数学选择性必修 第一册3.1 椭圆图片ppt课件

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1.理解并掌握椭圆的定义.
2.掌握椭圆的标准方程的推导.
3.会求简单的椭圆的标准方程.
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？
问题1　取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，
套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示　椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，这 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距，焦距的 称为半焦距.
常数(大于|F1F2|)
(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.(2)定值必须大于两定点间的距离.(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.
问题2　观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
提示　观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线
为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0).
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，
对方程③两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)， ④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
由椭圆的定义可知2a>2c>0，即a>c>0，所以a2－c2>0.
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程.
问题3　如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在对应的坐标轴上.
求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
因为椭圆的焦点在y轴上，
又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
由a>b>0，知不符合题意，故舍去；
方法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
确定椭圆标准方程的方法(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式.(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解.
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
则a2b>0矛盾，舍去.
方法二　(待定系数法)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B).
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
已知P为椭圆 ＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
从而|F1F2|＝2c＝6，在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs 60°，即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
延伸探究　若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积.
从而|F1F2|＝2c＝6.在△F1PF2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.(3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝b2 .
设P为椭圆C： ＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为A.24 B.12 C.8 D.6
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8.
∴易知△PF1F2是直角三角形，
∵△PF1F2的重心为点G，∴ ，∴△GPF1的面积为8.
1.知识清单： (1)椭圆的定义及其应用. (2)椭圆的标准方程.2.方法归纳：待定系数法.3.常见误区： (1)忽视椭圆定义中a，b，c的关系. (2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程.
1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，∴动点M的轨迹是线段.
2.已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为
c＝1，由点P(2，0)在椭圆上，可得a＝2，b2＝3，
3.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是A.(0，＋∞) B.(0，2)C.(1，＋∞) D.(0，1)
设椭圆的右焦点为F1，连接AF1，BF1，根据椭圆的对称性可得∠AF1B＝90°，即四边形AFBF1为矩形，
由椭圆的定义可得|AF|＋|AF1|＝2a＝8，所以|AF|＋|BF|＝8，所以△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝6＋8＝14.
1.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是A.当a＝2时，点P的轨迹不存在B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
当a＝2时，2a＝4|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误.
设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
3.已知F1，F2是椭圆 ＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|等于A.9 B.10 C.11 D.12
根据椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，所以|AF1|＋|BF1|＝16－|AB|＝11.
4.“20)的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，B在x轴上，∠BAF2＝90°，且F1是BF2的中点，O为坐标原点，若点O到直线AB的距离为3，则椭圆C的方程为
∠BAF2＝90°且|BF1|＝|F1F2|，则△AF1F2是等边三角形，设|F1F2|＝2c，则a＝2c，①
又a2＝b2＋c2，③
由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.
∴|BC|＋|AB|＝2a＝10，
如图，取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，
所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.
16.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示.(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)?