高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用背景图ppt课件

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第2课时　夹角问题第一章　1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题学习目标1.会用向量法求线线、线面、面面夹角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系.导语地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26′.黄道面与地球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等等，这便是星座的由来.内容索引两异面直线所成的角 一知识梳理若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝______＝_____.注意点： 如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱长为b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求异面直线BD1和AC所成角的余弦值.＝0＋a2＋abcos 120°＋abcos 120°－a2－0＝－ab.求异面直线夹角的步骤(1)确定两条异面直线的方向向量.(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值.(3)得出两条异面直线所成的角.反思感悟 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为√建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，直线与平面所成的角 二知识梳理设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝ ＝______＝_____.|cos〈u，n〉|(1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.(2)线面角的范围为 .(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.注意点： 如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝ AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点.(1)证明：CM⊥SN；设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，(2)求SN与平面CMN所成角的大小.设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，设SN与平面CMN所成的角为θ，利用平面的法向量求直线与平面所成角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量u.(3)求平面的法向量n.(4)设线面角为θ，则sin θ＝ .反思感悟 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为C1C，BC的中点.求A1B与平面AEF所成角的正弦值.以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)，令a＝1，可得n＝(1，－1,2).设A1B与平面AEF所成角为θ，两个平面的夹角 三问题1　两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？提示　平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角.问题2　两个平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？提示　两平面的夹角是两平面的法向量的夹角或其补角.若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝_______＝______.知识梳理(1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题.(2)两平面的夹角的范围是 .(3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念.注意点： 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明：O1O⊥平面ABCD；因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，因为AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD，所以O1O⊥平面ABCD.(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值.因为P，N分因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥平面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直.如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.平面OB1D的一个法向量为n＝(0,1,0)，设平面C1OB1的法向量为m＝(x，y，z)，延伸探究　本例不变，求平面BA1C与平面A1CD夹角的余弦值.设平面BA1C的法向量为m＝(x1，y1，z1)，设平面BA1C与平面A1CD的夹角为θ，反思感悟求两平面夹角的两种方法(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同. 如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB夹角的余弦值.如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，设平面SAB的法向量为n＝(a，b，c)，课堂小结1.知识清单： (1)两异面直线所成的角. (2)直线与平面所成的角. (3)平面与平面的夹角.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念，把握空间角的范围.随堂演练 1234√12342.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为√1234如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系，设CA＝CB＝CC1＝1，则B(0,1,0)，12343.如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上， ＝(0,0,2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝____.12344.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为___.设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图.则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1).课时对点练 123456789101112131415161.两异面直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则A.α＝θ B.α＝π－θC.cos θ＝|cos α| D.cos α＝|cos θ|√因而cos α＝|cos θ|.2.平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，则斜线l与平面α所成的角为A.30° B.45° C.60° D.90°12345678910111213141516l与α所成的角即为a与b所成的角(或其补角)，√所以斜线l与平面α所成的角为60°.√1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415164.已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为A.30° B.45° C.60° D.90°√12345678910111213141516如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1).∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.123456789101112131415165.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为√12345678910111213141516如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，6.(多选)直线l的方向向量为a，两个平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是A.若a⊥n，则直线l∥平面αB.若a∥n，则直线l⊥平面α12345678910111213141516√√√12345678910111213141516对于A，若a⊥n，则直线l∥平面α或在平面α内，故选项A不正确；对于B，若a∥n，则a也是平面α的一个法向量，所以直线l⊥平面α，故选项B正确；123456789101112131415167.如图，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°且PA＝AC＝BC，则此三棱锥四个面中直角三角形的个数为__，异面直线PB与AC所成角的正切值等于___.412345678910111213141516由PA⊥平面ABC可得PA⊥BC，又CA⊥BC，PA∩CA＝A，PA，CA⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故△BCP，△BCA，△PAC，△PAB均为直角三角形，所以此三棱锥四个面中直角三角形的个数为4；设PA＝AC＝BC＝1，1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415168.在空间中，已知平面α过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，则a＝____.12345678910111213141516平面Oxy的一个法向量为n＝(0,0,1).设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，12345678910111213141516又∵a>0，123456789101112131415169.如图所示，在四面体ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝ .求异面直线AB与CD所成角的余弦值.12345678910111213141516取BD的中点O，连接OA，OC.由题意知OA，OC，BD两两垂直.以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，123456789101112131415161234567891011121314151610.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD上的动点.(1)确定点E的位置，使PB∥平面AEC；12345678910111213141516当E为PD的中点时，可使PB∥平面AEC.证明如下：如图，连接BD交AC于点O，连接EO，则O为BD的中点，∵E为PD的中点，∴OE∥PB，又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC.12345678910111213141516(2)设PA＝AB＝1，且在第(1)问的结论下，求平面AEC与平面ADE夹角的余弦值.12345678910111213141516以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，令x＝1，则y＝－1，z＝1，∴n＝(1，－1,1)，设平面AEC与平面ADE的夹角为θ，1234567891011121314151612345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151612.如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起，使平面ADE与平面BDE的夹角为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的大小为A.45° B.90° C.135° D.150°√123456789101112131415161234567891011121314151613.如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为____.12345678910111213141516如图，取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设BC＝1，设平面ABD的一个法向量为n＝(x，y，z)，1234567891011121314151614.如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝ ，则异面直线AC与VD所成角的余弦值为___.1234567891011121314151612345678910111213141516∵AC＝BC＝2，D是AB的中点，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).1234567891011121314151615.如图，在正方形ABCD中，EF∥AB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶ ，则AF与CE所成角的余弦值为___.所以AE⊥ED，即AE，DE，EF两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝EF＝CD＝2，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2,0)，C(0,2,1)，123456789101112131415161234567891011121314151616.已知几何体EFG－ABCD，如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上.(1)求证：BM⊥EF；12345678910111213141516∵四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，∴GD⊥DA，GD⊥DC.又DA∩DC＝D，DA，DC⊂平面ABCD，∴GD⊥平面ABCD.以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1).∵点M在棱DG上，故可设M(0,0，t)(0≤t≤1).12345678910111213141516(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由.12345678910111213141516假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，令z＝1，得x＝y＝1，∴n＝(1,1,1)为平面BEF的一个法向量，12345678910111213141516∵直线MB与平面BEF所成的角为45°，12345678910111213141516