新教材人教A版步步高学习笔记【学案+同步课件】再练一课(范围：§3.1～§3.2)

再练一课(范围：§3.1～§3.2)

一、单项选择题

1．若椭圆的焦距与短轴长相等，则此椭圆的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　依题意，2c＝2b，

所以b＝c，

所以a2＝b2＋c2＝2c2，

所以e2＝，又0＜e＜1，

所以e＝.

2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的实轴长为(　　)

A.  B．3  C．2  D．6

答案　D

解析　由题意，双曲线的一条渐近线为y＝－x，即bx＋ay＝0，

设双曲线的右焦点为F(c，0)，c>0，

则c2＝a2＋b2，

所以焦点到渐近线的距离d＝＝＝b＝3，

又离心率e＝＝，

所以a＝3，所以双曲线C的实轴长为2a＝6.

3．若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　依题意得＝，

所以c＝2b，

所以a＝＝b，

所以e＝＝＝.

4．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积为(　　)

A.  B.  C．2  D．4

答案　A

解析　∵在双曲线C：－＝1中，a＝3，b＝4，c＝5，

∴F1(－5，0)，F2(5，0)，|F1F2|＝10.

∵|PF2|＝|F1F2|＝，

∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝6＋＝.

∴在△PF1F2中，cos∠PF1F2＝＝，

∴sin∠PF1F2＝，

∴△PF1F2的面积为××10×＝.

5．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的(　　)

答案　C

解析　原方程分别可化为y＝ax＋b和＋＝1.

从B，D中的两椭圆看，a>0，b>0，但由B中的直线可得a<0，b<0，矛盾，应排除，

由D中的直线可得a<0，b>0，矛盾，应排除；

由A中的双曲线可得a<0，b>0，但由直线可得a>0，b>0，矛盾，应排除；

由C中的双曲线可得a>0，b<0，由直线可得a>0，b<0.

6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝6相交于A，B两点，且|AB|＝4，则此双曲线的离心率为(　　)

A．2  B.  C.  D.

答案　D

解析　设双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为bx－ay＝0，

∵|AB|＝4，r＝，

∴圆心(2，0)到渐近线的距离为，

即＝，

解得2b＝c，

又由a2＋b2＝c2，

得c＝a，

∴此双曲线的离心率为e＝＝.

二、多项选择题

7．已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(　　)

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x

D．若m＝0，n>0，则C是两条直线

答案　ACD

解析　对于A，当m>n>0时，有>>0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；

对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝，表示半径为的圆，故B错误；

对于C，当m>0，n<0时，方程化为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝±x；当m<0，n>0时，方程化为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝±x，故C正确；

对于D，当m＝0，n>0时，方程化为y＝±，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．

8．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是(　　)

A．a＝b，满足∠F1PF2＝90°的点P有两个

B．a<b，满足∠F1PF2＝90°的点P有四个

C．△PF1F2的面积的最大值为

D．△PF1F2的周长小于4a

答案　ACD

解析　记椭圆C的上、下顶点分别为B1，B2，易知∠F1PF2≤∠F1B1F2＝∠F1B2F2.选项A中，∠F1B1F2＝∠F1B2F2＝90°，正确；选项B中，∠F1B1F2＝∠F1B2F2<90°，不存在90°的∠F1PF2，错误；选项C中，面积≤·2c·b＝bc≤＝，正确；选项D中，周长＝2c＋2a<4a，正确．

三、填空题

9．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为________．

答案　y＝±x

解析　因为e＝＝，

不妨设a＝4，c＝1，则b＝，

所以对应双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.

10．在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为，则椭圆C的方程为________．

答案　＋y2＝1

解析　由题意知＝，

可得a2＝4b2.

椭圆C的方程可化简为x2＋4y2＝a2.

将y＝x代入可得x＝±，

因此×＝，可得a＝2.

因此b＝1.

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

11．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值是________．

答案　±1

解析　由

消去y得x2－2mx－m2－2＝0.

Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，

所以线段AB的中点坐标为(m，2m)，

又因为点(m，2m)在圆x2＋y2＝5上，

所以5m2＝5，所以m＝±1.

12．已知F1，F2是双曲线－＝1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜角为60°，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值为________．

答案　16

解析　在双曲线－＝1中，2a＝8，

由双曲线定义，得|PF2|－|PF1|＝8，|QF2|－|QF1|＝8，

所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝(|PF2|－|PF1|)＋(|QF2|－|QF1|)＝16.

四、解答题

13．已知定点A(a，0)，其中0<a<3，它到椭圆＋＝1上的点的距离的最小值为1，求a的值．

解　设椭圆上任一点为P(x，y)(－3≤x≤3)，

则|PA|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋(36－4x2)

＝2＋4－a2，

当0<a≤时，有0<a≤3.

所以当x＝a时，(|PA|2)min＝4－a2＝1，

解得a＝>(舍)；

当<a<3时，有3<a<，

当且仅当x＝3时，(|PA|2)min＝a2－6a＋9＝1，

解得a＝2或a＝4(舍)，综上可得a＝2.

14．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6)．当△APF的周长最小时，求该三角形的面积．

解　设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3，0)，

F1(－3，0)．

当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线的定义知|PF|－|PF1|＝2，∴|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.

∵|AF|＝＝15为定值，

∴当|AP|＋|PF1|最小时，△APF的周长最小．

由图象可知，当|AP|＋|PF1|最小时，点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．

由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，

由得y2＋6y－96＝0，

解得y＝2或y＝－8(舍去)，

∴S△APF＝＝×6×6－×6×2＝12.

15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的顶点到直线l1：y＝x的距离分别为和.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设平行于l1的直线l交C于A，B两点，且|＋|＝||，求直线l的方程．

解　(1)由直线l1：y＝x可知其与两坐标轴的夹角均为45°，故长轴端点到直线l1的距离为a，短轴端点到直线l1的距离为b，所以a＝，b＝，

解得a＝2，b＝1，

所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.

(2)设直线l：y＝x＋t(t≠0)，

联立整理得5x2＋8tx＋4t2－4＝0，

则Δ＝64t2－16×5(t2－1)>0，

解得－<t<且t≠0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝，

故y1y2＝(x1＋t)(x2＋t)＝(x1＋x2)t＋x1x2＋t2＝，因为|＋|＝||，所以OA⊥OB，

即·＝x1x2＋y1y2＝＋＝0，

解得t＝±，满足－<t<且t≠0，

所以直线l的方程为y＝x＋或y＝x－.