有而平行四边形不具有的性质；

B、错误．两组对角分别相等，是菱形和平行四边形都具有的性质；

C、错误．对角线互相平分，是菱形和平行四边形都具有的性质；

D、错误．两组对边分别平行，是菱形和平行四边形都具有的性质；

故选：A．

5．解：∵点E、F分别是AB、AC的中点，EF＝4，

∴BC＝2EF＝8，

∵四边形ABCD是菱形，

∴菱形ABCD的周长是：4×8＝32．

故选：D．

6．解：A、∵两邻边相等的平行四边形是菱形，

∴选项A不符合题意；

B、∵一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形，

∴选项B符合题意；

C、∵对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形，

∴选项C不符合题意；

D、∵对角线垂直的平行四边形是菱形，

∴选项D不符合题意；

故选：B．

7．解：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴只需要添加菱形具有而平行四边形所不具有的性质即可使其为菱形，

∴AB＝BC、AC⊥BD、AC平分∠BAD都可以使四边形ABCD为菱形，而当OA＝OC时，这是平行四边形ABCD本身就有的性质，故无法判断四边形ABCD是菱形，

故选：C．

8．解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，

∴ACED，

∴四边形ACED为平行四边形，

当AC＝BC时，则DE＝EC，

∴平行四边形ACED是菱形．

故选：B．

9．解：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，

∴EF∥AD，HG∥AD，

∴EF∥HG；

同理，HE∥GF，

∴四边形EFGH是平行四边形；

A、若四边形ABCD是梯形时，AD≠CD，则GH≠FE，这与平行四边形EFGH的对边GH＝FE相矛盾；故本选项错误；

B、若四边形ABCD是菱形时，点EFGH四点共线；故本选项错误；

C、若对角线AC＝BD时，四边形ABCD可能是等腰梯形，证明同A选项；故本选项错误；

D、当AD＝BC时，GH＝GF；所以平行四边形EFGH是菱形；故本选项正确；

故选：D．

10．解：连接AC、BD交于点E，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，

∵点C的坐标为（6，2），点A的坐标为（0，2），

∴OA＝2，AC＝6，

∴BE＝DE＝OA＝2，AE＝3，

∴BD＝2DE＝4，

∴点D的坐标为：（3，4），

故选：C．

二．填空题

11．解：∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

故答案为：平行四边形．

12．解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，

∴当AD＝DC，▱ABCD为菱形；

故答案为：AD＝DC（答案不唯一）．

13．解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，

∴AD∥BC，AB＝BC，AC⊥BD，

∴∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC＝6，∠AOB＝90°

∴AO＝AC＝3，

在Rt△AOB中，

BO＝＝＝3，

∴菱形较长的对角线长BD是：2×3＝6．

故答案为：6．

14．解：∵A（﹣3，0），B（0，4），

∴OA＝3，OB＝4，

∴AB＝＝5，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BC＝AD＝AB＝5，BC∥AD，

∴点C的坐标为（5，4）；

故答案是：（5，4）．

15．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2，

∴AO＝CO＝AC＝，BO＝DO＝，AC⊥BD，

∴∠AOB＝90°，

∴AB＝，

∴S菱形ABCD＝DE×AB＝AC×BD，

∴DE＝．

故答案为：．

三．解答题

16．证明：∵OA＝OC，OB＝OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD，

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC，

∴∠ACD＝∠DAC，

∴AD＝CD，

∴四边形ABCD是菱形．

17．证明：∵AD∥BC，

∴∠DMO＝∠BNO，

∵MN是对角线BD的垂直平分线，

∴OB＝OD，MN⊥BD，

在△MOD和△NOB中，

，

∴△MOD≌△NOB（AAS），

∴OM＝ON，

∵OB＝OD，

∴四边形BNDM是平行四边形，

∵MN⊥BD，

∴平行四边形BNDM是菱形．

18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC．

∵EF∥AD，

∴四边形ADEF是平行四边形，∠DAE＝∠AEF．

∵AE是∠DAB的平分线，

∴∠DAE＝∠EAF．

∴∠AEF＝∠EAF．

∴AF＝EF．

又∵四边形ADEF是平行四边形，

∴▱ADEF是菱形．

19．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，AC⊥BD，AD∥BC，

∵∠ABC＝60°，

∴∠ABO＝∠ABC＝30°，

∵菱形ABCD的周长是48cm．

∴AB＝12cm，

∴OA＝AB＝6cm，

∴OB＝＝6，

∴AC＝2OA＝12cm，BD＝2OB＝12cm；

（2）S菱形ABCD＝AC•BD＝×12×12＝72（cm2）．

20．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，

在△ABE和△CBE中，

，

∴△ABE≌△CBE（SAS），

∴AE＝CE；

（2）解：∵AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB，

∵AE＝DE，

∴∠EAD＝∠ADB＝∠ABD，

∵AE⊥AB，

∴∠BAE＝90°，

∵∠ABD+∠ADB+∠DAE+∠BAE＝180°，

∴3∠ABD＝90°，

∴∠ABD＝30°．

21．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B＝∠D，AB＝AD．

在△ABE和△ADF中，

，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴∠BAE＝∠DAF．

（2）在菱形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，∠B＝∠D，

∵∠BAE＝∠DAF，

∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAC﹣∠DAF，

即∠EAC＝∠FAC，

在△ABE和△ADF中，

，

∵△ABE≌△ADF（SAS），

∴AE＝AF，

∴AC⊥EF（三线合一）．

22．（1）证明：如图，∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠DAE，

∵AB＝AD，AE＝AE，

∴△BAE≌△DAE（SAS），

∴BE＝DE，

∵AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AEB＝∠BAE，

∴AB＝BE，

∴AB＝BE＝DE＝AD，

∴四边形ABED是菱形；

（2）解：由（1）知，四边形ABED是菱形，

∴∠ABO＝∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，AE⊥BD，BO＝BD，

∵2∠C＝60°，

∴∠C＝30°，

∴∠DBC＝∠C，

∴BD＝CD＝2，

∴BO＝．

在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，

∴AB＝2．

23．（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2，

∴AB＝AD＝BD＝2，BC＝CD＝BD＝2，

∴△ABD与△BCD都是等边三角形，

∴∠BDE＝∠C＝60°，

∵AE+CF＝2，

∴CF＝2﹣AE，

又∵DE＝AD﹣AE＝2﹣AE，

∴DE＝CF，

在△BDE和△BCF中，

，

∴△BDE≌△BCF（SAS）；

（2）解：△BEF是等边三角形．理由如下：

由（1）可知△BDE≌△BCF，

∴BE＝BF，∠DBE＝∠CBF，

∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC＝60°，

∴△BEF是等边三角形．