高中数学选择性必修三 第六章 计数原理 测评

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第六章测评(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2020重庆高三月考)(x+1)8的展开式的各项系数和为 (　　)A.256 B.257 C.254 D.255解析令x=1,则(1+1)8=28=256,即(x+1)8的展开式的各项系数的和为256.故选A.答案A2.把编号为1,2,3,4,5的5位运动员排在编号为1,2,3,4,5的5条跑道中,要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同,共有不同排法的种数是(　　)A.10 B.20 C.40 D.60解析先选出两位运动员的编号与其所在跑道编号相同,有,剩余的有2种排法,共有2×=20(种).答案B3.(2020河南高二月考)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的不同的选法种数是(　　)A.18 B.24 C.30 D.36解析由于选出的3名学生男女生都有,所以可分成两类:第1类,3人中是1男2女,共有=4×3=12(种)不同的选法;第2类,3人中是2男1女,共有=6×3=18(种)不同的选法.所以男女生都有的不同的选法种数是12+18=30.答案C4.(2020浙江高三专题练习)已知+0!=4,则m= (　　)A.0 B.1 C.2或3 D.3解析∵+0!=4,∴=6.当m=2时成立;当m=3时也成立.故选C.答案C5.(2020黑龙江牡丹江一中高三期末)张、王夫妇各带一个小孩儿到游乐园游玩,购票后依次入园,为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外两个小孩要排在一起,则这6个人的排法种数是(　　)A.12 B.24 C.36 D.48解析先安排首尾两个位置的男家长,共有种方法;将两个小孩作为一个整体,与剩下的另两位家长安排在两位男家长的中间,共有种方法.由分步乘法计数原理可得所有的排法有=24(种).故选B.答案B6.(2020全国1高考)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)A.5 B.10 C.15 D.20解析因为(x+y)5的通项公式为·x5-k·yk(k=0,1,2,3,4,5),所以当k=1时,x4y=5x3y3,当k=3时,x·x2y3=10x3y3,所以x3y3的系数为10+5=15.答案C7.如图所示,要给①②③④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同的涂色方法种数为(　　)A.320 B.160 C.96 D.60解析根据分步乘法计数原理,区域①有5种颜色可供选择,区域③有4种颜色可供选择,区域②和区域④只要不选择区域③的颜色即可,故有4种颜色可供选择,所以不同涂色方法有5×4×4×4=320(种).答案A8.(2020山东济南高三模拟)某学校实行新课程改革,即除语文、数学、外语三科为必考科目外,还要在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业,按照该大学上一年高考招生选考科目要求,物理、化学必选,为该生安排课表(上午四节、下午四节,每门课每天至少一节),已知该生某天最后两节为自习课,且数学不排下午第一节,语文、外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻),则该生该天课表有(　　)A.444种 B.1 776种 C.1 440种 D.1 560种解析物理、化学、生物、历史、地理、政治六选三,且物理、化学必选,所以只需在生物、历史、地理、政治中四选一,有=4(种).对语文、外语排课进行分类,第1类,语文、外语有一科在下午第一节,则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节,剩下的四科可全排列,有=192(种);第2类,语文、外语都不在下午第一节,则下午第一节可在除语文、数学、外语三科的另三科中选择,有=3(种),语文和外语可都安排在上午,即上午第一、三节,上午第一、四节,上午第二、四节,有3×=6(种),也可一科在上午任一节,一科在下午第二节,有=8(种),其他三科可以全排列,有(6+8)=252(种).综上,共有4×(192+252)=1 776(种).故选B.答案B二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2020江苏扬中高级中学高二期中)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法错误的是(　　)A.若任意选择三门课程,选法总数为B.若物理和化学至少选一门,选法总数为C.若物理和历史不能同时选,选法总数为D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法总数为解析若任意选择三门课程,选法总数为,故A错误;若物理和化学至少选一门,选法总数为,故B错误;若物理和历史不能同时选,选法总数为,故C正确;若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法总数为,故D错误.故选ABD.答案ABD10.(2020江苏丰县中学高二期中)下列等式中,成立的有 (　　)A. B.C. D.=n解析=n(n-1)…(n-m+1)=,故A错误;根据组合数性质知B,C正确;=n,故D正确.故选BCD.答案BCD11.(2020山东高二期中)若(1+mx)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8且a1+a2+…+a8=255,则实数m的值可以为(　　)A.-3 B.-1 C.0 D.1解析因为(1+mx)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,令x=1,得(1+m)8=a0+a1+a2+…+a8,令x=0,得a0=1.因为a1+a2+…+a8=255,所以(1+m)8-1=255,所以(1+m)8=256=28,所以1+m=2或1+m=-2,解得m=1或m=-3.故选AD.答案AD12.(2020山东宁阳第四中学高二期中)已知(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是(　　)A.展开式中奇数项的二项式系数和为256B.展开式中第6项的系数最大C.展开式中存在常数项D.展开式中含x15的项的系数为45解析由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等,可知n=10.又因为展开式的各项系数之和为1 024,即当x=1时,(a+1)10=1 024,所以a=1.所以二项式为.