高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式课文内容课件ppt

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式课文内容课件ppt，文件包含§53第3课时公式的综合应用pptx、§53第3课时公式的综合应用docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共59页， 欢迎下载使用。
第3课时　公式的综合应用学习目标　1.熟练掌握六组诱导公式的结构特征.2.会利用六组诱导公式求值、证明．导语同学们，经过前两节课的学习，我们掌握了三角函数的诱导公式一～六，你掌握记忆的技巧了吗？其实，它们可以统一概括为α＋k·(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名(k是偶数时)或异名(k是奇数时)三角函数值，前面加上一个将α看成锐角时原函数值的符号，简称为“奇变偶不变，符号看象限”．一、利用诱导公式证明恒等式例1　求证：＝.证明　∵右边＝＝＝＝＝＝＝左边，∴原等式成立．反思感悟　三角恒等式的证明策略对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．跟踪训练1　求证：＋＝.证明　∵左边＝＋＝＋＝＝＝＝右边，∴原等式成立．二、诱导公式在实际问题中的应用问题1　三角形中其中一个角与另外两角的和是什么关系？提示　互补．问题2　直角三角形中，两锐角是什么关系？提示　互余．例2　在△ABC中，sin ＝sin ，试判断△ABC的形状．解　因为A＋B＋C＝π，所以A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.又因为sin ＝sin ，所以sin ＝sin ，所以sin＝sin，所以cos C＝cos B.又B，C为△ABC的内角，所以C＝B，所以△ABC为等腰三角形．反思感悟　利用诱导公式解决实际问题时，需注意公式四和公式五中的互补和互余，是广义上的互补和互余．在涉及三角形问题时，一定要注意根据三角形内角和A＋B＋C＝π以及题目的具体条件进行适当变形，再化简求值．跟踪训练2　在△ABC中，下列各表达式为常数的是(　　)A．sin(A＋B)＋sin C   B．cos(B＋C)－cos AC．sin2＋sin2   D．sin sin 答案　C解析　在△ABC中，∵A＋B＋C＝π，∴A项，sin(A＋B)＋sin C＝2sin C，不为常数；B项，cos(B＋C)－cos A＝－2cos A，不为常数；C项，sin2＋sin2＝cos2＋sin2＝1为常数；D项，sin sin ＝cos sin ，不为常数．  三、三角函数的综合应用例3　已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β就是将角α的终边顺时针旋转得到的，求5sin β－5cos β＋3tan β的值．解　(1)根据题意，得sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝，∴sin(α＋π)＝－sin α＝－.(2)根据题意，得β＝α－，∴5sin β－5cos β＋3tan β＝5sin－5cos＋3tan＝5cos α＋5sin α－＝5×＋5×－3×＝－.反思感悟　用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．跟踪训练3　若角α的终边上有一点P(m，－8)，且cos α＝－.(1)求m的值；(2)求的值．解　(1)由勾股定理得，点P到原点的距离为r＝＝，根据三角函数的定义可得cos α＝＝－，解得m＝－6，m＝6(舍去)．(2)原式＝＝－sin α，由(1)可得r＝＝10，所以sin α＝＝－，所以原式＝－sin α＝.1．知识清单：(1)识记诱导公式．(2)三角形角的特点．(3)结合三角函数定义进行化简、求值、证明．2．方法归纳：公式法．3．常见误区：实际问题中角的范围．1．在△ABC中，cos(A＋B)的值等于(　　)A．cos C   B．－cos CC．sin C   D．－sin C答案　B解析　由于A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C.所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C.2．已知sin 40°＝a，则cos 130°等于(　　)A．a   B．－aC.   D．－答案　B3．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－1,2)，则等于(　　)A.  B．1  C.  D．－答案　A解析　由题意知，sin α＝，cos α＝－，原式＝＝＝.4．计算：sin211°＋sin279°＝________.答案　1解析　因为sin 79°＝sin(90°－11°)＝cos 11°，所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.1．sin 75°＋cos 195°的值为(　　)A．－1   B．0C.   D．1答案　B解析　sin 75°＋cos 195°＝sin(90°－15°)＋cos(180°＋15°)＝cos 15°－cos 15°＝0.2．已知角θ的终边过点(－3,4)，则cos(π－θ)等于(　　)A．－   B.  C．－   D.