初中数学北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定课时训练

这是一份初中数学北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定课时训练，共23页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。

1．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AD＝3，CD＝，且∠ADC＝45°，求平行四边形的面积；
（3）在（2）的条件下求菱形AECF的周长．
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若BE＝ED时，求证：四边形EBFD是菱形．
3．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．
（1）求证：BD＝EF；
（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．
4．如图，点E、F分别在▱ABCD的边BC、CD上，BE＝DF，∠BAF＝∠DAE．求证：▱ABCD是菱形．
5．如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，DA的长为半径画弧，交BA于点F，作∠DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF．
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）若AD＝4，∠DAB＝60°，求四边形AFED的面积．
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD垂直平分对角线AC，垂足为点O．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DBC＝30°，BC＝2，求四边形ABCD的面积．
7．在▱ABCD中，AE平分∠BAD，O为AE的中点，连接BO并延长，交AD于点F，连接EF，OC．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若点E为BC的中点，且BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长．
8．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交B的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形：
（2）若BD＝2，求OB的长．
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．
（1）求证：BD＝DF；
（2）求证：四边形BDFG为菱形；
（3）若AG＝13，CF＝6，求四边形BDFG的周长．
10．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD＝AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．
（3）若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
13．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．
（1）求证：四边形ABOE是菱形；
（2）若AO＝2，S四边形ABOE＝4，求BD的长．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．
（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝13，AC＝10，请求出线段EF的长．
15．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB．
（1）求∠ABC的度数；
（2）如果，求DE的长．
16．如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角．
（1）求证：AD⊥BF；
（2）若BF＝BC，求∠ADC的度数．
17．感知：如图①，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在边AB、AD上．若AE＝DF，易知△ADE≌△DBF．
探究：如图②，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE＝DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展：如图③，在▱ABCD中，AD＝BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE＝DF，∠ADB＝50°，∠AFB＝32°，求∠ADE的度数．
18．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．
19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
20．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．
（1）求证：EO＝DC；
（2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA＝60°，求：菱形ABCD的面积．
参考答案
1．（1）证明：∵EF是对角线AC的垂直平分线，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∴∠EAC＝∠ECA，∠FAC＝∠FCA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
∴∠FAO＝∠ECO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∵AF＝CF，AE＝CE，
∴AE＝EC＝CF＝AF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）解：过C作CH⊥AD于H，
则∠CHD＝∠CHF＝90°，
∵∠ADC＝45°，
∴△CDH是等腰直角三角形，
∴CH＝DH＝CD＝1，
∴平行四边形ABCD是面积＝AD×CH＝3×1＝3；
（3）解：∵AD＝3，DH＝1，
∴AH＝2，
∵四边形AECF是菱形，
∴AF＝CF，
设AF＝CF＝x，则FH＝2﹣x，
在Rt△CHF中，由勾股定理得：CF2＝FH2+CH2，
即x2＝（2﹣x）2+12，
解得：x＝，
∴AF＝CF＝，
∴菱形AECF的周长＝×4＝5．
2．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵∠1＝∠2，
∴∠AED＝∠CFB，
在△ADE与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）∵∠1＝∠2，
∴DE∥BF．
由（1）知，△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵BE＝ED，
∴平行四边形EBFD是菱形．
3．（1）证明：∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAF+∠FAD＝∠DAE+∠FAD，
即∠BAD＝∠FAE，
∵AB＝AF，AD＝AE，
∴△BAD≌△FAE（SAS），
∴BD＝EF．
（2）∵∠GHF＝∠BFG，
∴∠GFH＝∠GBF，
由（1）可知∠GFH＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠GBF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠GBF，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）延长EA交BC于M，
∵∠DAE＝90°．
∴EM⊥AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴EM⊥BF，
∵AB＝AF，BF＝4，
∴BM＝FM＝2，
∵∠BAF＝90°，
∴，
∴，
∴，
∴EM＝AE+AM＝2+2，
∴＝＝4．
4．证明：∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE＝∠ADF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DEA＝∠FAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠FAE，
∴∠DEA＝∠DAE
∴AD＝ED，
∵AD＝AF，
∴DE＝AF，
∴四边形AFED是平行四边形，
又∵AD＝ED，
∴平行四边形AFED是菱形；
（2）解：过D作DG⊥AF于G，如图所示：
∵∠DAB＝60°，
∴∠ADG＝90°﹣60°＝30°，
∴AG＝AD＝2，
∴DG＝＝＝2，
由（1）得：四边形AFED是菱形，
∵AF＝AD＝4，
∴菱形AFED的面积＝AF×DG＝4×2＝8．
6．证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
∵对角线BD垂直平分对角线AC，
∴OA＝OC，
在△ADO与△BCO中，
，
∴△ADO≌△BCO（AAS），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠DBC＝30°，BC＝2，
∴OC＝1，OB＝，
∴菱形ABCD的面积＝．
7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AF∥BE，
∴∠FAO＝∠BEO，
∵O为AE的中点，
∴OA＝OE，
在△AOF和△EOB中，
，
∴△AOF≌△EOB（ASA），
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；
∵AE平分∠BAD，
∴∠FAE＝∠BAE，
∵∠FAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BA＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：过O作OH⊥BC于H，如图所示：
∵E为BC的中点，且BC＝8，
∴BE＝CE＝4，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠OBH＝30°，∠BOE＝90°，
∴OE＝BE＝2，∠EOH＝∠OBH＝90°﹣∠OEH＝30°，
∴EH＝OE＝1，
∴OH＝＝＝，CH＝EH+CE＝5，
∴OC＝＝＝2．
8．（1）证明：∵AC为∠BAD的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝2，
∴OB＝OD＝BD＝1．
9．（1）证明：∵∠ABC＝90°，BD为AC的中线，
∴BD＝AC，
∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴DF＝AC，
∴BD＝DF；
（2）证明：∵BD＝DF，
∴四边形BGFD是菱形，
（3）解：设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，
解得：x＝5，
∴四边形BDFG的周长＝4GF＝20．
10．解：（1）∵AF＝FG，
∴∠FAG＝∠FGA，
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG＝∠FAG，
∴∠CAG＝∠FGA，
∴AC∥FG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，
∴∠C＝∠DHG＝90°，∠CGE＝∠GED，
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴H是ED的中点，
∴FG是线段ED的垂直平分线，
∴GE＝GD，∠GDE＝∠GED，
∵DE∥BC，
∴∠CGE＝∠GED＝∠GDE，
∴△ECG≌△GHD（AAS）；
（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，
∴GC＝GP，而AG＝AG，
∴△CAG≌△PAG，
∴AC＝AP，
由（1）可得EG＝DG，
∴Rt△ECG≌Rt△DPG，
∴EC＝PD，
∴AD＝AP+PD＝AC+EC；
（3）四边形AEGF是菱形，
证明：∵∠B＝30°，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD，
∴AE＝AF＝FG，
由（1）得AE∥FG，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∴四边形AEGF是菱形．
11．（1）证明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，
∴DF＝2t，
又∵AE＝2t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，
即40﹣4t＝2t，解得t＝．
∴当t＝秒时，四边形AEFD为菱形．
（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴AD＝AE＝t，
又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t，解得t＝8；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，即40﹣4t＝4t，解得t＝5．
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t＝8或5秒时，△DEF为直角三角形．
12．（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形．
13．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝BD，
∵BD＝2AB，
∴AB＝OB，
∵AE∥BD，OE∥AB，
∴四边形ABOE是平行四边形，
∵AB＝OB，
∴四边形ABOE是菱形；
（2）解：连接BE，交OA于F，如图所示：
∵四边形ABOE是菱形，
∴OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE，
∵S四边形ABOE＝4，
S四边形ABOE＝OA•BE＝×2×BE＝BE，
∴BE＝4，
∴BF＝2，
∴OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝2．
14．解：（1）△OEF是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EO＝AB，OF＝AD，
∴EO＝FO，
∴△OEF是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC＝10，
∴AO＝5，∠AOB＝90°，
∴BO＝＝＝12，
∴BD＝24，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EFBD，
∴EF＝12．
15．解：（1）∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD＝DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴AD＝DB＝AB，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠DAB＝60°．
∵菱形ABCD的边AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝180°﹣60°＝120°，
即∠ABC＝120°；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC于O，AO＝AC＝×4＝2，
由（1）可知DE和AO都是等边△ABD的高，
∴DE＝AO＝2．
16．（1）证明：如图，连接DB、DF．
∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD＝DE＝EF＝FA．
在△BAD与△FAD中，
，
∴△BAD≌△FAD，
∴DB＝DF，
∴D在线段BF的垂直平分线上，
∵AB＝AF，
∴A在线段BF的垂直平分线上，
∴AD是线段BF的垂直平分线，
∴AD⊥BF；
解法二：∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD＝DE＝EF＝FA．
∴AB＝AF，
∵∠BAD＝∠FAD，
∴AD⊥BF（等腰三角形三线合一）；
（2）方法1：如图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，则四边形BGDH是矩形，
∴DG＝BH＝BF．
∵BF＝BC，BC＝CD，
∴DG＝CD．
在直角△CDG中，∵∠CGD＝90°，DG＝CD，
∴∠C＝30°，
∵BC∥AD，
∴∠ADC＝180°﹣∠C＝150°．
方法2：∵BF＝BC，BC＝AB＝AD＝AF，
∴BF＝AB＝AF，即△ABF是等边三角形．
∵AD⊥BF，
∴∠BAD＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BAD＝150°．

