人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式习题ppt课件

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1.学会解决点点、点线、线线对称问题.
2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题.
已知直线l：y＝3x＋3，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；
设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
所以点P′的坐标为(－2,7).
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)，设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，
化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程.
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.
在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)，则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4).因为点E′，F′在所求直线上，
即3x－y－17＝0.
对称问题的解决方法(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x,2b－y).(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)，则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.
(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得.(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题.
已知P(－1,2)，M(1,3)，直线l：y＝2x＋1.(1)求点P关于直线l对称点R的坐标；
设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)，
(2)求直线PM关于直线l对称的直线方程.
因为M(1,3)的坐标满足直线l的方程，
则直线MR即为所求的直线，由两点式得所求直线方程为11x＋2y－17＝0.
一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程.
如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
∴A的坐标为(4,3).∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等，故反射光线所在直线的方程为y＝3.
由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，即光线从O点到达P点所走过的路程为8.
根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解.
如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是
由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程为|CD|＝ .
利用对称解决有关最值问题
在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得：(1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大；
∴a＋b－4＝0， ①
∴点B′的坐标为(5，－1).
即2x＋y－9＝0.易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大.
(2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小.
如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1,2)，∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0.易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小.
利用对称性求距离的最值问题由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解.
已知两点A(1,3)，B(4,5)，动点M在直线y＝x上运动，则|MA|＋|MB|的最小值为_____.
根据题意画出图象，如图，设点A关于直线y＝x的对称点为A′(x，y)，
1.知识清单： (1)关于点点、点线、线线的对称问题. (2)反射问题. (3)利用对称解决有关最值问题.2.方法归纳：转化化归、数形结合.3.常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆.
1.点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是A.(－1，－3) B.(17，－9)C.(－1,3) D.(－17,9)
设点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为(a，b)，
所以该点的坐标为(－1，－3).
2.直线x－2y＋1＝0 关于直线x＝1对称的直线方程是A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝0
3.若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则A.a＝1，b＝－2 B.a＝2，b＝－1C.a＝4，b＝3 D.a＝5，b＝2
4.已知A(3,0)，B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为
由题易知直线AB的方程为x＋y＝3，点P(0,2)关于x轴的对称点为P1(0，－2)，设点P(0,2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图，
1.已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是
2.点P(2,5)关于直线l：x＋y＋1＝0的对称点的坐标为A.(6，－3) B.(3，－6)C.(－6，－3) D.(－6,3)
设点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(x，y)，
故点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(－6，－3).
3.直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是A.2x＋3y＋7＝0B.3x－2y＋2＝0C.2x＋3y＋8＝0D.3x－2y－12＝0
∵直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变，∴设对称后的直线方程l′为2x＋3y＋c＝0，又点(1，－1)到两直线的距离相等，
化简得|c－1|＝7，解得c＝－6 或c＝8，∴l′的方程为2x＋3y－6＝0(舍)或 2x＋3y＋8＝0，即直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0.
4.已知直线l：ax＋by＋c＝0与直线l′关于直线x＋y＝0对称，则l′的方程为A.bx＋ay－c＝0 B.bx－ay＋c＝0C.bx＋ay＋c＝0 D.bx－ay－c＝0
5.点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，则a＋b等于A.－1 B.1 C.2 D.0
∵点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，∴点P(a，b)在直线l上，∴a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1.
6.光线从点A(－3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B的路程为
点A(－3,5)关于x轴的对称点A′(－3，－5)，则光线从A到B的路程即|A′B|的长，
7.台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点A(－2,3)无旋转射入，经过x轴(桌边)上的点P反弹后，经过点B(5,7)，则点P的坐标为________.
设P(x,0)，A点关于x轴对称的点为A′(－2，－3)，
由题意知A′，B，P三点共线，
8.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为____________.
设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
又反射光线经过点N(2,6)，
9.已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小.
由点M(3,5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5,1).同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(－3,5).由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x＋2y－7＝0.
10.已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A.(1)试判断由此得到的△ABC的个数；
如图，设B(m,0)，点A关于x轴的对称点为A′(1，－2)，点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B′(－3，m＋3).
当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形.综上，符合题意的△ABC只有1个.
(2)求直线BC的方程.
则直线A′B的方程为3x＋y－1＝0，即直线BC的方程为3x＋y－1＝0.
11.已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为A.2x＋3y＋5＝0 B.3x－2y＋5＝0C.3x＋2y＋5＝0 D.2x－3y＋5＝0
设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，
12.若x，y满足x＋y＋1＝0，则x2＋y2－2x－2y＋2的最小值为A.2 B. C.3 D.4
∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和，设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，则A′(－2，－4).要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值，
14.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－1，－4)，若将军从点A(－1,2)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3.则“将军饮马“的最短总路程为
如图所示，设点B关于直线x＋y＝3的对称点为C(a，b)，由题意可得
在直线x＋y＝3上取点P，由对称性可得|PB|＝|PC|，
当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立，
15.若函数y＝ 的图象上存在两点P，Q关于点(1,0)对称，则直线PQ的方程是____________.
又线段PQ的中点是(1,0)，
所以p，q为方程x2－2x－1＝0的根，
由两点式得直线PQ的方程为x－4y－1＝0.
16.已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4).(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
故A′(－2,8).因为P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
故所求的点P的坐标为(－2,3).
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大.