第1章特殊的平行四边形 解答题 训练 2022-2023学年北师大版九年级数学上册(word版含答案)

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2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊的平行四边形》
解答题优生辅导训练（附答案）
1．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB，PE交CD于点F，连接DE．

（1）请判断△PDE的形状，并给予证明；
（2）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC＝56°，求∠DPE的度数．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（1）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（2）求证：PC⊥CF．

3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．


4．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．

（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
5．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G为边CB延长线上一点．
①△GAB≌△FAD吗？说明理由．
②若线段DF＝4，BE＝8，求线段EF的长度．
③若DF＝4，CF＝8．求线段EF的长度．

6．如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）如图2若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

7．如图，点O是菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．求证：
（1）四边形OCED是矩形；
（2）OE＝BC．

8．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°
（1）求证：∠BAG＝∠CBF；
（2）求证：AG＝FG；
（3）若GF＝2BG，CF＝，求AB的长．

9．已知正方形ABCD，E、F分别在DC、BC上，DE＝CF，AE、DF相交于点G．
（1）求证：AE⊥DF；
（2）当E是DC中点时，求证：AB＝BG．

10．如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM．
①如图2，若N为AB中点，BN＝2，求CN的长；
②如图2，若CM＝3，CN＝4，求BC的长．

11．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．

12．阅读探究题：如图1，四边形ABCD是正方形（正方形的四边相等，四个角都是直角），点E是边BC的中点．∠AEF＝90°，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，

（1）求出角∠ECF的度数？
（2）求证：AE＝EF．
（3）如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为这样的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
13．如图，正方形ABCD中，E，F分别在对角线AC，BD上，且CE＝BF，连接AF，BE，并延长AF交BE于点G，
求证：AG⊥EB．

14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE＝BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．
（1）求证：∠BFC＝∠BEA；
（2）求证：AM＝BG+GM．

15．如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．
探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．
①DM的延长线交FE于点N，且AD＝NE；②将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且CF＝2AD．
附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．


16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当AB＝AC时，求证：四边形ADCF矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？并证明你的结论．

17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE，且∠ODE＝15°．
（1）求证：CO＝CE；
（2）求∠OED的度数．

18．已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点P为矩形外一点且满足AP＝PC，AP⊥PC，PC交AD于点N，连接DP，过点P作PM⊥PD交AD于M．
（1）若AP＝5，AB＝BC，求矩形ABCD的面积；
（2）若CD＝PM，试判断线段AC、AP、PN之间的关系，并证明．

19．如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．
（1）当α＝20°时，求∠DAE的度数；
（2）判断△AEG的形状，并说明理由；
（3）当GF＝1时，求CE的长．

20．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝　 　°（直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求DF的长．
（3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝5，QH＝2，则HR的长度是 　 　（直接写出结果不写解答过程）．


参考答案
1．（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF；
（2）证明：∵DE∥BC，DE＝CF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵∠CAB＝∠B＝30°，
∴∠ACF＝60°，
∴∠CED＝60°，
∵DE＝BC，CE＝AC，BC＝AC，
∴DE＝CE，
∴△DEC是等边三角形，
∴DE＝DC，
∴平行四边形CDEF为菱形．
（3）解：∵平行四边形CDEF为菱形，
∴DE＝EF＝FC＝CD，
∵△DEC是等边三角形，
∴DE＝EC＝CD，
∴EF＝FC＝EC，
∵AE＝EC，
∴AE＝EF＝EC，
∵∠CEF＝60°，
∴∠EAF＝∠EFA＝30°，
∴∠AFC＝90°，
∵CF＝BC＝1，
∴AF＝CF＝．
2．证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE且DC∥AB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴四边形DFBE是矩形；
（2）方法一：
∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB，
∴AE＝，DE＝AE＝，
∵四边形DFBE是矩形，
∴BF＝DE＝，
∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB＝∠DAB＝30°，且BF⊥AB，
∴AB＝BF＝．
方法二：
∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB，
∴AE＝，
∵AB∥DC，
∴∠AFD＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠AFD＝∠DAF，
∴DA＝DF＝3，
又DF＝BE＝3，
∴AB＝AE+BE＝．
3．证明：（1）在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴BO＝DO，
∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AO＝BO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）过点E作EF⊥BD于F，如图所示：
由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵BD＝AB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∵EF⊥BD，
∴∠EFB＝∠EFD＝90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴FE＝FB，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠FDE，
在△ADE和△FDE中，
，
∴△ADE≌△FDE（AAS），
∴AD＝FD，AE＝FE，
∴AE＝FB，
∵BD＝FD+FB，
∴BD＝AD+AE．

