高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示授课ppt课件

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1.了解空间直角坐标系.
2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标.
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法….”吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算.
1.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： ，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个 .2.相关概念： 叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过 的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分.
空间直角坐标系Oxyz
(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.(2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.(3)建立的坐标系一般为右手直角坐标系.
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量 ，且点A的位置由向量 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使 ＝ .在单位正交基底{i，j，k}下与向量 对应的有序实数组 ，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的 ，y叫做点A的 ，z叫做点A的 .
问题　空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标有什么特点？
(1)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则①顶点A，D1的坐标分别为______________；②棱C1C中点的坐标为_________；③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为_________.
(0,0,0)，(0,1,1)
(2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，∴正四棱锥的高为2 .以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2,0)，B(2,2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,2 ).答案不唯一.
(1)建立空间直角坐标系的原则①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.②充分利用几何图形的对称性.③一般用右手直角坐标系.(2)求某点M的坐标的方法作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z).
如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4, M为B1B的中点，点N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3.(1)以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标；
(2)以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标.
同理，A(6,0,0)，B(6,6,0)，C(0,6,0)，D(0,0,0)，A1(6,0,4)，B1(6,6,4)，C1(0,6,4)，D1(0,0,4)，O(3,3,0)，O1(3,3,4)，M(6,6,2)，N(0,6,3).
在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4).(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4).
(2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标；
由点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4).
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标.
设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3的坐标为(6，－3，－12).
空间点对称问题的解题策略(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.
已知点P(2,3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为__________.
点P(2,3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1).
向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作 ＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝ .
＝0i＋4j＋4k＝(0,4,4)，
＝－4i＋4j＋4k＝(－4,4,4).
向量坐标的求法(1)点A的坐标和向量 的坐标形式完全相同，其中O为坐标原点；(2)起点不在原点的向量，其坐标可以通过向量的运算求得.
如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标为(4,3,2)，则C1的坐标是A.(0,3,2) B.(0,4,2)C.(4,0,2) D.(2,3,4)
∵ 的坐标为(4,3,2)，D为坐标原点，∴B1的坐标为(4,3,2)，∴BC＝4，DC＝3，CC1＝2，∴C1的坐标为(0,3,2).
1.知识清单： (1)空间直角坐标系的概念. (2)空间点的坐标. (3)空间向量的坐标.2.方法归纳：数形结合、类比联想.3.常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同.
1.已知点A(－3,0，－4)，点A关于原点的对称点为B，则点B的坐标是A.(3,0，－4) B.(－3,0,4)C.(－4,0，－3) D.(3,0,4)
因为点(x，y，z)关于原点的对称点坐标为(－x，－y，－z)，所以点A(－3,0，－4)关于原点的对称点B的坐标是(3,0,4).
2.在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面Oyz的距离是A.1 B.2C.3 D.
点到平面Oyz的距离就是点的横坐标的绝对值.
3.点P(1,1,1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为_________，点P关于z轴的对称点P2的坐标为___________.　
点P(1,1,1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，点P关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1,1).
4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则向量 的坐标为________.
1.(多选)下列命题中正确的是 A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)B.在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)D.在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标是(a,0，c)
空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0).故A错误，B，C，D正确.
2.在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，－2,4)关于y轴对称的点为A.(－1，－2，－4) B.(－1，－2,4)C.(1,2，－4) D.(1,2,4)
关于y 轴对称，则y的值不变，x和z的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为(－1，－2，－4).
3.如图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为
4.在空间直角坐标系中，点(1,2,3)与点(－1,2,3)A.关于Oxy平面对称B.关于Ozx平面对称C.关于Oyz平面对称D.关于x轴对称
空间中的两个点(1,2,3)和(－1,2,3)，y，z轴上的两个坐标相同，x轴上的坐标相反，故此两点关于Oyz平面对称.
由于垂足在平面Oyz上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0.
7.设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为_____________________.
(2，－4,5)，(1,2，－3)
由空间向量坐标概念知a＝(2，－4,5)，b＝(1,2，－3).
8.如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________.
由题意知A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c).
9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC－D′A′B′C′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标.
10.如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP＝2，连接AP，BP，CP，DP，M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点， 为单位正交基底建立空间直角坐标系.若E，F分别为PA，PB的中点，求点A，B，C，D，E，F的坐标.
由题意知，点B的坐标为(1,1,0).由点A与点B关于x轴对称，得A(1，－1,0)，由点C与点B关于y轴对称，得C(－1,1,0)，由点D与点C关于x轴对称，得D(－1，－1,0).又P(0,0,2)，E为AP的中点，F为PB的中点，
12.(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是A.点B1的坐标为(4,5,3)B.点C1关于点B对称的点为(5,8，－3)C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
根据题意知，点B1的坐标为(4,5,3)，选项A正确；B的坐标为(4,5,0)，C1的坐标为(0,5,3)，故点C1关于点B对称的点为(8,5，－3)，选项B错误；
所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3)，选项C正确；点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)，选项D正确.
13.已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，且 ＝－i＋j－k，则点B的坐标A.是(－1,1，－1) B.是(－i，j，－k)C.是(1，－1，－1) D.不确定
而向量的起点A的坐标未知，故终点B的坐标不确定.
14.在三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的坐标系Bxyz，则向量 的坐标为___________.
15.已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为______，在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为__________.
由题意知p＝2a＋b－c，则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1,1,1).设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，又∵p＝2a＋b－c，