2020-2021学年4.4 对数函数备课ppt课件

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4.4.2　对数函数的图象和性质(二)
第四章　 §4.4　对数函数
学习目标
1.进一步掌握对数函数的图象和性质.
2.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题.
3.了解反函数的概念和图象特点.
内容索引
与对数函数有关的定义域问题

一
求下列函数的定义域：
要使函数式有意义，则lg(2－x)≥0，
故函数的定义域为(－∞，1].
要使函数式有意义，则log3(3x－2)≠0，
解得x<4，且x≠3.故函数的定义域为(－∞，3)∪(3，4).
(1)对数函数的真数大于0.(2)求定义域的常用方法是解不等式(组)，有时在解不等式时，还要考虑函数的单调性.(3)有时求定义域比较特殊，其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉，每去掉一层对数符号都要考虑函数的单调性，最后求出x的取值范围.
反思感悟
求下列函数的定义域：
与对数函数有关的综合性问题

二
已知函数f(x)＝log2(x＋1)－2.(1)若f(x)>0，求x的取值范围；
函数f(x)＝log2(x＋1)－2，∵f(x)>0，即log2(x＋1)－2>0，∴log2(x＋1)>2，∴x＋1>4，∴x>3.∴x的取值范围是(3，＋∞).
(2)若x∈(－1，3]，求f(x)的值域.
∵x∈(－1，3]，∴x＋1∈(0，4]，∴log2(x＋1)∈(－∞，2]，∴log2(x＋1)－2∈(－∞，0].∴f(x)的值域为(－∞，0].
求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解.
反思感悟
已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋ln(x－1)的图象经过点(3，3ln 2).(1)求a的值，及f(x)的定义域；
由题意可得ln(3a＋1)＋ln(3－1)＝3ln 2，即ln(3a＋1)＝2ln 2，所以3a＋1＝4，解得a＝1，则f(x)＝ln(x＋1)＋ln(x－1).
所以f(x)的定义域为(1，＋∞).
由(1)可得f(x)＝ln(x＋1)＋ln(x－1)＝ln(x2－1)，x＞1，不等式f(x)≤ln(2x)可化为ln(x2－1)≤ln(2x)，因为y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，
(2)求关于x的不等式f(x)≤ln(2x)的解集.
反函数

三
问题　在同一坐标系下，画出函数y＝2x与y＝log2x的图象，观察两函数图象的关系.
提示　
知识梳理
反函数：指数函数 (a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换.
y＝ax
若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(f(2))的值为A.16 B.0 C.1 D.2
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函数y＝2x的反函数是y＝log2x，即f(x)＝log2x.∴f(f(2))＝f(log22)＝f(1)＝log21＝0.
反思感悟
互为反函数的函数的性质(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换.(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.
所以反函数的定义域为x∈[－1，4].
√
课堂小结
1.知识清单： (1)利用对数函数的单调性求函数的定义域. (2)求简单对数的值域、最值、奇偶性问题.2.方法归纳：数形结合法.3.常见误区：求对数型函数的定义域时，有时需求几部分的交集.
随堂演练

A.(0，2) B.(0，2]C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)
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∴函数f(x)的定义域为(2，＋∞).
2.函数y＝x＋log2x(x≥1)的值域为A.(1，＋∞) B.(－∞，1)C.[1，＋∞) D.[－1，＋∞)
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由题意得f(x)在[0，1]上单调递增或单调递减，∴f(x)的最大值或最小值在端点处取得，即f(0)＋f(1)＝a，
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由题意得f(x)＝logax(a>0，且a≠1，x>0)，
课时对点练

1.已知函数f(x)＝log2x，若函数g(x)是f(x)的反函数，则f(g(2))等于A.1 B.2 C.3 D.4
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∵g(x)是f(x)的反函数，∴g(x)＝2x，∴g(2)＝22＝4，则f(g(2))＝f(4)＝log24＝2.
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当x＝10a时，有y＝lg(10a)＝1＋lg a＝1＋b，所以点(10a，1－b)不在此函数的图象上，B不正确；
当x＝a2时，有y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以点(a2，2b)在此函数的图象上，D正确.
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4.设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，f(x)的解析式为A.－log2x B.log2(－x)C.－log2(－x) D.logx2
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当x<0时，－x>0，f(－x)＝log2(－x).又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－log2(－x).
5.某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)A.2020年 B.2021年 C.2022年 D.2023年
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(0，1)∪(1，2]
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∵a>1，∴f(x)＝logax在[a，2a]上单调递增，
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9.已知f(x)＝lg(2＋x)＋lg(2－x).(1)求函数f(x)的定义域；
所以函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}.
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(2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；
f(x)为偶函数，证明如下：因为函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，关于原点对称，又f(－x)＝lg[2＋(－x)]＋lg[2－(－x)]＝lg(2－x)＋lg(2＋x)＝f(x)，所以函数f(x)＝lg(2＋x)＋lg(2－x)为偶函数.
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函数f(x)的定义域是R，f(－x)＝log2[1＋(－x)2]＝log2(1＋x2)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数.
10.已知函数f(x)＝log2(1＋x2).求证：(1)函数f(x)是偶函数；
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(2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增.
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设x1，x2为区间(0，＋∞)内的任意两个实数，且x1所以f(x1)√
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12.函数f(x)＝lg|x|为A.奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减B.奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增C.偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D.偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
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已知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数；当x>0时，f(x)＝lg x在区间(0，＋∞)上单调递增，又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上单调递减.
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∴f(x)为奇函数.
14.如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax(a>1)的图象上，则实数a的值为________.
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设B(x，2logax)，∵BC平行于x轴，∴C(x′，2logax)，即logax′＝2logax，∴x′＝x2，∴正方形ABCD的边长＝|BC|＝x2－x＝2，解得x＝2.
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15.已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(2)，则a的取值范围为__________________.
作出函数f(x)的图象，如图所示，
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16.已知函数f(x)＝ 的图象关于原点对称，其中a为常数.(1)求a的值；
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∵函数f(x)的图象关于原点对称，∴函数f(x)的定义域关于原点对称，
∴(x－1)(1－ax)>0，令(x－1)(1－ax)＝0，
经验证，a＝－1满足题意.
又当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋ 1
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(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