4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF＝BE，
∴OE是△BDF的中位线，
∴DF∥AC；
（2）证明：由（1）得：DF∥AC，
∴∠FDG＝∠ECG，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△DFG和△CEG中，
，
∴△DFG≌△CEG（ASA），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥BF，
∴CD⊥BF，
∴平行四边形CFDE是菱形；
（3）解：∵四边形CFDE是正方形，
∴EF＝CD＝AB＝2，EF⊥CD，
∴CG＝DG＝EG＝FG＝EF＝1，
∵BE＝EF＝2，
∴BG＝BE+EG＝3，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝＝＝．
5．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
又∵BE＝DF，
∴AB+BE＝DC+DF，
即AE＝CF，
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AC、EF互相平分；
（2）∵AB∥DC，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEO＝∠CEO，
∴∠CEO＝∠CFO
∴CE＝CF，
由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，
∴平行四边形AECF是菱形．
6．解：如图，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠CBD＝∠CDB＝45°，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，
∴∠BCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠BEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，
∵EF＝EC，
∴∠EFC＝∠BCE＝22.5°，
∴∠FEC＝180°﹣22.5°﹣22.5°＝135°，
∴∠BEF＝135°﹣112.5°＝22.5°．
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BAE＝∠BCE＝22.5°，EA＝EC＝EF，∠BEA＝∠BEC＝112.5°，
∴∠AEF＝112.5°﹣22.5°＝90°，
∴∠EAF＝∠EFA＝45°，
∴∠BAF＝45°﹣22.5°＝22.5°．

