高中人教A版 (2019)2.2 基本不等式习题课件ppt

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习题课　基本不等式学习目标　1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．一、巧用“1”的代换求最值问题例1　若x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．解　∵＋＝1，x＞0，y＞0，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝即x＝4，y＝12时，等号成立．即x＋y的最小值为16.延伸探究　已知a>0，b>0，a＋2b＝1，求t＝＋的最小值．解　因为a>0，b>0，a＋2b＝1，所以t＝＋＝(a＋2b)＝＋＝1＋＋＋2≥3＋2＝3＋2.当且仅当即时等号成立，故t的最小值为3＋2.反思感悟　常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．跟踪训练1　已知x>0，y>0，x＋8y＝xy，求x＋2y的最小值．解　因为x>0，y>0，x＋8y＝xy，所以＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当即时等号成立．所以x＋2y的最小值为18. 二、分离消元法求最值例2　已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值．解　由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝，因为x>0，y>0，所以0<x<8.所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝x＋1＋－2≥2－2＝4，当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立．所以x＋2y的最小值为4.延伸探究　已知x>0，y>0，满足xy＝x＋y＋3，求xy的最小值．解　由题意可知y＝，所以xy＝x·＝＝＝x－1＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．所以xy的最小值为9.反思感悟　含有多个变量的条件最值问题的解决方法对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题．跟踪训练2　已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为________．答案　5＋2解析　由2a＋b＝ab－1，得a＝，因为a>0，b>0，所以a＝>0，b＋1>0，所以b>2，所以a＋2b＝＋2b＝＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋5≥2＋5＝5＋2，当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时等号成立．所以a＋2b的最小值为5＋2.三、利用基本不等式证明不等式例3　已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.证明　因为a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1，所以－1＝＝≥，同理－1≥，－1≥.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．延伸探究　本例的条件不变，求证：＋＋≥9.证明　＋＋＝＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．反思感悟　利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②巧用“1”的代换证明不等式；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．跟踪训练3　已知a>0，b>0，且a＋b＝＋，求证：a＋b≥2.证明　由a>0，b>0，则a＋b＝＋＝，由于a＋b>0，则ab＝1，即a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以a＋b≥2.1．知识清单：(1)巧用“1”的代换求最值问题．(2)分离消元法求最值．(3)利用基本不等式证明不等式．2．方法归纳：配凑法．3．常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误．1．已知0<a<1,0<b<1，且a≠b，下列各式中最大的是(　　)A．a2＋b2  B．2  C．2ab  D．a＋b答案　D解析　∵0<a<1,0<b<1，∴a2<a，b2<b，∴a2＋b2<a＋b，又a2＋b2>2ab(a≠b)，∴2ab<a2＋b2<a＋b.又∵a＋b>2(a≠b)，∴a＋b最大．2．若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　)A．a>>>b   B．b>>>aC．b>>>a   D．b>a>>答案　C解析　∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b>>.又∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a.故b>>>a.3．已知x，y是正数且x＋y＝1，则＋的最小值为(　　)A.  B.  C．2  D．3答案　B解析　由x＋y＝1，得(x＋2)＋(y＋1)＝4，即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1，∴＋＝·[(x＋2)＋(y＋1)]＝≥(5＋4)＝，当且仅当x＝，y＝时等号成立．∴＋的最小值为.4．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为_____．答案　解析　设直角三角形的两条直角边的长分别为a，b，则a＋b＋＝＋1.又a＋b≥2，a2＋b2≥2ab，所以＋1≥2＋＝(2＋)·，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以直角三角形的面积S＝ab≤，即S的最大值为.1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　)A．s≥t  B．s>t  C．s≤t  D．s<t答案　A解析　∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1，即t≤s，当且仅当b＝1时，等号成立．2．若a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　)A．a2＋b2≥2|ab|   B．a2＋b2＝2|ab|C．a2＋b2≤2|ab|   D．a2＋b2>2|ab|答案　A解析　∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　)A．a<v<   B．v＝C.<v<   D．v＝答案　A解析　设甲、乙两地的距离为s，则v＝＝.由于a<b，∴＋<，∴v>a，又＋>2，∴v<.故a<v<.4．当x>0时，y＝有(　　)A．最小值1   B．最大值1C．最小值2   D．最大值2答案　B解析　因为x>0，所以y＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．即y＝有最大值1.5．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　a2＋b2≥2ab成立的条件是任意非零实数，而＋≥2成立的条件是a，b同号，由集合的关系可知选B.6．(多选)下列函数中最小值为2的是(　　)A．y＝x＋B．y＝＋C．y＝＋D．y＝x＋(x>－2)答案　BD解析　对于A，当x<0时，y＝x＋<0，A错误；对于B，>0，y＝＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝0时等号成立，B正确；对于C，y＝＋≥2，但＝时，等号才能成立，而＝无解．故2取不到，C错误；对于D，x>－2，则x＋2>0，y＝x＋＝(x＋2)＋－2≥2－2＝2，当且仅当x＋2＝，即x＝0时等号成立，D正确．7．已知t>0，则函数y＝的最小值为_____．答案　－2解析　∵t＞0，∴y＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时，等号成立．∴y的最小值为－2.8．若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)(b＋1)的最大值是________．答案　解析　因为a，b都是正数，且a＋b＝1，所以(a＋1)(b＋1)≤2＝，当且仅当a＋1＝b＋1，即a＝b＝时，等号成立．所以(a＋1)(b＋1)的最大值为.9．(1)若0<x<4，求y＝x(12－3x)的最大值；(2)求y＝在x>－3时的最小值．解　(1)∵0<x<4，∴12－3x>0，∴y＝x(12－3x)＝×3x(12－3x)≤2＝12，当且仅当3x＝12－3x，即x＝2时，等号成立．∴函数y＝x(12－3x)的最大值为12.(2)y＝＝＝x＋3＋，∵x>－3，∴x＋3>0，∴x＋3＋≥2，当且仅当x＋3＝，即x＝－3时，等号成立．∴函数y＝的最小值为2.10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解　(1)由x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.(2)由(1)可得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.11．已知a>0，b>0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)A．3  B．4  C．5  D．6答案　B解析　∵a＞0，b＞0，ab＝1，∴m＋n＝b＋＋a＋＝2a＋2b≥2＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．即m＋n的最小值为4.12．已知a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是(　　)A．a＋b＋≥2B．(a＋b)≥4C.≥2D.>答案　D解析　a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；(a＋b)≥2·2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；∵a2＋b2≥2ab>0，∴≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；∵a＋b≥2，a>0，b>0，∴≤1，≤，当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立．13．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　)A．－  B.  C.  D．－4答案　A解析　因为a，b为正实数，且a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝＋≥＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时，等号成立．因此有－－≤－，即－－的上确界为－.14．设0<x<1，则当＋取得最小值时，x的值是________．答案　解析　∵x∈(0,1)，则1－x>0，由基本不等式可得＋＝[(1－x)＋x]·＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝时，等号成立．  15．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　)A．10  B．9  C．8  D．7答案　B解析　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，所以要使＋≥恒成立，只需m≤(2a＋b)恒成立，而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.16．已知a，b都是正数，求证：≤≤≤.证明　∵＋≥2，∴≤，即≤.又∵2＝≤＝，∴≤ .又由基本不等式得≥，故≤≤≤ ，当且仅当a＝b时，等号成立．