新教材人教A版步步高学习笔记【学案+同步课件】章末检测试卷(三)

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章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
第三章　圆锥曲线的方程
抛物线的焦点到准线的距离为p＝3.
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.抛物线y2＝6x的焦点到准线的距离是A.1 B.2 C.3 D.4
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∵y2＝8x的焦点是(2,0)，
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又虚半轴长b＝1且a>0，
3.动点到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是A.椭圆 B.双曲线C.双曲线的一支 D.抛物线
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已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线.
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5.从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为
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设P(x0，y0)，依题意可知抛物线准线为x＝－1，
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6.直线y＝kx＋1与椭圆 ＝1总有公共点，则m的取值范围是A.(1，＋∞) B.(0,1)∪(1，＋∞)C.[1,5)∪(5，＋∞) D.(0,1)∪(1,5)
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直线y＝kx＋1过定点(0,1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，
解得m≥1，又m≠5，∴m的取值范围是[1,5)∪(5，＋∞).
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因为PF⊥x轴，
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又OP∥AB，
于是b2＝c2，即a2＝2c2.
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∵|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，不妨令|AB|＝3，|BF2|＝4，|AF2|＝5，∵|AB|2＋|BF2|2＝|AF2|2，∴∠ABF2＝90°，又由双曲线的定义得|BF1|－|BF2|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF1|＋3－4＝5－|AF1|，∴|AF1|＝3，∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，∴a＝1，|BF1|＝6.
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在Rt△BF1F2中，|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2＝36＋16＝52，又|F1F2|2＝4c2，∴4c2＝52，
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二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.以直线2x－y－1＝0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为A.y2＝2x B.y2＝－4xC.x2＝－4y D.x2＝－2y
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此时抛物线的标准方程是y2＝2x，与y轴的交点坐标是(0，－1)，抛物线的焦点坐标是(0，－1)，此时抛物线的标准方程是x2＝－4y.
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10.已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且 ＝0，则下列结论正确的是A.双曲线C的渐近线方程为y＝±xB.△PF1F2的面积为1C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为2D.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
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对于A，由x2－y2＝0得y＝±x，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以A正确；
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取MN的中点P，
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当点P位于椭圆的上、下顶点时，|PF1|＝|PF2|＝a＝2，而|F1F2|＝2c＝ ，此时∠F1PF2＝90°，有2个直角三角形，当PF1⊥F1F2时，∠PF1F2＝90°，此时点P位于第二或第三象限，有2个直角三角形，同理可得PF2⊥F1F2时，∠PF2F1＝90°，此时有2个直角三角形，所以共有6个直角三角形，故选项D正确.
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三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在△ABC中，|AB|＝8，|AC|＝4，∠BAC＝60°，双曲线以A，B为焦点，且经过点C，则该双曲线的离心率为________.
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因为在△ABC中，|AB|＝8，|AC|＝4，∠BAC＝60°，
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结合题意，绘制图象：根据双曲线的性质可知|PF1|－|PF2|＝2a＝2，得到|PF1|＝|PF2|＋2，所以|PF1|＋|PQ|＝|PF2|＋|PQ|＋2≥|QF2|＋2，
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所以最小值为6.
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则a2＝b2＋c2＝b2＋50， ①设直线3x－y－2＝0与椭圆相交的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴b2(y1－y2)(y1＋y2)＋a2(x1－x2)(x1＋x2)＝0.
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∴b2×3×(－1)＋a2×1＝0，即a2＝3b2， ②联立①②得a2＝75，b2＝25.
16.如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝ |AF|，则△AFK的面积为_____.
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由题意知抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x＝－2，∴K(－2,0)，设A(x0，y0)(y0＞0)，∵过点A作AB⊥l于B，∴B(－2，y0)，∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，|BK|2＝|AK|2－|AB|2，∴x0＝2，∴y0＝4，即A(2,4)，
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四、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)设F1，F2分别为双曲线 ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程.
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设PF1的中点为M，连接F2M(图略).由|PF2|＝|F1F2|，故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a.
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故|PF1|＝4b.根据双曲线的定义有4b－2c＝2a，即2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，
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由直线MN过点B且与椭圆有两交点，且直线MN的斜率必存在.可设直线MN方程为y＝k(x－3)，代入椭圆方程整理得(2k2＋1)x2－12k2x＋18k2－6＝0，Δ＝24－24k2>0，得k2<1.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
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消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0. ①Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18).因为直线l与椭圆有公共点，
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(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值.
设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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20.(12分)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且线段AB恰好被点P(2,2)平分.(1)求直线l的方程；
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由题意，可得直线AB的斜率存在，且不为0.设直线AB：x－2＝m(y－2)，代入抛物线方程可得y2－8my＋16m－16＝0.
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1＋y2＝8m，
所以直线l的方程为2x－y－2＝0.
(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称？若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由.
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假设存在点C，D，
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其中Δ＝(n＋8)2－n2＝16n＋64>0，则n>－4. (*)又xC＋xD＝4(n＋8)，所以CD的中点为(2(n＋8)，－8)，代入直线l的方程，
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所以满足题意的点C，D不存在.
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(2)过点(1,0)作直线l与椭圆相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在定点Q，使得两条不同直线QA，QB恰好关于x轴对称，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
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存在定点Q(4,0)，满足直线QA，QB恰好关于x轴对称，设直线l的方程为x＝my＋1，
联立得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，Δ＝(6m)2－4×(4＋3m2)×(－9)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点Q(t，0)，由题意得t≠x1，t≠x2，
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因为直线QA，QB恰好关于x轴对称，所以直线QA，QB的斜率互为相反数，
即y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0，所以y1(my2＋1－t)＋y2(my1＋1－t)＝0，即2my1y2＋(1－t)(y1＋y2)＝0，
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即－6m(4－t)＝0，所以当t＝4时，直线QA，QB恰好关于x轴对称，即Q(4,0).综上，在x轴上存在定点Q(4,0)，使直线QA，QB恰好关于x轴对称.
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22.(12分)已知动点P(x，y)(其中x≥0)到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1.(1)求点P的轨迹C的方程；
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设P(x，y)(x≥0)，
两边平方，整理得y2＝4x.∴所求点P的轨迹方程为C：y2＝4x.
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设过椭圆的右顶点(4,0)的直线AB的方程为x＝my＋4.代入抛物线方程y2＝4x，得y2－4my－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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∴x1x2＋y1y2＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝(1＋m2)y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＝0.∴OA⊥OB.
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②设OA，OB分别与椭圆相交于点D，E，证明：原点O到直线DE的距离为定值.
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设D(x3，y3)，E(x4，y4)，直线DE的方程为x＝ty＋λ，
得(3t2＋4)y2＋6tλy＋3λ2－48＝0.
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由①知OD⊥OE，∴x3x4＋y3y4＝0.代入，整理得7λ2＝48(t2＋1).