7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵FC＝AE，
∴DC﹣FC＝AB﹣AE，
即DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形DEBF是矩形；
（2）解：∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵DC∥AB，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DFA＝∠DAF，
∴AD＝DF＝10，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝8，
由（1）得：四边形DEBF是矩形，
∴BF＝DE＝8．
8．（1）证明：∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE．
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS）．
∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．
∴四边形EFMN是菱形，
∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，
∴∠ENA+∠DNM＝90°．
∴∠ENM＝90°．
∴四边形EFMN是正方形；
（2）解：∵AB＝7，AE＝3，
∴AN＝BE＝AB﹣AE＝4，
∴EN＝＝5，
∴正方形EFMN的周长＝4×5＝20．
9．（1）证明：∵AD∥BC，O为对角线AC的中点，
∴AO＝CO，∠OAM＝∠OCN，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形；
（2）①证明：∵MN平分∠AMC，
∴∠AMN＝∠CMN，
∵AD∥BC，
∴∠AMN＝∠CNM，
∴∠CMN＝∠CNM，
∴CM＝CN，
∴平行四边形ANCM为菱形；
②解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABN＝90°，BC＝AD＝8，
∴AB＝＝＝4，
∵AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，
在Rt△ABN中，根据勾股定理得：
AN2＝AB2+BN2，
∴（8﹣DM）2＝42+DM2，
解得DM＝3．
故DM的长为3．
10．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE，
在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴BE＝ED，
∵BE＝EF，
∴DE＝EF；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝∠DCF＝90°，
∴∠F+∠FGC＝90°，
∵△BCE≌△DCE，
∴∠CBE＝∠CDE，
∵BE＝EF，
∴∠CBE＝∠F，
∴∠F＝∠CDE，
∵∠FGC＝∠DGE，
∴∠CDE+∠DGE＝90°，
∴∠DEF＝90°．
11．（1）证明：∵∠FBA＝∠DAB，
∴BF∥AD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝BD，
∴平行四边形ADBF是菱形；
（2）解：∵S菱形ADBF＝40，
∴S△ABD＝S菱形ADBF＝20，
∵D是BC的中点，
∴S△ABC＝2S△ABD＝40，
又∵∠BAC＝90°，
∴S△ABC＝AB•AC，
∴×8×AC＝40，
∴AC＝10，
∴BC＝＝＝2，
即AC＝10，BC＝2．
12．证明：（1）∵EH平分∠BEF，FH平分∠DFE，
∴∠FEH＝∠BEF，∠EFH＝∠DFE，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∴∠FEH+∠EFH＝（∠BEF+∠DFE）＝×180°＝90°，
∵∠FEH+∠EFH+∠EHF＝180°，
∴∠EHF＝180°﹣（∠FEH+∠EFH）＝180°﹣90°＝90°，
同理可得：∠EGF＝90°，
∵EG平分∠AEF，
∵EH平分∠BEF，
∴∠GEF＝∠AEF，∠FEH＝∠BEF，
∵点A、E、B在同一条直线上，
∴∠AEB＝180°，
即∠AEF+∠BEF＝180°，
∴∠FEG+∠FEH＝（∠AEF+∠BEF）＝×180°＝90°，
即∠GEH＝90°，
∴四边形EGFH是矩形；
（2）∵MN∥EF∥PQ，MP∥NQ，
∴四边形MNQP为平行四边形．
如图，延长EH交CD于点O，
∵∠PEO＝∠FEO，∠PEO＝∠FOE，
∴∠FOE＝∠FEO，
∴EF＝FD，
∵FH⊥EO，
∴HE＝HO，
∵∠EHP＝∠OHQ，∠EPH＝∠OQH，
∴△EHP≌△OHQ（AAS），
∴HP＝HQ，
同理可得GM＝GN，
∵MN＝PQ，
∴MG＝HP，
∴四边形MGHP为平行四边形，
∴GH＝MP，
∵MN∥EF，ME∥NF，
∴四边形MEFN为平行四边形，
∴MN＝EF，
∵四边形EGFH是矩形，
∴GH＝EF，
∴MN＝MP，
∴平行四边形MNQP为菱形．

13．（1）证明：
∵四边形ABCD，AGFE是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，
∴∠EAB＝∠GAD，
在△AEB和△AGD中，
，
∴△EAB≌△GAD（SAS）；
（2）∵△EAB≌△GAD，
∴EB＝GD，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝，
∴BD⊥AC，AC＝BD＝AB＝6，
∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝3，
∵AG＝3，
∴OG＝OA+AG＝6，
∴GD＝，
∴EB＝．
14．（1）证明：过点E作MN⊥AD于M，交BC于点N，如图：

∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，AD＝DC，∠ADB＝45°，
∵MN⊥AD，
∴MN⊥BC，
∴四边形NCDM为矩形，
∴MN＝CD，
∵∠ADB＝45°，MN⊥AD，
∴MD＝ME，
∴AM＝EN，
∵AE⊥EF，
∴∠AEM+∠FEN＝90°．
∵∠AEM+∠MAE＝90°，
∴∠FEN＝∠MAE，
∴△AEM≌△EFN（ASA），
∴AE＝EF．
（2）解：CF＝DE，理由如下：
由（1）知△AEM≌△EFN，∠ADB＝45°，
∴ME＝FN＝MD，
∵四边形NCDM为矩形，
∴CN＝MD，
∴CF＝2MD，
∵DE＝MD，
∴CF＝DE；
（3）解：设DE＝x．由（1）得：FE2＝AE2＝AM2+ME2＝（4﹣x）2+（x）2，
由（2）得CF＝DE，
∴CF＝x，
∵FE＝FC，
∴FE2＝FC2，
∴（4﹣x）2+（x）2＝（x）2，
解方程得：x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），
∴DE＝2﹣2．
15．（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵点E为DF中点，
∴AE＝EF＝DE＝DF，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵∠EAD＝∠EDA，
∵∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD，∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA，
∴∠BAE＝∠CDE，
在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（SAS）；
（3）解：∵△AEB≌△DEC，
∴EB＝EC，
∵EB＝BC，
∴EB＝BC＝EC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
∵EB＝BC＝AB，
∴∠BAE＝（180°﹣30°）＝75°，
又∵AE＝EF，
∴∠AFD＝∠BAE＝75°．
16．解：如图过点E作BC的平行线，交AB、CD于M、N，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠END＝∠EMB＝90°，
∴∠FEN+∠EFN＝90°，且∠FEN+∠AEM＝90°，
∴∠AEM＝∠EFN，
∵EN+EM＝AD＝AB＝AM+BM，
在△BME中，∠ABD＝45°，
∴BM＝EM，
∴AM＝EN，
又∵∠AEM＝∠EFN，∠AME＝∠ENF，
∴△AEM≌△EFN（AAS），
∴EM＝FN＝BM，
∵BM＝CN，
∴BM+FN＝BM+CN＝CF＝BC﹣DF＝4﹣2＝2，
∴MB＝EM＝1，
∴BE＝．
17．解：（1）△GAB≌△FAD，理由：
过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G为边CB延长线上一点，如图，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，
∴∠ABG＝90°，
∴∠ABG＝∠D．
在△GAB和△FAD中，
，
∴△GAB≌△FAD（ASA）；
（2）线段DF、BE、EF之间的数量关系为：DF+BE＝EF．理由：
由（1）知：△GAB≌△FAD，
∴BG＝DF，AG＝AF．
∵∠DAF+∠BAF＝90°，∠GAB＝∠FAD，
∴∠GAB+∠FAB＝90°，
∴∠GAF＝90°．
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAE＝∠FAE＝45°．
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝BG+BE，
∴DF+BE＝EF．
18．解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝6﹣t
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝6﹣t，得t＝3
故当t＝3时，四边形ABQP为矩形．
（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即时，四边形AQCP为菱形，解得t＝，
故当t＝s时，四边形AQCP为菱形．
（3）当t＝时，AQ＝，CQ＝，
则周长为：4AQ＝4×＝15cm
面积为：（cm2）．
19．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，对角线的交点为O，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB，
∵AC⊥BD，AG⊥BE，
∴∠FAO+∠AFO＝90°，∠EAG+∠AEG＝90°，
∴∠AFO＝∠BEO，
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（AAS），
∴OE＝OF；
（2）OF＝OE．
理由：∵四边形ABCD是菱形，对角线的交点为O，∠ABC＝120°
∴AC⊥BD，∠ABO＝60°，
∴∠FAO+∠AFO＝90°，
∵AG⊥BE，
∴∠EAG+∠BEA＝90°．
∴∠AFO＝∠BEO，
又∵∠AOF＝∠BOE＝90°，
∵∠ABO＝60°，AC⊥BD，
∴＝．
∴OF＝OE；
20．解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；

（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，

∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，
∴BD＝2，
∴DM＝BD＝．
方法二：过M作MH⊥DF于H，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形，
∴∠CEF＝45°，
∴∠AEB＝∠CEF＝45°，
∴BE＝AB＝8，
∴CE＝CF＝14﹣8＝6，
∵MH∥CE，EM＝FM，
∴CH＝FH＝CF＝3，
∴MH＝CE＝3，
∴DH＝11，
∴DM＝＝．

1．（1）∴△PDE为等腰直角三角形
证明：在正方形ABCD中，BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，
在△BCP和△DCP中，

∴△BCP≌△DCP（SAS）；
∴∠CBP＝∠CDP，PD＝PB
∵PE＝PB，
∴∠CBP＝∠CEP，PD＝PE
∵∠CFE＝∠PFD（对顶角相等）
∴180°﹣∠PFD﹣∠CDP＝180°﹣∠CFE﹣∠CEP
即∠DPE＝∠DCE＝90°
∴△PDE为等腰直角三角形．

