高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质教学演示课件ppt

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第2课时　单调性与最值
第五章　5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
学习目标
1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律，通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质.
2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题.
导语
同学们，前面我们研究了正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，根据我们之前学习指数函数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待我们去研究呢？请同学们继续观察正弦曲线和余弦曲线，它们的定义域、值域、单调性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要研究的问题.
内容索引
正弦函数、余弦函数的单调性

一
提示　
1.正弦函数的单调性
知识梳理
单调递增
单调递减
具体过程详见下页GeoGebra动画演示.
2.余弦函数的单调性在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都 ，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上都 ，其值从1减小到－1.
单调递增
单调递减
具体过程详见下页GeoGebra动画演示.
(1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限.(2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间.(3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小.
注意点：
利用单调性比较大小

二
利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.
(2)cos 1，sin 1；
(3)sin 164°与cos 110°.
sin 164°＝sin(180°－16°)＝sin 16°，cos 110°＝cos(90°＋20°)＝－sin 20°.
所以－sin 20°比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数.(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上.(3)利用函数的单调性比较大小.
反思感悟
(1)下列关系式中正确的是A.sin 11°√
因为sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，所以只需比较sin 11°，sin 12°，sin 80°的大小.
即sin 11°(2)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是A.sin αcos β
√
求正弦函数、余弦函数的单调区间

三
∴y＝2sin z单调递增(减)时，
延伸探究
又∵x∈[0,2π]，
反思感悟
求正弦、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，同上.
正弦函数、余弦函数的最值(值域)

四
2.余弦函数：当且仅当x＝____(k∈Z)时取得最大值1；当且仅当x＝_______ (k∈Z)时取得最小值－1.
知识梳理
2kπ
2kπ＋π
√
在△ABC中，可知A＋B＋C＝π，
反思感悟
三角函数的值域(最值)问题的求解方法(1)形如y＝Asin x(或y＝Acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对A正、负的讨论.(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值).
反思感悟
(3)求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，设t＝ωx＋φ，转换成y＝Asin x(或y＝Acos x)型的函数求值.
课堂小结
1.知识清单： (1)正弦、余弦函数的单调区间. (2)比较三角函数值的大小. (3)正弦、余弦函数的最值(值域).2.方法归纳：整体代换、换元法.3.常见误区：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围.
随堂演练

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2.函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为
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课时对点练

1.下列命题中正确的是A.y＝cos x在第一象限和第四象限内单调递减B.y＝sin x在第一象限和第三象限内单调递增
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对于y＝cos x，该函数的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，故A错误，C错误；
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所以y∈[－2,2].
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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∵y＝sin x的单调递增区间为
y＝cos x的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，
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cos 400°＝cos 40°>cos 50°＝cos(－50°)，故B成立；
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因为y＝cos x在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，所以只有－π7.函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是________.
(－π，0]
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∴f(x)的单调递增区间为
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(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.
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11.使cos x＝1－m有意义的m的取值范围为A.m≥0 B.0≤m≤2C.－11
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因为－1≤cos x≤1，所以－1≤1－m≤1，所以0≤m≤2.
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13.在△ABC中，角A，B均为锐角，且cos A>sin B，则A.cos C>0 B.cos C<0C.cos C＝0 D.cos C≥0
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16.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上单调递增，α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f(sin α)>f(cos β).
由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期.因为函数f(x)是偶函数且在[－4，－3]上单调递增，所以函数f(x)在[0,1]上单调递增.又α，β是锐角三角形的两个内角，
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且sin α∈(0,1)，cos β∈(0,1)，所以f(sin α)>f(cos β).