数学必修 第一册4.1 指数示范课课件ppt

4.1.2　无理数指数幂及其运算性质

学习目标　1.能结合教材探究了解无理数指数幂.2.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质．

一、无理数指数幂的运算

问题　阅读课本108页的探究，你发现了什么？

提示　可以发现，当指数x的取值范围从整数拓展到了无理数时，它是一个确定的实数，在数轴上有唯一的一个点与它对应．

知识梳理

1．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．

2．实数指数幂的运算法则

(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．

(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．

(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．

(4)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈R)．

注意点：

特别强调底数a>0，如果a<0，比如，无法判断其值是1还是－1.

例1　计算下列各式的值：

(1)；

(2).

解　(1)原式＝

＝＝23×3＝24.

(2)原式＝＝.

反思感悟　关于无理数指数幂的运算

(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同．

(2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算．

跟踪训练1　计算下列各式的值(式中字母均是正数)：

(1)；(2).

解　(1)原式＝＝26·m3＝64m3.

(2)原式＝＝a0＝1.

二、实际问题中的指数运算

例2　从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.

答案　4

解析　由题意，得第n次操作后溶液的浓度为n，令n<，验证可得n≥4.

所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.

反思感悟　指数运算在实际问题中的应用

在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等．

跟踪训练2　如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个)，那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成______个．

答案　64

解析　经过1小时可分裂6次，可分裂成26＝64(个)．

三、实数指数幂的综合运用

例3　(1)已知，则x2＋x－2＝_______________.

答案　7

解析　将，两边平方得x＋x－1＋2＝5，

则x＋x－1＝3，

两边再平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.

(2)已知x＋x－1＝7，求值：①；②x2－x－2.

解　①设m＝，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，

因为m>0，所以m＝3，即＝3.

②设n＝，两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，

因为n∈R，所以n＝±，

即＝±.

所以x－x－1＝＝±3，

x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21.

延伸探究　本例(2)的条件不变，求x3＋x－3的值．

解　由x＋x－1＝7平方可得x2＋x－2＝47，

所以x3＋x－3＝(x＋x－1)(x2＋x－2－1)＝7×46＝322.

反思感悟　利用整体代换法求分数指数幂

(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．

(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．

常见的变形公式：

x2＋x－2＝(x±x－1)2 ∓2，x＋x－1＝，.

跟踪训练3　已知am＝4，an＝3，则的值为(　　)

A.  B．6  C.  D．2

答案　A

1.知识清单：

(1)无理数指数幂的运算．

(2)实际问题中的指数运算．

(3)实数指数幂的综合运用．

2．方法归纳：整体代换法．

3．常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．

1．计算的结果是(　　)

A．π  B.  C．－π  D.

答案　D

2．将化为分数指数幂为(　　)

A．  B．  C．  D．

答案　D

3．已知(x>0)，那么等于(　　)

A.  B．－  C．±  D．7

答案　A

解析　.

又x>0，故.

4．若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝________.

答案　

解析　∵10x＝3，∴102x＝9，∴102x－y＝＝.

1．已知集合A＝{0,1,2，}，B＝{x|x＝2n，n∈A}，则A∩B等于(　　)

A．{0,1,2}   B．{0,1，}

C．{2,4}   D．{1,2}

答案　D

解析　由题意得B＝{1,2,4,}，又A＝{0,1,2，}，

∴A∩B＝{1,2}．

2．对于a>0，b>0，以下运算正确的是(　　)

A．ar·as＝ars   B．(ar)s＝ars

C.r＝arbr   D．arbs＝(ab)r＋s

答案　B

解析　根据实数指数幂的运算性质进行判断．

3．下列运算中正确的是(　　)

A．    B．(－a2)3＝(－a3)2

C．(－2)0＝1   D．

答案　D

解析　，故A错误；(－a2)3＝－a2×3

＝－a6，(－a3)2＝a6，故B错误；当a＝4时，(－2)0无意义，故C错误；，故D正确．

4．一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)10次，这时，报纸的厚度为(　　)

A．2.56厘米   B．5.12厘米

C．10.24厘米   D．20.48厘米

答案　C

解析　0.01×210＝10.24(厘米)．

5．若3a·9b＝，则下列等式正确的是(　　)

A．a＋b＝－1   B．a＋b＝1

C．a＋2b＝－1   D．a＋2b＝1

答案　C

解析　∵3a·9b＝3a·32b＝3a＋2b＝＝3－1，

∴a＋2b＝－1.

6．(多选)已知a2＋a－2＝3，则a＋a－1等于(　　)

A.  B．－  C．1  D．－1

答案　AB

解析　(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝5，

∴a＋a－1＝±.

7．计算：＝________.

答案　7

解析　原式＝2＋4＋1＝7.

8．化简＝________.

答案　1

解析　原式＝.

9．已知x＋x－1＝3(x>0)，求的值．

解　因为x＋x－1＝3，所以x2＋x－2＝7，

所以＝x3＋x－3＋2＝(x＋x－1)(x2＋x－2－1)＋2＝3×6＋2＝20，所以.

10．已知a2x＝3，求的值．

解　原式＝＝a2x－1＋a－2x＝3－1＋＝.

11．在算式2中＋2国＋2精＋2神＝29中，“中、国、精、神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为(　　)

A．4  B．3  C．2  D．1

答案　B

解析　由29＝16＋8＋4＋1＝24＋23＋22＋20，可得“国”字所对应的数字为3.

12．方程的解是(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　B

解析　∵，∴，∴x－1＝－2，

∴x＝－.∴方程的解是x＝－.

13．已知2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)

A.  B．10  C．20  D．100

答案　A

解析　由题意得m>0，

∵2a＝m，5b＝m，

∴2＝，5＝，

∵2×5＝，

∴m2＝10，∴m＝.

14．已知2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝________.

答案　27

解析　由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，

所以x＝3y＋3.①

由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，

所以2y＝x－9.②

联立①②，

解得x＝21，y＝6，

所以x＋y＝27.

15．22k－1－22k＋1＋22k等于(　　)

A．22k   B．22k－1

C．－22k－1   D．－22k＋1

答案　C

解析　原式＝22k－1－22×22k－1＋2×22k－1＝(1－4＋2)×22k－1＝－22k－1.

16．已知方程x2－8x＋4＝0的两根为x1，x2(x1<x2)．

(1)求x－x的值；

(2)求的值．

解　由题意知x1＋x2＝8，x1·x2＝4.

(1)∵x1<x2，∴x－x＝＝＝＝＝2.

(2)＝＝＝1.