（2）解：∵AB∥CD
∴∠DCE＝∠ABC，∠DPE＝∠DCE
∴∠DPE＝∠ABC
∵∠ABC＝56°
∴∠DPE＝56°．
2．解：（1）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°，
∴DC＝AB＝6，
∴AC＝＝10，
要使△PCD是等腰三角形，
①当CP＝CD时，AP＝AC﹣CP＝10﹣6＝4，
②当PD＝PC时，∠PDC＝∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD＝∠PDC+∠PDA＝90°，
∴∠PAD＝∠PDA，
∴PD＝PA，
∴PA＝PC，
∴AP＝AC＝5，
③当DP＝DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ＝CQ，
∵S△ADC＝AD•DC＝AC•DQ，
∴DQ＝，
∴CQ＝，
∴PC＝2CQ＝，
∴AP＝AC﹣PC＝10﹣＝；
所以，若△PCD是等腰三角形时，AP＝4或5或；
（2）如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，
∵四边形ABCD和PEFD是矩形，
∴∠ADC＝∠PDF＝90°，
∴∠ADP+∠PDC＝∠PDC+∠CDF，
∴∠ADP＝∠CDF，
∵∠BCD＝90°，OE＝OD，
∴OC＝ED，
在矩形PEFD中，PF＝DE，
∴OC＝PF，
∵OP＝OF＝PF，
∴OC＝OP＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC，
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF＝180°，
∴2∠OCP+2∠OCF＝180°，
∴∠PCF＝90°，
∴PC⊥CF．


3．（1）证明：如图，∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：连接DF，
∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S＝AC•DF＝10．

4．解：（1）结论：PB＝PQ，
理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形．
∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ；
（2）结论：PB＝PQ．
理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ．

5．解：①全等．
证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB＝AD，∠ABG＝∠D，
在△ABG和△ADF中，∠GAB＝∠FAD，AB＝AD，∠ABG＝∠D
∴△GAB≌△FAD．
②解：∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°
∴∠DAF+∠BAE＝45°
∵△GAB≌△FAD
∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF
∴∠GAB+∠BAE＝45°
∴∠GAE＝45°
∴∠GAE＝∠EAF
在△GAE和△FAE中
∵AG＝AF，∠GAE＝∠EAF，AE＝AE
∴△GAE≌△FAE（SAS）
∴EF＝GE．
∵△GAB≌△FAD
∴GB＝DF
∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝8+4＝12．
③设EF＝x，则BE＝GE﹣BG＝x﹣4．
∵EC＝BC﹣BE，
∴EC＝12﹣（x﹣4）＝16﹣x．
在Rt△EFC中，依据勾股定理可知：EF2＝FC2+EC2，即（16﹣x）2+82＝x2，
解得：x＝10．
∴EF＝10．
6．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA＝∠AFO．
在△BOE和△AOF中，
∵，
∴△BOE≌△AOF．
∴OE＝OF．
（2）OE＝OF成立．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MBF＝90°，
∠E+∠OBE＝90°，
又∵∠MBF＝∠OBE，
∴∠F＝∠E．
在△BOE和△AOF中，
∵，
∴△BOE≌△AOF．
∴OE＝OF．
7．证明：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵菱形ABCD中，AC⊥BD，即∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）∵四边形OCED是矩形，
∴OE＝CD，
又∵菱形ABCD中，BC＝CD，
∴OE＝BC．
8．（1）证明：过C点作CH⊥BF于H点，
∵∠CFB＝45°
∴CH＝HF，
∵∠ABG+∠BAG＝90°，∠FBE+∠ABG＝90°
∴∠BAG＝∠FBE，
（2）证明：∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB＝∠BHC＝90°，
在△AGB和△BHC中，
，
∴△AGB≌△BHC，
∴AG＝BH，BG＝CH，
∵BH＝BG+GH，
∴BH＝HF+GH＝FG，
∴AG＝FG；
（3）解：在Rt△CHF中，∠CFB＝45°，
∵CF＝，
∴CH＝FH＝1，
由（2）可知BG＝CH，AG＝FG，
∴BG＝1，∵GF＝2BG，
∴FG＝AG＝2，
在Rt△ABG中，AB＝＝＝．

