新教材人教A版步步高学习笔记【学案+同步课件】习题课 同角三角函数的基本关系

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习题课　同角三角函数的基本关系学习目标　1.掌握利用同角三角函数的基本关系求值的几种类型.2.灵活运用同角三角函数的基本关系的几种变形证明恒等式．一、弦切互化求值例1　已知tan α＝－4，求下列各式的值．(1)sin2α；(2)cos2α－sin2α；(3)3sin αcos α； (4).解　(1)sin2α＝＝＝＝.(2)cos2α－sin2α＝＝＝＝－.(3)3sin αcos α＝＝＝＝－.(4)＝＝＝.反思感悟　已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法(1)对于形如或的分式，分子、分母同时除以cos α或cos2α，将正弦、余弦转化为正切，从而求值．(2)对于形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的式子求值．跟踪训练1　已知＝－1，求下列各式的值．(1)tan α；(2)sin2α＋sin αcos α＋1.解　(1)因为＝－1，所以＝－1，解得tan α＝1.(2)sin2α＋sin αcos α＋1＝＝＝＝＝2.二、sin θ±cos θ型求值问题例2　已知sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值．解　因为sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝，即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝，所以sin θcos θ＝－，所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ＝＝＝.反思感悟　已知sin θ±cos θ，sin θcos θ求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解，涉及的三角恒等式有(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.上述三角恒等式告诉我们，若已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出．跟踪训练2　若sin θ－cos θ＝，则tan θ＋＝________.答案　－2解析　由已知得(sin θ－cos θ)2＝2，∴sin θcos θ＝－，∴tan θ＋＝＋＝＝－2.三、条件恒等式的证明例3　已知＋＝1，求证：＋＝1.证明　设sin2A＝m(0<m<1)，sin2B＝n(0<n<1)，则cos2A＝1－m，cos2B＝1－n.由＋＝1，得＋＝1，即(m－n)2＝0，∴m＝n，∴＋＝＋＝1－n＋n＝1.反思感悟　含有条件的三角恒等式证明的常用方法(1)直推法：从条件直推到结论．(2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明．(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明．跟踪训练3　已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.证明　因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2.所以＋1＝2，整理得＝，即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1.1．知识清单：(1)弦切互化求值．(2)sin θ±cos θ型求值问题．(3)条件恒等式的证明．2．方法归纳：整体代换法．3．常见误区：齐次式的化简求值容易忽略添加分母“1”．1．若tan α＝2，则的值为(　　)A．0  B.  C．1  D.答案　B解析　＝＝.  2．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于(　　)A.  B．－  C．－  D.答案　C解析　由题意得(sin α－cos α)2＝，即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，又sin2α＋cos2α＝1，∴1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝－.3．已知＝，则等于(　　)A.   B．－C．2   D．－2答案　B解析　因为＝，所以＝＝＝＝－.4．若2sin α＋cos α＝0，则－＝________.答案　－解析　∵2sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－，原式＝＝＝＝－2tan2α＝－.1．已知sin φ＝－，且|φ|<，则tan φ等于(　　)A．－   B.C．－   D.答案　C解析　∵sin φ＝－，∴cos2φ＝1－sin2φ＝1－2＝，又|φ|<，即－<φ<，∴cos φ>0，∴cos φ＝，∴tan φ＝＝＝－.2．已知tan α＝，则等于(　　)A．2  B．－2  C．3  D．－3答案　C解析　＝＝＝3.3．已知sin α－cos α＝，则sin αcos α等于(　　)A．－   B．－C.   D.答案　B解析　∵sin α－cos α＝，∴(sin α－cos α)2＝，即1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝－. 4．已知sin θ＋sin2θ＝1，则cos2θ＋cos4θ等于(　　)A．1  B．2  C.  D.答案　A解析　因为sin θ＋sin2θ＝1，所以sin θ＝1－sin2θ＝cos2θ，所以cos2θ＋cos4θ＝sin θ＋sin2θ＝1.5．