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    新教材人教A版步步高学习笔记【学案+同步课件】4.5.1 函数的零点与方程的解

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    2021学年5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)课前预习课件ppt

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    这是一份2021学年5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)课前预习课件ppt,文件包含451函数的零点与方程的解pptx、451函数的零点与方程的解docx等2份课件配套教学资源,其中PPT共60页, 欢迎下载使用。
    1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.
    2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.
    3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.
    同学们,我国古代数学家对部分方程的求解问题给出了比较系统的求解方法,比如:大约在公元50~100年间编成的《九章算术》,就给出了求一次方程、二次方程和三次方程的具体求解方法,11世纪的时候,北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法,13世纪,南宋数学家秦九韶给出了求任意次方程正解的方法,今天,让我们站在这些数学巨人的肩上,来探究方程的解与函数零点的关系吧.
    问题1 观察下列三组方程与函数:
    利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系.
    提示 方程x2-2x-3=0的根为-1,3,函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点(-1,0),(3,0);x2-2x+1=0有两个相等的实数根,为1,函数y=x2-2x+1的图象与x轴有唯一交点(1,0);x2-2x+3=0没有实根,函数y=x2-2x+3的图象与x轴无交点.
    问题2 问题1中的函数的零点是函数图象与x轴的交点坐标吗?
    提示 不是,零点不是点,零点是函数图象与x轴的交点的横坐标.
    1.概念:对于一般函数y=f(x),我们把使 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系:
    (1)零点不是点,是函数图象与x轴交点的横坐标.(2)求零点可转化为求对应方程的解.(3)不能用公式求解的方程,可以与函数联系起来,利用函数的图象和性质找零点,然后得到方程的解.
    探究函数零点的两种求法(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点.(2)几何法:与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
    当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3(x=1舍去);当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.
    (2)f(x)=(lg x)2-lg x.
    令(lg x)2-lg x=0,则lg x(lg x-1)=0,∴lg x=0或lg x=1,∴x=1或x=10,∴函数f(x)的零点是1,10.
    问题3 探究函数y=x2+4x-5的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况,并说明函数图象在零点附近有什么变化规律?
    函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条 的曲线,且有 ,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内 有一个零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的解.
    (1)定理要求函数在闭区间[a,b]上连续,且 .(2)闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),__________是函数有零点的充分不必要条件.(3)该定理是用来判断函数的变号零点,比如y=x2,有零点为0,但是该零点的两侧函数值的符号相同,称为不变号零点.
    f(a)·f(b)0,则下列说法错误的是A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点
    由题知f(0)f(1)0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点.
    确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上.(2)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)

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