9．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF＝90°，
∴∠DAE+∠ADF＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴AE⊥DF；
（2）方法一：如图，过点B作BH⊥AG于点H，

∵AE⊥DF，
∴∠ADG+∠DAG＝∠BAH+∠DAG＝90°，
∴∠ADG＝∠BAH，
在△ADG和△BAH中，
，
∴△ADG≌△BAH（AAS），
∴DG＝AH，
∵E是DC中点，
∴DE＝EC，
设DE＝a，则AD＝2a，
∴AE＝a，
∵S△ADE＝AE•DG＝AD•DE，
∴a•DG＝2a•a，
∴DG＝a，
∴AH＝DG＝a，
在Rt△DEG中，DE＝a，DG＝a，
∴EG＝＝a，
∴HG＝AE﹣AH﹣GE＝a﹣a﹣a＝a，
∴AH＝GH，
∵BH⊥AG，
∴AB＝BG．
方法二：如图，延长DF，与AB交于点M，

∵E是DC中点，
∴DE＝CE，
在正方形ABCD中，∠ABC＝∠C＝90°，AB＝DC＝BC，AB∥DC，
∴∠M＝∠FDC，
∴DE＝CF，
∴BF＝CF，
在△BFM和△CDF中，
，
∴△BFM≌△CDF（AAS），
∴BM＝CD，
∵AB＝CD，
∴AB＝BM，
∵AE⊥DF，
∴BG＝AM＝AB，
即AB＝BG．
10．（1）证明：如图1中，

∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）①如图2中，延长CM、BA交于点E．

∵AN＝BN＝2，
∴AB＝CD＝4，
∵AE∥DC，
∴∠E＝∠MCD，
在△AEM和△DCM中，
，
∴△AME≌△DMC，
∴AE＝CD＝4，
∵∠BNC＝2∠DCM＝∠NCD，
∴∠NCE＝∠ECD＝∠E，
∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6．
②如图3中，延长CM、BA交于点E．

由①可知，△EAM≌△CDM，EN＝CN，
∴EM＝CM＝3，EN＝CN＝4，设BN＝x，则BC2＝CN2﹣BN2＝CE2﹣EB2，
∴42﹣x2＝62﹣（x+4）2，
∴x＝，
∴BC＝＝＝．
11．（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，
∴∠FDC＝36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CO＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．
12．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°＝∠DCG，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF＝∠DCG＝45°，
∴∠FCE＝90°+45°＝135°；
（2） 证明：取AB中点M，连接EM，

∵AB＝BC，E为BC中点，M为AB中点，
∴AM＝CE＝BE，
∴∠BME＝∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°＝∠ECF，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△AME和△ECF中
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（3）解：正确，
理由是：在AB上截取BM＝BE，连接ME，
∵∠B＝90°，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∴∠AME＝135°＝∠ECF，
∵AB＝BC，BM＝BE，
∴AM＝EC，
在△AME和△ECF中
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
13．证明：在正方形ABCD中，AC⊥BD且O是AC与BD的交点．
∴∠AOF＝∠BOE＝90°，OA＝OC＝OB．
∵CE＝BF
∴OF＝OE．
∴Rt△AOF≌Rt△BOE．
∴∠OAF＝∠OBE．
∵∠OAF+∠OFA＝90°，∠OFA＝∠BFG．
∴∠OBE+∠BFG＝90°．
∴∠AGB＝90°，即AG⊥EB．
14．证明：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠BFC＝∠BEA；
（2）连接DG，在△ABG和△ADG中，
，
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴BG＝DG，∠2＝∠3，
∵BG⊥AE，
∴∠BAE+∠2＝90°，
∵∠BAD＝∠BAE+∠DAM＝90°，
∴∠2＝∠3＝∠DAM，
∵GM⊥CF，
∴∠BCF+∠1＝90°，
又∠BCF+∠BFC＝90°，
∴∠1＝∠BFC＝∠2，
∴∠1＝∠3，
在△ADG中，∠DGC＝∠3+45°，
∴∠DGC也是△CGH的外角，
∴D、G、M三点共线，
∵∠3＝∠DAM（已证），
∴AM＝DM，
∵DM＝DG+GM＝BG+GM，
∴AM＝BG+GM．