17．解：
探究：△ADE和△DBF全等．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
∵AB＝BD，
∴AB＝AD＝BD．
∴△ABD为等边三角形．
∴∠DAB＝∠ADB＝60°．
∴∠EAD＝∠FDB＝120°．
∵AE＝DF，
∴△ADE≌△DBF；
拓展：
∵点O在AD的垂直平分线上，
∴OA＝OD．
∴∠DAO＝∠ADB＝50°．
∴∠EAD＝∠FDB．
∵AE＝DF，AD＝DB，
∴△ADE≌△DBF．
∴∠DEA＝∠AFB＝32°．
∴∠EDA＝18°．
18．证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵AC＝BC，
∴DE＝DF，
∴四边形DFCE是菱形；
19．（1）证明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，
∴DF＝2t，
又∵AE＝2t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，
即60﹣4t＝2t，解得t＝10．
∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形．
（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴AD＝AE＝t，
又AD＝60﹣4t，即60﹣4t＝t，解得t＝12；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，即60﹣4t＝4t，解得t＝．
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形．
20．（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于点O，
∴AC⊥BD．
即∠AOB＝90°
∴四边形AEBO是矩形．
∴EO＝AB．
在菱形ABCD中，AB＝DC，
∴EO＝DC．
（2）解：由（1）知四边形AEBO是矩形．
∴∠EBO＝90°．
∵∠EBA＝60°，
∴∠ABO＝30°．
在Rt△ABO中，AB＝10，∠ABO＝30°，
∴AO＝5，BO＝5．
∴BD＝10．
∴菱形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积
＝2×△ABD的面积
＝2××10×5
＝50．