数学选择性必修 第一册3.3 抛物线习题课件ppt

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习题课　抛物线焦点弦的应用
第三章　§3.3　抛物线
学习目标
1.抛物线焦点弦的推导.
2.利用抛物线的焦点弦求解弦长问题.
导语
在上节中，我们已经掌握了抛物线焦点弦的一些性质：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
内容索引

一
已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若 ＝－12，则抛物线C的方程为A.x2＝8y B.x2＝4yC.y2＝8x D.y2＝4x
√
得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x.
通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅速的得到结果.
反思感悟
已知O为坐标原点，过点M(a，0)(a≠0)的直线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－2p，则a等于
√
∴a＝1.
若y1＝y2，则直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)只有一个交点，不符合题意，

二
抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程.
设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
故所求的抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.综上，抛物线方程为y2＝±4x.
反思感悟
经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝____.
2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1＋x2＝14，

三
过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于
√
反思感悟
将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题.
如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为
√

四
以弦AB为直径的圆与准线相切的应用
求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切.
如图，作AA′⊥l于点A′，BB′⊥l于点B′，M为AB的中点，作MM′⊥l于点M′，则由抛物线定义可知|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，在直角梯形BB′A′A中，
即|MM′|等于以AB为直径的圆的半径.故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
反思感悟
把焦点三角形的外接圆转化为以弦AB为直径的圆与准线相切，进行问题的求解.
抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，M为抛物线上一点.若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p等于A.2 B.4 C.6 D.8
√
∵△OFM的外接圆与抛物线的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.∵外接圆的面积为9π，∴外接圆的半径为3.
课堂小结
1.知识清单：抛物线焦点弦性质的应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆，导致出错.
随堂演练

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由题意可得抛物线的标准形式为x2＝8y，所以准线方程为y＝－2，
√
所以弦长|AB|＝5＋4＝9.
2.过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|等于A.9或6 B.6或3 C.9 D.3
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方法一　设点A为第一象限内的点，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，y1>0，则由题意可得F(2，0)，|AF|＝x1＋2＝6，
将直线AB的方程代入y2＝8x化简得x2－5x＋4＝0，所以x2＝1，所以|BF|＝x2＋2＝3.
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根据题意，可得抛物线及直线的线段关系如图所示，抛物线x2＝8y的焦点为F，则F(0，2)，准线方程为y＝－2，设直线l与y轴交点为B，直线AF的倾斜角等于60°，即∠FAB＝60°，而PA⊥l，所以∠FAP＝30°，由抛物线定义可知|PF|＝|PA|，因而∠FAP＝∠PFA＝30°，作FE垂直于AP的延长线于E，则|EA|＝4，∠FPE＝60°，
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4.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则PQ的中点M到抛物线准线的距离为_____.
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由抛物线的方程y2＝4x，可得p＝2，故它的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
课时对点练

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当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p.
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如图所示，设线段AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，
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由|AF|＝4，|BF|＝1，
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由抛物线焦点弦的性质知ABD正确.
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7.已知直线l：y＝x－1经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则|AB|＝______.
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8.过抛物线y2＝2x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝ ，|AF|<|BF|，则|AF|＝_____.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1将直线方程与抛物线方程联立，
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所以k2＝24，方程①即12x2－13x＋3＝0，
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9.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
方法一　因为直线l的倾斜角为60°，
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若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
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所以|AB|＝5＋3＝8.方法二　因为抛物线y2＝6x，所以p＝3，又直线l的倾斜角α＝60°，
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(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，
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10.已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B.(1)求抛物线C的方程；
∴抛物线方程为y2＝4x.
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(2)若|AB|＝8，求直线l的斜率.
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方法一　由(1)知焦点为F(1，0)，若直线l斜率不存在，则|AB|＝4，不符合题意，因此设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
解得k＝1或k＝－1.方法二　若直线l的斜率不存在，则|AB|＝4，不符合题意，设直线l的倾斜角为α，
即α＝45°或135°，则k＝tan α＝±1.
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11.(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正确的是A.若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8B.以PQ为直径的圆与准线l相切C.设M(0，1)，则|PM|＋|PP1|≥D.过点M(0，1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
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对于选项A，因为p＝2，所以x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故A正确；对于选项B，由抛物线焦点弦的性质可知，B正确；
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12.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是A.抛物线的准线方程为x＝－1
C.若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1D.若|AC|＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2
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把点B(1，2)代入抛物线y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确；
因为A，F，C三点共线，所以直线AC是焦点弦，所以y1y2＝－p2＝－4，故C不正确；
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设AC的中点为M(x0，y0)，因为|AF|＋|CF|≥|AC|，|AF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2，即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确.
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14.过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧.若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于A.2 B.3 C.4 D.5
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抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，准线方程l：x＝－1，设准线l与x轴交于点H，不妨设点A在第四象限，过A和B分别作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，如图，由抛物线的定义可知|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，又|AC|＝2|AF|，所以|AC|＝2|AD|，则∠ACD＝ .
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15.(多选)已知点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，AB的斜率为k，且k>0，C，B两点在x轴上方，O为坐标原点，则下列结论中正确的是
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如图所示，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，
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16.已知抛物线C的顶点为原点，焦点F与圆x2＋y2－2x＝0的圆心重合.(1)求抛物线C的标准方程；
由已知易得F(1，0)，则所求抛物线C的标准方程为y2＝4x.
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(2)设定点A(3，2)，当P点在C上何处时，|PA|＋|PF|的值最小，并求最小值及点P的坐标；
设点P在抛物线C的准线上的射影为点B，根据抛物线定义知|PF|＝|PB|，要使|PA|＋|PF|的值最小，则P，A，B三点共线.可得P(x1，2)，22＝4x1⇒x1＝1，即P(1，2).此时|PA|＋|PF|＝2＋2＝4.
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