15．证明：关系是：MD＝MF，MD⊥MF
如图，延长DM交CE于点N，连接FD、FN

∵正方形ABCD，
∴AD∥BE，AD＝DC，
∴∠1＝∠2
又∵AM＝EM，∠3＝∠4
∴△ADM≌△ENM
∴AD＝EN，MD＝MN
∵AD＝DC，∴DC＝NE
又∵正方形CGEF，∴∠FCE＝∠NEF＝45°，FC＝FE，∠CFE＝90°
又∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°．∴∠DCF＝∠NEF＝45°
∴△FDC≌△FNE
∴FD＝FN，∠5＝∠6
∵∠CFE＝90°，∴∠DFN＝90°
又∵DM＝MN＝DN，
∴M为DN的中点，
∴FM＝DN，
∴MD＝MF，DM⊥MF
思路一：∵四边形ABCD、CGEF是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD＝90°
CF＝EF＝EG＝CG，∠G＝∠GEF＝∠EFC＝∠FCG＝90°，∠FCE＝∠FEC＝45°
∴∠DCF＝∠FEC
思路二：
延长DM交CE于N，∵四边形ABCD、CGEF是正方形
∴AD∥CE，∴∠DAM＝∠NEM
又∵∠DMA＝∠NME，AM＝EM，∴△ADM≌△ENM
思路三：∵正方形CGEF，
∴∠FCE＝∠FEC＝45°
又∵正方形ABCD，
∴∠DCB＝90°．
∴∠DCF＝180°﹣∠DCB﹣∠FCE＝45°，∠DCF＝∠FEC＝45°
选取条件①
证明：如图
∵正方形ABCD，
∴AD∥BE，AD＝DC，∴∠1＝∠2
∵AD＝NE，∠3＝∠4，∴△ADM≌△ENM
∴MD＝MN
又∵AD＝DC，
∴DC＝NE
又∵正方形CGEF，
∴FC＝FE，∠FCE＝∠FEN＝45°．
∴∠FCD＝∠FEN＝45°
∴△FDC≌△FNE
∴FD＝FN，∠5＝∠6，
∴∠DFN＝∠CFE＝90°
∴MD＝MF，MD⊥MF
选取条件②
证明：如图，
延长DM交FE于N

∵正方形ABCD、CGEF
∴CF＝EF，AD＝DC，∠CFE＝90°，AD∥FE．
∴∠1＝∠2
又∵MA＝ME，∠3＝∠4，
∴△AMD≌△EMN
∴MD＝MN，AD＝EN．
∵AD＝DC，
∴DC＝NE
又∵FC＝FE，
∴FD＝FN
又∵∠DFN＝90°，
∴FM⊥MD，MF＝MD．
选取条件③
证明：如图，
延长DM交FE于N．
∵正方形ABCD、CGEF
∴CF＝EF，AD＝DC，∠CFE＝90°，AD∥FE
∴∠1＝∠2
又∵MA＝ME，∠3＝∠4，
∴△AMD≌△EMN
∴AD＝EN，MD＝MN．
∵CF＝2AD，EF＝2EN
∴FD＝FN．又∵∠DFN＝90°，
∴MD＝MF，MD⊥MF
附加题：
证明：如图
过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN
则∠ADC＝∠H，∠3＝∠4．
∵AM＝ME，∠1＝∠2，
∴△ADM≌△ENM
∴DM＝NM，AD＝EN．
∵正方形ABCD、CGEF
∴AD＝DC，FC＝FE，∠ADC＝∠FCG＝∠CFE＝90°，CG∥FE
∴∠H＝90°，∠5＝∠NEF，DC＝NE
∴∠DCF+∠7＝∠5+∠7＝90°
∴∠DCF＝∠5＝∠NEF
∵FC＝FE，∴△DCF≌△NEF
∴FD＝FN，∠DFC＝∠NFE．
∵∠CFE＝90°
∴∠DFN＝90°．
∴DM＝FM，DM⊥FM．

