数学选择性必修 第一册3.1 椭圆教学课件ppt

这是一份数学选择性必修 第一册3.1 椭圆教学课件ppt，共17页。
第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用
学习目标　1.了解椭圆在实际生活中的应用.2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．
导语
传说，很久以前，在意大利的西西里岛上有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚用这个山洞囚禁犯人．囚犯们多次密谋逃跑，但是每次计划都被杰尼西亚发现．起初，囚犯们怀疑有内奸，但是始终没有发现内奸是谁．后来他们察觉到关押他们的山洞很奇怪，人只要站在山洞入口处的某个地方，就能听到很远处洞底的声音，甚至连人的呼吸声都能听到，因此这个山洞被命名为“杰尼西亚的耳朵”．这个山洞的特别之处就在于它呈椭圆形，声音可以从椭圆的一个焦点反射到另一个焦点上，从而可以在洞口清晰地听到洞底的声音．

一、实际生活中的椭圆问题
例1　(多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是(　　)

A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2
C.< D.>
答案　BD
解析　由图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，
在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，
所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；
a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得，a＋c＋2a1c2＝a＋c＋2a2c1，
所以a－c＋2a1c2＝a－c＋2a2c1，
即b＋2a1c2＝b＋2a2c1，由图可得，b>b，
所以2a1c20)的位置关系判断方法：
联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程：
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ0，得－31或m1且m≠3，
∴m的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．
4．罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为πab(其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，π取3.14)，已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为________平方米(保留小数点后两位)．

答案　0.22
解析　由条件可得，竞技场的总面积为π××＝7 332π(平方米)，表演区的面积为π××＝1 161π(平方米)，
故观众区的面积为7 332π－1 161π＝6 171π(平方米)，故观众区每个座位所占面积为≈≈0.22(平方米)．
课时对点练

1．直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
答案　A
解析　方法一　直线过点(0，1)，而0＋0，
所以直线与椭圆相交．
2．直线x＋4y＋m＝0交椭圆＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m的值是(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案　A
解析　∵x＋4y＋m＝0，
∴y＝－x－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
两式相减，得＝－＝－.
∵AB中点的横坐标为1，
∴纵坐标为，
将代入直线y＝－x－，解得m＝－2.
3．德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，
由题意可得＝，
整理得a＝59c，即＝.
∴地球运行轨道所在椭圆的离心率是.
4．(多选)椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　AD
解析　根据椭圆的离心率为，得＝.
由x0＝b，得y＝b2＝，
∴y0＝±，∴k＝＝±＝±.
5．经过点P且与椭圆＋y2＝1相切的直线方程是(　　)
A．x＋2y－4＝0 B．x－2y－4＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x－2y＋2＝0
答案　A
解析　显然当斜率k不存在时，直线方程为x＝1，此时直线与椭圆有两个交点，不符合题意；
当斜率k存在时，设直线方程为y－＝k(x－1)，与椭圆的方程联立得
得到(1＋4k2)x2＋4k(－2k)x＋4k2－4k－1＝0，
由直线与椭圆相切，得Δ＝0，
即[4k(－2k)]2－4×(1＋4k2)×(4k2－4k－1)＝0，
解得k＝－，∴切线方程为x＋2y－4＝0.
6．已知过圆锥曲线＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.过椭圆＋＝1上的点A(3，－1)作椭圆的切线l，则过点A且与直线l垂直的直线方程为(　　)
A．x－y－3＝0 B．x＋y－2＝0
C．2x＋3y－3＝0 D．3x－y－10＝0
答案　B
解析　过椭圆＋＝1上的点A(3，－1)的切线l的方程为＋＝1，即x－y－4＝0，切线l的斜率为1.与直线l垂直的直线的斜率为－1，故过A点且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－(x－3)，即x＋y－2＝0.
7．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．
答案　2
解析　由题意可设椭圆的方程为＋＝1(a>2)，
与直线方程x＋y＋4＝0联立，
得4(a2－3)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，
由Δ＝0，得a＝，
所以椭圆的长轴长为2.
8．已知椭圆C：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为________．
答案　9x＋y－5＝0
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为点A，B在椭圆上，
所以＋x＝1，①
＋x＝1.②
①－②，得＋(x1＋x2)(x1－x2)＝0.③
因为P是线段AB的中点，
所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，
代入③得＝－9，即直线AB的斜率为－9.
故直线AB的方程为y－＝－9，
整理得9x＋y－5＝0.
9．已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．
解　设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0，
由
消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，
由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3，
∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，
两条直线之间的距离即为所求最短距离，
且直线x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.
故所求最短距离为d＝＝.
由
得即P.
10．已知点A，B的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若过点N的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．
解　(1)设M(x，y)．
因为kAM·kBM＝－2，
所以·＝－2(x≠±1)，
化简得2x2＋y2＝2(x≠±1)．
即点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1)．
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)．
当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝，易知此时线段CD的中点不是N，不符合题意．
当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y－1＝k，将点C(x1，y1)，D(x2，y2)的坐标代入2x2＋y2＝2(x≠±1)，
得2x＋y＝2，①
2x＋y＝2，②
①－②整理得k＝＝－
＝－＝－1，
故直线l的方程为y－1＝－，
即所求直线l的方程为2x＋2y－3＝0.

11．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则的值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由
消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)，
则x1＋x2＝，∴x0＝，
代入y＝1－x得y0＝.
由题意知＝，∴＝.
12.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为(　　)

A. B. C. D.
答案　C
解析　椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，“切面”是一个椭圆，由“切面”所在平面与底面成60°角，
可得＝cos 60°，即a＝2b，
所以e＝＝＝.
13．如图是一个篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为(　　)

A. B. C. D.
答案　B
解析　如图，l1，l2是两条与球相切的直线，分别切于点A，C，与底面交于点B，D，设篮球的半径为R，

∴AC＝2R＝22，R＝11，
过C作CE∥BD交l1于E，则CE＝BD，
在△ACE中，
CE＝，
∴CE＝22×＝2a，
∴a＝＝，b＝R，
∴c＝＝R，
∴e＝＝＝.
14．已知椭圆＋y2＝1，则所有与椭圆相交且斜率为2的弦的中点的轨迹方程为___________．
答案　x＋4y＝0
解析　设斜率为2的直线与椭圆＋y2＝1交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为M(x，y)，由点差法可知，k＝2＝＝－×＝－×，
即x＋4y＝0.
又椭圆的弦的中点只能在椭圆内，
∴＋2