二项式系数和为210=1 024,则奇数项的二项式系数和为×1 024=512,故A错误;由n=10可知展开式共有11项,故第6项的二项式系数最大,因为x2与的系数均为1,则该二项展开式的二项式系数与相应各项的系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确;若展开式中存在常数项,由通项Tk+1=x2(10-k)可得2(10-k)-k=0,解得k=8,故C正确;由通项Tk+1=x2(10-k)可得2(10-k)-k=15,解得k=2,所以系数为=45,故D正确.故选BCD.答案BCD三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2019上海高二期末)某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相同的红包,每人最多抢一个红包,且红包全被抢光,则甲、乙两人都抢到红包的情况有　　　　种. 解析第1步,甲、乙抢到红包,有=4×3=12(种),第2步,其余三人抢剩下的两个红包,有=3×2=6(种),所以甲、乙两人都抢到红包的情况有12×6=72(种).答案7214.将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴某大型展览会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有　　　　种. 解析先分组,再把三组分配到三个不同的场馆,得共有不同的分配方案=90(种).答案9015.(2020安徽高三模拟)(x2+2)的展开式中的常数项为　　　. 解析因为2x-6的展开式中含的项为(2x)2的展开式中含常数项(2x)3=-160,所以(x2+2)的展开式中的常数项为60-320=-260.答案-26016.(2020浙江高三专题练习)某学校要安排2名高二的同学、2名高一的同学和1名初三的同学去参加电视节目,有五个乡村小镇A,B,C,D,E(每名同学选择一个小镇),由于某种原因高二的同学不去小镇A,高一的同学不去小镇B,初三的同学不去小镇D和E,则共有　　　　种不同的安排方法. 解析如果初三学生去A,则高二学生选1人去B,另外三人去C,D,E,故不同的安排方法有=12(种);如果初三学生去B,则高一学生选1人去A,另外三人去C,D,E,故不同的安排方法有=12(种);如果初三学生去C,则高二学生选1人去B,高一学生选1人去A,另外两人去D,E,故不同的安排方法有=8(种).故共有不同的安排方法12+12+8=32(种).答案32四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020黑龙江海林朝鲜族中学高二期末)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.解(1)根据所给的等式求得常数项a0=1.令x=1,可得a0+a1+a2+…+a7=-1.则a1+a2+…+a7=-2.(2)在所给的等式中,令x=1,可得a0+a1+a2+…+a7=-1.①令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…-a7=37.②(①-②)÷2,可得a1+a3+a5+a7=-1 094.(3)由(2),(①+②)÷2,可得a0+a2+a4+a6=1 093.(4)在所给的等式中,令x=-1,可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=a0-a1+a2-a3+…-a7=37=2 187.18.(12分)(2020安徽六安中学高二期中)某医院有内科医生8名、外科医生6名,现选派4名参加抗击新冠肺炎疫情医疗队.(1)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法?(2)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?解(1)不考虑甲、乙两人,从所有14名医生中选派4名共有=1 001(种);甲、乙两人都没被选派共有=495(种).故甲、乙两人至少有一人参加,有1 001-495=506(种).(2)此时4名医生的组成可分为三类:第1类,1名内科医生、3名外科医生,共有=160(种);第2类,2名内科医生、2名外科医生,共有=420(种);第3类,3名内科医生、1名外科医生,共有=336(种).故队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有160+420+336=916(种)选法.19.(12分)(2020四川仁寿第二中学高二月考(理))在n的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.(1)求展开式的第四项;(2)求展开式的常数项;(3)求展开式中各项的系数和.解通项为Tk+1=.由已知,,成等差数列,得2×=1+,解得n=8,故Tk+1=.(1)令k=3,得T4==-7.(2)令8-2k=0,得k=4,故T5=.(3)令x=1,得各项的系数和为8=.20.(12分)(2020江苏高二期中)有7本不同的书:(1)全部分给6个人,每人至少一本,有多少种不同的分法?(2)全部分给5个人,每人至少一本,有多少种不同的分法?解(1)根据题意,将7本书分给6个人,且每人至少1本,则必须是其中1个人2本,其他人每人1本,则分两步:第1步,将7本书,分为6组,其中1组2本,其他组每组1本,有=21(种)分组方法;第2步,将分好的6组对应6人,将6组进行全排列即可,有=720(种)方法.一共有21×720=15 120(种)不同的分法.(2)分两类:第1类,1人得3本,其余4人各得一本,方法数为=4 200;第2类,2人各得2本,其余3人各得1本,方法数为=12 600.所以所求分法种数为4 200+12 600=16 800.21.(12分)(2020河南南阳中学高二月考)已知的展开式的二项式系数和比(3x-1)n的展开式的二项式系数和大992.求的展开式中:(1)二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项.解由题意22n-2n=992,解得n=5.(1)的展开式中第6项的二项式系数最大,即T6=T5+1=·(2x)5·=-8 064.(2)设第k+1项的系数的绝对值最大,Tk+1=·(2x)10-k·=(-1)k··210-k·x10-2k,则即解得≤k≤,故k=3.系数的绝对值最大的项为T4=(2x)7=-15 360x4.22.(12分)(2020江苏徐州高二月考)从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问:(1)能组成多少个没有重复数字的七位数?(2)在(1)中的七位数中,三个偶数排在一起的有几个?(3)在(1)中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个?(4)在(1)中任意两偶数都不相邻的七位数有几个?解(1)分步完成:第1步,在四个偶数中取三个,可有种情况;第2步,在五个奇数中取四个,可有种情况;第3步,三个偶数,四个奇数进行排列,可有种情况.所以符合题意的七位数有=100 800(个).(2)上述七位数中,三个偶数排在一起的有=14 400(个).(3)上述七位数中,三个偶数排在一起,四个奇数也排在一起的有=5 760(个).(4)上述七位数中,偶数都不相邻,可先把四个奇数排好,再将三个偶数分别插入5个空位,共有=28 800(个).