16．解：
（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠EDB，∠AFE＝∠EBD．
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
又∵BD＝DC，
∴AF＝DC，
∴四边形ADCF为平行四边形；
（2）证明：∵AB＝AC，且AD为BC边上的中线，
∴AD⊥CD，
即∠ADB＝90°，
∴四边形ADCF为矩形；
（3）解：当△ABC满足∠BAC＝90°时，则四边形ADCF是菱形，
理由如下：
∵∠BAC＝90°，AD是BC边的中线，
∴AD＝DC＝BC，
又∵四边形ADCF为平行四边形，
∴四边形ADCF是菱形．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠CDE＝∠ADC＝45°，
∴∠CED＝90°﹣45°＝45°＝∠CDE，
∴EC＝DC，
∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°；
∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC；
∴△OCD是等边三角形；
∴OC＝CD，
∴CO＝CE．
（2）解：∵△COD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°；
∵DE平分∠ADC，∠ECD＝90°，
∠CDE＝∠CED＝45°，
∴CD＝CE＝CO，
∴∠COE＝∠CEO；
∴∠CEO＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠OED＝∠CEO﹣∠CED＝30°．
18．解：（1）∵AP＝PC，AP⊥PC，
∴AC＝AP＝5
∵AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，
∴AB＝，BC＝3
∴S四边形ABCD＝AB×BC＝15
（2）AC＝AP+PN
如图．延长AP，CD交于点E

∵AP＝PC，AP⊥PC，
∴∠APC＝90°，∠PAC＝∠PCA＝45°
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠APC
∴∠PDA＝∠PCA＝45°，∠PCD＝∠PAD，∠DPC＝∠DCA，
∵PM⊥PD
∴∠PMD＝∠PDM＝45°
∴PM＝PD，且PM＝CD
∴PD＝CD，
∴∠DPC＝∠DCP
∴∠PAD＝∠DAC，且AD＝AD，∠ADE＝∠ADC＝90°
∴△ADE≌△ADC（ASA）
∴AC＝AE，
∵AP＝PC，∠APC＝∠EPC＝90°，∠PCE＝∠PAD
∴△PAN≌△PEC（ASA）
∴PN＝PE
∴AC＝AE＝AP+PE＝AP+PN
19．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AB＝AD，
∵∠CDE＝20°，
∴∠ADE＝70°，
∵DE＝AB，
∴DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°．
（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．
理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，
∴DG是AE的垂直平分线，
∴AG＝GE，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，
∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，
∴∠DEA+∠DEC＝135°，
∴∠GEA＝45°，
∴∠GAE＝∠GEA＝45°，
∴∠AGE＝90°，
∴△AEG为等腰直角三角形．
（3）如图，连接AC，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB＝，
∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，
∴GF＝AF＝EF＝1，
∴AG＝GE＝，
∵AC2＝AG2+GC2，
∴10＝2+（EC+）2，
∴EC＝（负根已经舍弃）．

20．解：（1）∵∠C＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFE＝DFE，∠AEF＝BEF，
∴∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF）＝270°＝135°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，
故答案为：45；
（2）①作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②设DF＝x，
∵BE＝EC＝3，
∴BC＝6，
由①得四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ABE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝EG＝3，
同理，GF＝DF＝x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，
即32+（6﹣x）2＝（x+3）2，
解得：x＝2，
∴DF的长为2；
（3）解：如图2所示：
把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，
由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，
∴MG＝DG＝MP＝PH＝5，
∴GQ＝3，
设MR＝HR＝a，则GR＝5﹣a，QR＝a+2，
在Rt△GQR中，由勾股定理得：（5﹣a）2+32＝（2+a）2，
解得：a＝，即HR＝；
故答案为：．