高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数集体备课课件ppt

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4.2.2　指数函数的图象与性质(二)
第四章　§4.2　指数函数
学习目标
1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式.
2.能利用函数的单调性求简单的函数定义域与值域的问题.
课时对点练
一、利用单调性比较大小
二、简单的指数不等式的解法
三、定区间上的值域问题
随堂演练
内容索引
四、指数函数图象和性质的综合运用
利用单调性比较大小

一
(1)1.11.1，1.10.9；
因为y＝1.1x是增函数，1.1>0.9，故1.11.1>1.10.9.
(2)0.1－0.2，0.10.9；
因为y＝0.1x是减函数，－0.2<0.9，故0.1－0.2>0.10.9.
(3)30.1，π0.1；
因为y＝x0.1在(0，＋∞)上单调递增，3<π，故30.1<π0.1.
(4)1.70.1，0.91.1；
因为1.70.1>1.70＝1，0.91.1<0.90＝1，故1.70.1>0.91.1.
(5)0.70.8，0.80.7.
取中间值0.70.7，因为0.70.8<0.70.7<0.80.7，故0.70.8<0.80.7(也可取中间值0.80.8，即0.70.8<0.80.8<0.80.7).
一般地，比较幂大小的方法有(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断.(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断.(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断.
反思感悟
(1)下列大小关系正确的是A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43
√
0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4.
(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是A.a√
∵1.50.6>1.50＝1,0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在R上是减函数，且1.5>0.6，∴0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6.即b简单的指数不等式的解法

二
∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}.
(2)已知 0，a≠1)，求x的取值范围.
分情况讨论：①当00，a≠1)在R上是减函数，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，解得x<－1或x>5；②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋15}；当a>1时，x的取值范围是{x|－1(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)反思感悟
(1)求下列函数的定义域.
由2x－1≥0解得x≥0，
(2)不等式23－2x<0.53x－4的解集为________.
原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则不等式的解集为{x|x<1}.
{x|x<1}
定区间上的值域问题

三
√
关于定区间上的值域问题(1)求定区间上的值域关键是确定函数的单调性，如果底数中含字母，则分a>1,0反思感悟
√
x2＋1≤4－2x，解得－3≤x≤1，所以2－3≤2x≤2，
指数函数图象和性质的综合运用

四
(1)判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
所以a＝1，所以f(x)＝ ，该函数是减函数，证明如下：任取x1，x2∈R，x1因为x10，所以f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围.
由f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，得f(t2－2t)<－f(2t2－k).因为f(x)是奇函数，所以f(t2－2t)k－2t2，即3t2－2t－k>0对任意t∈R恒成立，
函数性质的综合应用(1)解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质应用不充分，会导致解题步骤烦琐或无法求解，如本题中奇偶性、单调性的应用，可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题.(2)一元二次不等式的恒成立问题，可以结合相应的一元二次函数的图象，转化为等价的条件求解，恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解.
反思感悟
　　　 设a>0，函数f(x)＝ 是定义域为R的偶函数.(1)求实数a的值；
又a>0，所以a＝1.
(2)求f(x)在[0,1]上的值域.
设任意的x1，x2∈[0，＋∞)，且x1因为0≤x10，所以 ，
所以 ，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)课堂小结
1.知识清单： (1)比较大小. (2)解不等式、方程. (3)定区间上的值域问题. (4)指数函数性质的综合运用.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：研究y＝af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0随堂演练

1.已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为A.m>n B.m√
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因为函数y＝0.3x在定义域R上是减函数，且0.3m>0.3n，所以m1
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A.奇函数且在(0，＋∞)上是增函数B.偶函数且在(0，＋∞)上是增函数C.奇函数且在(0，＋∞)上是减函数D.偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
√
由x∈R且f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数，
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A.(－3,0] B.(－3,1]C.(－∞，－3)∪(－3,0] D.(－∞，－3)∪(－3,1]
√
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4.不等式 的解集为________.
且 ，所以x2－2x－2(1,2)
课时对点练

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1.方程42x－1＝16的解是
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3.已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在(0,2)上的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的大致图象是
因为函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在(0,2)上的值域是(1，a2)，又指数函数是单调函数，所以a>1.由底数大于1的指数函数的图象上升，且在x轴上方，可知B正确.
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4.函数f(x)＝3－x在[－2,1]上的值域是
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5.函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是A.6 　　 B.1 　　 C.3 　　 D.
√
函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上单调递增，当x＝1时，ymax＝3.
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6.设a＝　　，b＝　　，c＝　　，则a，b，c的大小关系是A.a>c>b B.a>b>cC.c>a>b D.b>c>a
√
因为y＝ (x>0)为增函数，所以a>c.
所以a>c>b.
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7.已知函数f(x)＝ 为奇函数，则n的值为_____.
因为f(x)为定义在R上的奇函数，
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由题意得2x－1－8≥0，即2x－1≥8＝23，∴x－1≥3，解得x≥4.
[4，＋∞)
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9.比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；
∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5<3.2，∴1.52.5<1.53.2.
(2)0.6－1.2和0.6－1.5；
∵函数y＝0.6x在R上是减函数，－1.2>－1.5，∴0.6－1.2<0.6－1.5.
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由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1，又0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2.
(3)1.50.3和0.81.2.
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10.已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)1
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设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，所以f(x)＝2x，又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，
因此由g(2x－1)得2x－1>3x，解得x<－1.所以x的取值范围为(－∞，－1).
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11.(多选)以下关于数的大小的结论中正确的是A.1.72.5<1.73 B.0.8－0.1<0.8－0.2C.1.50.4<0.82.6 D.
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∵函数y＝1.7x在R上为增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，A正确；∵函数y＝0.8x在R上为减函数，－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2，B正确；∵1.50.4>1.50＝1,0.82.6<0.80＝1，∴1.50.4>0.82.6，C错误；
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∴ ，D错误.
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12.(多选)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是A.a＝b＝0 　　 B.a√
如图，观察易知，a√
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13.设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，若f(x－2)>0，则x的取值范围是A.(－∞，0) B.(0,4)C.(4，＋∞) D.(－∞，0)∪(4，＋∞)
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当x≥0时，令f(x)＝2x－4>0，解得x>2.又∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴其图象关于y轴对称，∴不等式f(x)>0在R上的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞).∴不等式f(x－2)>0等价为x－2∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)，解得x∈(－∞，0)∪(4，＋∞).
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14.函数f(x)＝ (a>0，且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是_______.
由题意知f(x)是R上的减函数，
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15.定义运算：a⊗b＝ 则函数f(x)＝3－x⊗3x的值域为________.
函数f(x)的图象如图，由图可知f(x)的值域为(0,1].
(0，1]
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16.已知函数f(x)＝2－x.
由题意知f(0)－ ＝1－20＝0.
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(2)若函数h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)，g(x)满足下列条件：①h(x)为偶函数；②h(x)≥2且∃x∈R使得h(x)＝2；③g(x)>0且g(x)恒过(0,1)点.写出一个符合题意的函数g(x)，并说明理由.
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满足题意的函数g(x)＝2x.证明如下：①因为h(x)＝2x＋2－x，所以h(－x)＝2－x＋2－(－x)＝2－x＋2x＝h(x)，所以h(x)＝2x＋2－x为偶函数.
即x＝0时等号成立.③g(x)＝2x>0，g(x)恒过(0,1)点.