已知＝3，－＜α＜，则sin α－cos α等于(　　)A．－   B．－C.   D.答案　D解析　因为＝3，所以＝3，解得tan α＝2.又因为－＜α＜，tan α＞0，所以0＜α＜.sin α＝，cos α＝，所以sin α－cos α＝.6．(多选)已知角α是锐角，若sin α，cos α是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根，则下列关于实数m，n的判断正确的是(　　)A．m2－2n－1＝0   B．mn＞0C．m＋n＋1＞0   D．m2－4n＜0答案　AC解析　sin α，cos α是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根，所以sin α＋cos α＝－m，sin αcos α＝n，因为角α是锐角，所以m＜0，n＞0，则mn＜0，故B错误；又(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝m2，即1＋2n＝m2，所以m2－2n－1＝0，故A正确；而m＋n＋1＝m＋＋1＝＞0，故C正确，因为方程有两个实根，所以m2－4n≥0，故D错误．7．已知asin α＋bcos α＝c，acos α－bsin α＝d，则a2＋b2________c2＋d2(用“>”“＝”或“<”填空)．答案　＝解析　右边＝c2＋d2＝(asin α＋bcos α)2＋(acos α－bsin α)2＝a2(sin2α＋cos2α)＋b2(cos2α＋sin2α)＝a2＋b2＝左边．8．已知sin αcos α＝，π＜α＜，则cos α－sin α＝ ________.答案　－解　因为π＜α＜，所以cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0，因为sin αcos α＝，所以(cos α－sin α)2＝1－2cos αsin α＝1－＝，所以cos α－sin α＝－.9．已知sin x－2cos x＝0.(1)求2sin2x－sin xcos x＋cos2x的值；(2)求的值．解　(1)由sin x－2cos x＝0，可得tan x＝2，∴2sin2x－sin xcos x＋cos2x＝＝＝＝.(2)联立可得sin2x＝，cos2x＝，又由(1)知tan x＝2，∴＝＝＝.10．已知sin θ＋cos θ＝，其中θ是△ABC的一个内角．(1)求sin θcos θ的值；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形，并说明理由．解　(1)由sin θ＋cos θ＝，可得(sin θ＋cos θ)2＝，即1＋2sin θcos θ＝，∴sin θcos θ＝－.(2)由(1)可知sin θcos θ＝－<0.又θ是△ABC的一个内角，∴0<θ<π，∴sin θ>0，cos θ<0，∴<θ<π，∴△ABC是钝角三角形．11．若1＋cos2θ＝3sin θ·cos θ，则tan θ的值等于(　　)A.  B.  C.  D．1或2答案　D解析　由1＋cos2θ＝3sin θ·cos θ，得sin2θ＋2cos2θ＝3sin θ·cos θ，显然cos θ≠0，sin θ≠0，所以tan2θ＋2＝3tan θ，解得tan θ＝1或2.12．已知sin α＋cos α＝，且α∈，则cos α－sin α等于(　　)A.  B．－  C．±  D.答案　B解析　∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝，∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝，∴cos α－sin α＝±，又∵α∈， ∴0＜cos α＜sin α，即cos α－sin α＝－.13．若△ABC的内角A满足sin Acos A＝，则sin A＋cos A等于(　　)A.  B．－  C.  D．－答案　A解析　∵sin Acos A＝>0，又A为△ABC的内角，∴sin A>0，cos A>0，∴(sin A＋cos A)2＝1＋2sin Acos A＝，∴sin A＋cos A＝.14．若<α<π，sin αcos α＝－，则tan α＝________.答案　－解析　sin αcos α＝＝＝－，整理得(2tan α＋1)(tan α＋2)＝0，解得tan α＝－或tan α＝－2，因为<α<π，所以tan α∈(－1,0)，故tan α＝－.15．已知sin α，cos α是关于x的方程3x2＋ax－1＝0的两根，则实数a等于(　　)A．3  B.  C．－  D．±答案　D解析　∵sin α，cos α是关于x的方程3x2＋ax－1＝0的两根，∴sin α＋cos α＝－，sin αcos α＝－，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝.∴a2＝3，即a＝±.16．已知方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ.(1)求k的值；(2)求sin θ－cos θ的值．解　(1)由方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ，得sin θ＋cos θ＝－，sin θ·cos θ＝.由sin 2θ＋cos2θ＝1及(sin θ＋cos θ)2＝，得1＋2sin θ·cos θ＝，所以1＋2×＝，即9k2－8k－20＝0，解得k＝2或k＝－.当k＝2时，Δ<0，故舍去；当k＝－时，满足条件．所以k＝－.(2)由(1)得sin θ＋cos θ＝，sin θ·cos θ＝－.则(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θ·cos θ＝1＋2×＝，所以sin θ－cos θ＝±.