人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课前预习ppt课件

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第2课时　基本不等式在实际问题中的应用
第二章　§2.2　基本不等式
学习目标
1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.
2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.
3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题.
导语
同学们，数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的问题，比如：“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左、右两个矩形框架，两框架面积之和为18 000 m2，现地上部分要建在矩形ABCD上，已知两框架与矩形ABCD空白的宽度为10 m，两框架之间的中缝空白宽度为5 m，请问作为设计师的你，应怎样设计矩形ABCD，才能使水立方占地面积最小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不等式哦，让我们开始今天的探究之旅吧！
内容索引
基本不等式在生活中的应用

一
问题　利用基本不等式求最大(小)值时，应注意哪些问题？
提示　一正：x，y都得是正数；二定：积定和最小，和定积最大；三相等：检验等号成立的条件是否满足实际需要.
(教材46页例3改编)小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度.
设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y)m.方法一　由已知xy＝16，
所以2(x＋y)≥16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.
当且仅当x＝y＝4时，等号成立，因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.
延伸探究　如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？
由已知得2(x＋y)＝12，故x＋y＝6，面积为xy，
可得xy≤9，当且仅当x＝y＝3时，等号成立.因此，当游乐园为边长为3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2.
利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意.设变量，并理解变量的实际意义；(2)构造定值.利用基本不等式求最值；(3)检验.检验等号成立的条件是否满足题意；(4)结论.
反思感悟
　　　 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价.
设该长方体容器底面的长和宽分别为a m，b m，成本为y元，由于长方体容器的容积为4 m3，高为1 m，所以底面面积S＝ab＝4，y＝20S＋10[2(a＋b)]＝20(a＋b)＋80，由基本不等式可得y＝20(a＋b)＋80≥20× ＋80＝160(元)，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，因此，该容器的最低总造价为160元.
基本不等式在几何中的应用

二
　　如图所示，设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB′交DC于点P，设AB＝x.(1)用x表示DP，并求出x的取值范围；
矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，
∵AB>BC＝AD，得x>12－x，∴60，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，
当且仅当x＝y＝2时，等号成立，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.
2.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行.刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是A.采用第一种方案划算B.采用第二种方案划算C.两种方案一样D.无法确定
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假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升.
所以无论油价如何变化，第二种方案都更划算.
3.某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则
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由题意得，A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，则(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2，
4. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，矩形花园面积的最大值为______.
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由题意设矩形花园的长为x>0，宽为y>0，矩形花园的面积为xy，根据题意作图，如图，因为花园是矩形，则△ADE与△ABC相似，所以 ，又因为AG＝BC＝40，所以AF＝DE＝x，FG＝y，所以x＋y＝40，
当且仅当x＝y＝20时，矩形花园面积最大，最大值为400.
课时对点练

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1.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“____”的几何解释A.如果a>b>0，那么B.如果a>b>0，那么a2>b2C.对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时 等号成立D.对任意正实数a和b，有a＋b≥ ，当且仅当a＝b时等号成立
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具体过程详见下页GeoGebra动画演示.
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可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c(c2＝a2＋b2)，则外围的正方形的面积为c2，也就是a2＋b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立.
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2.汽车上坡时的速度为a，原路返回时的速度为b，且0＜a＜b，则汽车全程的平均速度比a，b的平均值A.大 B.小C.相等 D.不能确定
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3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是A.6.5 m B.6.8 mC.7 m D.7.2 m
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4. 如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的A.最小长度为8B.最小长度为C.最大长度为8D.最大长度为
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设BC＝a，CD＝b，因为矩形的面积为4，所以ab＝4，所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为
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5.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产x件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品A.30件 　　 B.60件 C.80件　　 D.100件
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根据题意，生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是900＋x×＝900＋ x2，设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y，
即每批生产产品60件时，平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.
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6.(多选)已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y(万元)与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是A.车辆运营年数越多，收入越高B.车辆在第6年时，总收入最高C.车辆在前5年的平均收入最高D.车辆每年都能盈利
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由题意可知，y＝－x2＋12x－25，是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x＝6，故B正确；
当x＝1时，y＝－14，故D错误.
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7.矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为_____.
由题意，矩形中长为a，宽为b，且面积为64，即ab＝64，
32
当且仅当a＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32.
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8. 如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上、下空白各宽2 dm，左、右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是____ dm2.
56
当且仅当x＝ ，即x＝12时等号成立.即四周空白部分面积的最小值为56 dm2.
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9. 如图，墙角线互相垂直，长为a m的木棒AB的两个端点分别在这两墙角线上，如何放置木棒才能使围成区域的面积最大？
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设OA＝x m，OB＝y m，因为OA⊥OB，所以OA2＋OB2＝AB2，即x2＋y2＝a2，
所以当OA＝OB＝ a m，即当放置木棒使A，B到O点的距离相等时，木棒围成区域的面积最大.
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10.为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，我校计划沿着围墙(足够长)划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场，规定ABCD的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形EFGH为羊驼养殖区，且点A，B，E，F四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设AB＝x(单位：米)，养殖区域EFGH的面积为S(单位：平方米).
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(1)将S表示为x的函数，并写出x的取值范围；
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(2)当AB为多长时，S取得最大值？并求出此最大值.
当且仅当x＝10 时，等号成立，经验证，符合题意，即当AB＝10 米时，S取得最大值，最大值为(102－20 )平方米.
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11.无字证明是指只用图象而无需文字解释就有不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，现有如图所示图形，在等腰Rt△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边上异于顶点的一个动点，设AD＝a，BD＝b，则该图形可以完成的无字证明为
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12.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝ 求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为
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当且仅当7－b＝7－c，即b＝c＝4时，等号成立，
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13.某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，提价幅度较大的一种是A.先提价p%，后提价q%(p≠q)B.先提价q%，后提价p%(p≠q)
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设提价前的价格为1，由题意可知，A，B选项的两次提价后的价格均为(1＋p%)(1＋q%)；
∴提价幅度较大的为D选项.
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14.某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站____ km处.
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设仓库到车站的距离为x，每月土地费用为y1，每月货物的运输费用为y2，
把x＝10，y1＝2与x＝10，y2＝8分别代入上式得k1＝20，k2＝0.8，
∴当仓库建在离车站5 km处时两项费用之和最小.
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15.一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是A.大于10 g B.大于等于10 gC.小于10 g D.小于等于10 g
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由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a(a>0)，右臂长为b(b>0)，则a≠b，再设先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则bx＝5a，ay＝5b，
因此，顾客购得的黄金大于10 g.
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16.某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(10－0.1x)万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格.(1)求每套丛书利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？
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此时销量为10－0.1×80＝2(万套)，总利润为2×55＝110(万元).
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(2)每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润.
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