人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制课前预习课件ppt

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第3课时　两角和与差的正切公式
第五章　5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
学习目标
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值.
3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.
导语
同学们，上节课我们实现了两角和与差的正弦、余弦的展开与合并，今天我们将继续“变脸”，共同探究两角和与差的正切是否也能实现“变脸”.
内容索引
两角和与差的正切公式

一
问题1　请同学们写出两角和与差的正弦公式、余弦公式.
提示　cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
问题2　同角三角函数中的商数关系是什么？
问题3　你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？
用－β来代替tan(α＋β)中的β即可得到tan(α－β).
知识梳理
注意点：
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tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°
√
利用公式T(α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换.
反思感悟
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
反思感悟
化简求值：
给值求值(角)

二
问题4　根据两角和与差的正切公式的特点以及上述练习，你能写出几种公式的变形形式吗？
提示　T(α＋β)的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)；
T(α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)；
√
延伸探究　若本例条件不变，求tan(α＋β)的值.
(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解.(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小.
反思感悟
求：(1)tan(α＋β)的值；
(2)α＋2β的大小.
∵α，β为锐角，
两角和与差的正切公式的综合应用

三
设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为A.－3 B.－1 C.1 D.3
√
由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，
反思感悟
当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围.
√
√
∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2(A＋B)＝C，
课堂小结
1.知识清单： (1)两角和与差的正切公式的推导. (2)公式的正用、逆用、变形用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：公式中加减符号易记错.
随堂演练

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2.tan α＝2，tan β＝3，则tan(α＋β)等于A.1 B.5 C.－1 D.－5
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课时对点练

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＝tan 24°.
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∴tan α＋tan β＝tan α·tan β－1，∴(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan α·tan β＝1－(tan α·tan β－1)＋tan α·tan β＝2.
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∵28°＋32°＝60°，
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即2tan θ－2tan2θ－tan θ－1＝7－7tan θ，即2tan2θ－8tan θ＋8＝0，即2(tan θ－2)2＝0，解得tan θ＝2.
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得tan α＋tan β＝1－tan αtan β，所以(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2.
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tan β＝tan[(α＋β)－α]
13.角A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.无法确定
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∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形.
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∴α＋β∈(0，π)，
∴α＋β＋γ∈(0，π)，
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∴tan α＝tan[(α－β)＋β]
tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
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