答案　D解析　因为角θ的终边过点(－3,4)，所以cos θ＝－，所以cos(π－θ)＝－cos θ＝.3．若cos 57°＝m，则cos 213°等于(　　)A．－   B．－C．－   D．－m答案　C解析　cos 213°＝cos(180°＋33°)＝－cos 33°＝－sin 57°＝－.4．若角7π－α的终边与单位圆的交点坐标是，则cos(α－2 022π)等于(　　)A．±  B．±  C.  D．－答案　A解析　依题意知，sin(7π－α)＝，即sin α＝，则cos α＝±，故cos(α－2 022π)＝cos α＝±.5．(多选)已知下列等式的左、右两边都有意义，则能够恒成立的是(　　)A．tan＝tanB．sin＝cosC．tan2αsin2α＝tan2α－sin2αD．sin4α－cos4α＝2sin2α－1答案　BCD解析　对于A，tan＝tan＝－tan，故A错误；对于B，sin＝sin＝cos，故B正确；对于C，tan2αsin2α＝sin2α＝·sin2α＝sin2α＝－sin2α＝tan2α－sin2α，故C正确；对于D，sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1，故D正确．6．角α的终边绕原点逆时针旋转后与单位圆交于点，则tan α等于(　　)A.  B．－  C．±  D．±答案　B解析　角α的终边绕原点逆时针旋转后得到角α＋，由题意可知cos＝－，sin＝－，化简得－sin α＝－，cos α＝－，即sin α＝，cos α＝－，则tan α＝＝＝－.7．若函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 022)＝2，则f(2 023)＝________.答案　－2解析　∵f(2 022)＝asin(2 022π＋α)＋bcos(2 022π＋β)＝asin α＋bcos β＝2，∴f(2 023)＝asin(2 023π＋α)＋bcos(2 023π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asin α＋bcos β)＝－2.8．已知sin＝，则sin＋sin2＝________.答案　解析　因为sin＝，所以sin＋sin2＝sin＋sin2＝sin＋cos2＝sin＋1－sin2＝＋1－2＝.9．求证：＝cos α.证明　因为左边＝＝＝cos α＝右边，所以等式成立．10．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．解　由题意得sin A＝sin B，cos A＝cos B，两边平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，又因为A∈(0，π)，所以A＝或.当A＝时，cos B＝－<0，所以B∈，所以A，B均为钝角，不符合题意，舍去．所以A＝，cos B＝，所以B＝，所以C＝.综上所述，A＝，B＝，C＝.11.黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形，例如，正五角星可以看成是由一个正五边形剪去五个顶角为108°的黄金三角形，如图所示，在黄金三角形ABC中，＝，根据这些信息，可得cos 144°等于(　　)A.  B．－  C．－  D．－答案　C解析　∵∠ABC＝108°，∴∠BAC＝×(180°－108°)＝36°，∵cos 36°＝＝×＝，∴cos 144°＝－cos 36°＝－.12．(多选)已知sin＝，则角α的终边可能在(　　)A．第一象限   B．第二象限C．第三象限   D．x轴的负半轴上答案　BCD解析　原等式可化为－cos α＝，∴－cos α＝，∴|cos α|＝－cos α，∴cos α≤0，∴α的终边在第二、三象限或在x轴的负半轴上．13．已知cos＝，且－π＜α＜－，那么cos等于(　　)A．－   B.C．－   D.答案　A解析　∵－＝，∴α－＝－，又∵－π＜α＜－，∴－＜＋α＜－，∵cos＝，∴sin＝－＝－，∴cos＝cos＝sin＝－.14．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°等于(　　)A．89  B．90  C.  D．45答案　C解析　∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝.15．对于函数f(x)＝asin(π－x)＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是(　　)A．4和6   B．3和1C．2和4   D．1和2答案　D解析　 ∵sin(π－x)＝sin x，∴f(x)＝asin x＋bx＋c，则f(1)＝asin 1＋b＋c，f(－1)＝asin(－1)＋b×(－1)＋c＝－asin 1－b＋c，∴f(－1)＝－f(1)＋2c.①把f(1)＝4，f(－1)＝6代入①式，得c＝5∈Z，故排除A；把f(1)＝3，f(－1)＝1代入①式，得c＝2∈Z，故排除B；把f(1)＝2，f(－1)＝4代入①式，得c＝3∈Z，故排除C；把f(1)＝1，f(－1)＝2代入①式，得c＝∉Z，故选D.16．化简：，其中k∈Z.解　当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝＝＝＝1.当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，则原式＝＝＝＝1，故原式＝1.