高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式课文配套ppt课件

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第1课时　诱导公式(一)学习目标　1.理解诱导公式二～四的推导过程，识记诱导公式，理解和掌握公式的内涵和结构特征.2.会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简．导语在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同一三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把求绝对值较大的三角函数值转化为求0°～360°角的三角函数值，对于90°～360°角的三角函数值，我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解，这是我们今天要学习的内容．一、诱导公式二～四问题1　请同学们写出公式一．提示　sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.问题2　观察下图，思考我们是如何定义三角函数的？提示　三角函数的定义核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等．由图象可知，点P1与P2关于原点对称，点P1与P2两点的横坐标、纵坐标分别互为相反数，以OP2为终边的角β可以表示成β＝(π＋α)＋2kπ，k∈Z.问题3　知道了终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究角α与角π＋α的三角函数值之间的关系吗？提示　设P1(x，y)，则P2(－x，－y)，根据三角函数的定义可知，y＝sin α，x＝cos α，＝tan α(x≠0)，sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，tan(π＋α)＝.显然，我们可以根据相同的方法找出点P1关于x轴和y轴的对称点，大家试一试吧．知识梳理1．公式二sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.2．公式三sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.3．公式四sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.注意点：(1)函数名称不变．(2)运用公式时把α“看成”锐角．(3)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.二、给角求值例1　利用公式求下列三角函数值：(1)cos(－480°)＋sin 210°；(2)sin·cos ·tan .解　(1)原式＝cos 480°＋sin(180°＋30°)＝cos(360°＋120°)－sin 30°＝cos 120°－＝cos(180°－60°)－＝－cos 60°－＝－－＝－1.(2)原式＝sin·cos·tan＝sin ·cos·tan ＝sin·cos ·tan ＝－sin ·cos ·tan ＝－××＝－.反思感悟　利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤(1)“负化正”——用公式一或三来转化．(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．(4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值．跟踪训练1　sin ＋tan －cos＝      .答案　0解析　原式＝sin＋tan－cos ＝sin ＋tan－cos＝sin －tan ＋cos ＝－1＋＝0.三、给值(式)求值例2　已知cos＝，则cos＝         .答案　－解析　cos＝cos＝－cos＝－.延伸探究1．若本例中的条件不变，如何求cos？解　cos＝cos＝cos＝cos＝.2．若本例中的条件不变，求cos－sin2的值．解　因为cos＝cos＝－cos＝－，sin2＝sin2＝1－cos2＝1－2＝，所以cos－sin2＝－－＝－.反思感悟　解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．跟踪训练2　(1)已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是(　　)A．－  B.  C．±  D.答案　B解析　由sin(π＋α)＝，得sin α＝－，因为cos(α－2π)＝cos α，且α是第四象限角，所以cos α＝＝.(2)已知sin＝－，且θ∈，则cos＝        .答案　－解析　cos＝cos＝－cos，∵θ∈，∴θ－∈，∴cos>0，即cos＝＝，∴cos＝－.四、利用公式进行化简例3　化简：(1)；(2).解　(1)原式＝＝＝＝1.(2)原式＝＝＝＝－1.反思感悟　三角函数式化简的常用方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数．(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan .跟踪训练3　tan(5π＋α)＝m，则的值为(　　)A.   B.C．－1   D．1答案　A解析　因为tan(5π＋α)＝tan α＝m，所以原式＝＝＝＝＝.1．知识清单：(1)特殊关系角的终边对称性．(2)诱导公式二～四．2．方法归纳：数形结合、公式法．3．常见误区：符号的确定．1．sin 2 022°等于(　　)A．sin 42°   B．－sin 42°C．sin 48°   D．－sin 48°答案　B2．log2的值为(　　)A．－1  B．－  C.  D.答案　B3．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是(　　)A.  B．－  C．±  D.答案　B解析　因为sin(π＋α)＝－sin α＝，所以sin α＝－.又α是第四象限角，所以cos α＝，所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－.4．化简：·tan(π＋α)＝        .答案　－1解析　原式＝·tan α＝·＝－1.1．化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的结果为(　　)A．1  B．2sin2α  C．0  D．2答案　D解析　原式＝sin2α＋cos2α＋1＝2.2．若cos(π－α)＝－，则cos(－2π－α)的值为(　　)A.  B．±  C．－  D．±答案　A解析　∵cos(π－α)＝－cos α＝－，∴cos α＝，∴cos(－2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝.3．已知tan(5π＋x)＝－2，则的值为(　　)A．4  B．3  C．－3  D．－4答案　B解析　由tan(5π＋x)＝－2可得tan x＝－2，所以＝＝＝3.4．已知a＝，b＝log4 3，c＝sin 210°，则(　　)A．c＜a＜b   B．c＜b＜aC．a＜c＜b   D．b＜c＜a答案　A解析　c＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－，a＝＝＜＝log4 2＜log4 3＝b，所以c＜a＜b.5．(多选)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有(　　)A．sin(B＋C)＝sin AB．cos(B＋C)＝cos AC．tan(B＋C)＝tan AD．若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形答案　AD解析　依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确；cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，B错误；tan(B＋C)＝tan(π－A)＝－tan A，C错误；因为a2＋b2＝c2，由勾股定理可知，△ABC为直角三角形，D正确．6．(多选)已知sin(π－α)＝，则cos(α－2 023π)的值为(　　)A.  B．－  C.  D．－答案　AB解析　∵sin(π－α)＝，∴sin α＝，cos(α－2 023π)＝－cos α＝±＝±.7．化简：·tan(2π－α)＝        .答案　－1解析　原式＝·tan(－α)＝·(－tan α)＝－·tan α＝－1.8．已知sin(45°＋α)＝，则sin(135°－α)＝        .答案　解析　sin(135°－α)＝sin[180°－(45°＋α)]＝sin(45°＋α)＝.9．求值：.解　原式＝＝＝－＝－＝－.10．化简：(1)；(2).解　(1)＝＝＝－cos2α.(2)＝＝－cos α.11．已知cos α＝，则sin(3π＋α)·cos(2π－α)·tan(π－α)等于(　　)A．±  B．±  C.  D.答案　D解析　原式＝sin(π＋α)·cos(－α)·tan(π－α)＝(－sin α)·cos α·(－tan α)＝sin2α，由cos α＝，得sin2α＝1－cos2α＝.12．已知tan＝，则tan等于(　　)A.  B．－  C.  D．－答案　B解析　因为tan＝tan＝－tan，又tan＝，所以tan＝－.13．若cos＝－，θ∈，则sin的值为(　　)A.  B．－  C．－  D.答案　D解析　因为θ∈，所以－θ∈，又因为cos＝－，所以sin＝，所以sin＝sin＝sin＝.14．化简：＝        .答案　cos 6－sin 6解析　原式＝＝＝|cos 6－sin 6|.因为<6<2π，所以cos 6>0，sin 6<0，因此cos 6－sin 6>0，所以原式＝cos 6－sin 6.15．已知α为第四象限角，化简＋＝        .答案　解析　依题意知α为第四象限角，所以＋＝＋＝＋＝＋＝＝.16．已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；(3)若α＝－，求f(α)的值．解　(1)f(α)＝＝－cos α.(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝，∴sin α＝－.又α是第三象限角，∴cos α＝－.∴f(α)＝.(3)∵－＝－6×2π＋，∴f ＝－cos＝－cos ＝－cos ＝－.