数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理教课课件ppt

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第1课时　空间向量基本定理
第一章　§1.2　空间向量与立体几何
学习目标
1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.
2.掌握空间向量的正交分解.
导语
回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a，b，c表示呢？
内容索引
空间向量基本定理

一
问题1　如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝ ，p 能否用i，j，k表示呢？
问题2　你能证明唯一性吗？
提示　假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.
由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.所以有序实数组(x，y，z)是唯一的.
知识梳理
1.空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在 的有序实数组(x，y，z)，使得 .2.基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个 ，a，b，c都叫做基向量.
唯一
基底
p＝xa＋yb＋zc
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.(3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.
注意点：
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，
基底的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底.(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
反思感悟
(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有A.{a，b，x} B.{x，y，z}C.{b，c，z} D.{x，y，a＋b＋c}
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空间向量的正交分解

二
知识梳理
1.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为 ，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.2.正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使 .像这样，把一个空间向量分解为三个 的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
两两垂直
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两两垂直
a＝xi＋yj＋zk
用基底表示空间向量

三
反思感悟
用基底表示向量时(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘运算的运算律；(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.
如图，连接AC，EF，D1F，BD1，
课堂小结
1.知识清单： (1)空间的基底. (2)空间向量基本定理.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区： (1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件. (2)运算错误，利用基底表示向量时计算要细心.
随堂演练

1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量.因此p⇏q，q⇒p，p是q的必要不充分条件.
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1.(多选)若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是A.{a,2b,3c} B.{a＋b,b＋c,c＋a}C.{a＋b＋c,b＋c，c} D.{a＋2b,2b＋3c,3a－9c}
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因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以a，b，c不共面，对于A，B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；对于D，a＋2b,2b＋3c,3a－9c满足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基底.
2.(多选)给出下列命题，其中是真命题的是A.若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d} 也可以作为空间的一个基底B.已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底C.已知A，B，M，N是空间中的四点，若 不能构成空间的一 个基底，则A， B，M，N四点共面D.若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a， b，c}构成空间的一个基底
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A中，假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而 ，∴c与a，b共面，与已知条件矛盾，∴d与a，b不共面，即A是真命题；B中，根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，显然B是真命题；C中，由 有公共点B，所以A，B，M，N四点共面，即C是真命题；D中，因为a，b，c共面，所以{a，b，c}不能构成基底，故D错误.
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4.已知{a，b，c}是空间的一个基底，若p＝a＋b，q＝a－b，则A.{a，p，q}是空间的一个基底B.{b，p，q}是空间的一个基底C.{c，p，q}是空间的一个基底D.p，q与a，b，c中的任何一个都不能构成空间的一个基底
√
假设c＝k1p＋k2q，即c＝k1(a＋b)＋k2(a－b)，得c＝(k1＋k2)a＋(k1－k2)b，这与{a，b，c}是空间的一个基底矛盾，故{c，p，q}是空间的一个基底.
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A.a＋b＋c B.a－b＋cC.a＋b－c D.－a＋b＋c
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在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，
＝－a＋b＋c.
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则存在唯一一对实数λ，μ，
又e1，e2，e3是不共面的三个单位向量，
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所以e1＋e2， e1＋e3，e2＋2e3三个向量不共面，能作为一个基底；对于B，因为(e1－e3)＋(e2＋e3)＝e1＋e2，所以e1－e3，e2＋e3，e1＋e2三个向量共面，故不能作为一个基底；对于C，设e1－e2，e2－2e3，e3－3e1三个向量共面，则存在唯一一对实数λ，μ，使得e1－e2＝λ(e2－2e3)＋μ(e3－3e1)，即e1－e2＝－3μe1＋λe2＋(μ－2λ)e3，又e1，e2，e3是不共面的三个单位向量，
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所以e1－e2，e2－2e3，e3－3e1三个向量不共面，能作为一个基底；对于D，设e1＋e3，e2＋e3，e1＋e2三个向量共面，则存在唯一一对实数λ，μ，使得e1＋e3＝λ(e2＋e3)＋μ(e1＋e2)，即e1＋e3＝μe1＋(λ＋μ)e2＋λe3，又e1，e2，e3是不共面的三个单位向量，
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所以e1＋e3，e2＋e3，e1＋e2三个向量不共面，能作为一个基底.
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连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略).
∵点D，E，F，M共面，
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