高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆习题课件ppt

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1.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.
2.能熟练地运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程.
生活中我们处处可见轨迹的影子.例如：人生的轨迹，我们每个人的成长轨迹，美丽的流星划过夜空留下的轨迹.
问题1　回顾圆、椭圆的定义，圆、椭圆上的点分别满足什么条件？
提示　圆上的点满足到圆心的距离等于半径.椭圆上的点满足到两定点的距离的和等于常数.
一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程.
将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B(－2，0)，半径为6，如图，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6，又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6，
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2，0)和点A(2，0)为焦点，线段AB的中点O(0，0)为中心的椭圆.
观察几何图形，根据几何图形的直观性质得到动点轨迹的几何属性，由曲线的定义直接得到动点轨迹的方程.注意要检验是否有要删除的点.
已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)，(4，0)，C为动点，且满足sin B＋sin A＝ sin C，求点C的轨迹.
即|AC|＋|BC|＝10，满足椭圆的定义.
则a′＝5，c′＝4⇒b′＝3，
相关点(代入法)求轨迹方程
设点Q是椭圆 ＝1上异于与x轴交点的任意一点，F1，F2为两焦
点，动点P满足 ＝0，则动点P的轨迹方程为____________________.
设P(x，y)，Q(x0，y0)(x0≠±6)，
相关点(代入法)求轨迹方程的一般步骤(1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0).(2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0.(3)将x0，y0代入其所在的曲线方程.(4)化简方程得所求方程.
如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M是线段PD上一点，且|MD|＝ |PD|.当点P在圆上运动时，动点M的轨
迹方程是____________.
设M(x，y)，P(x1，y1)，
因为P(x1，y1)在圆x2＋y2＝25上，
问题2　直接法求轨迹方程的步骤有哪些？
提示　建系、设点列式、化简检验.
已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，边AC，BC所在直线的斜率之积等于－ ，则顶点C的轨迹方程为________________.
求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示.
已知A(2，1)，B(2，－1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足 ，其中m，n∈R，且m2＋n2＝ ，则动点P的轨迹方程是___________.
∴(x，y)＝(2m＋2n，m－n)，∴x＝2m＋2n，y＝m－n，
1.知识清单： (1)定义法求轨迹方程. (2)相关点代入法求轨迹方程. (3)直接法求轨迹方程.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：在求动点的轨迹方程时，易忽略检查是否有要删除(增加)的点.
1.在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，|AB|＋|AC|＝6，则顶点A的轨迹方程是
在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，|AB|＋|AC|＝6＞|BC|＝4，
设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则点D的坐标为(x0，0)，
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
3.到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是____________.
由点P满足|PA|＝|PB|，可知点P的轨迹为点A(2，－3)和B(4，－1)的垂直平分线.
∴其垂直平分线的斜率为－1.∴点P的轨迹方程是y＋2＝－(x－3)，即x＋y－1＝0.
故曲线C的轨迹是椭圆.
平面内一点M到两定点F1(0，－3)，F2(0，3)的距离之和为10＞6，所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆，且a＝5，c＝3，则b＝4，
∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0，2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，又8＞4，∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，∴b2＝12，
∴点P的轨迹是以F1(－1，0)，F2(1，0)为焦点的椭圆.
设椭圆的右焦点为F2，
又|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，故由椭圆的定义，可知点P的轨迹是椭圆.
设交点为P(x，y)，A1(－3，0)，A2(3，0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，∵A1，P1，P共线，
∵A2，P2，P共线，
6.动圆M与圆M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，与圆M2：(x－1)2＋y2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是
设动圆的圆心为M(x，y)，半径为R，动圆与圆M1：(x＋1)2＋y2＝1外切，与圆M2：(x－1)2＋y2＝25内切，∴|MM1|＋|MM2|＝1＋R＋5－R＝6，∵|MM1|＋|MM2|＞|M1M2|＝2，∴该动圆圆心M的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆，且2a＝6，c＝1，解得a＝3，根据a，b，c的关系求得b2＝8，
7.在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(－2，0)，P是平面内一动点，直线PA，PB的斜率之积为－ .则动点P的轨迹C的方程为________________.
设点P的坐标为(x，y)(x≠±2)，
8.若动点P(x，y)到点(1，0)的距离与到定直线x＝3的距离之比是 ，则动点P的轨迹方程是____________.
设点P的坐标为(x，y)，
9.如图所示，Rt△ABC的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B(0，－ )，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点.(1)求边BC所在直线的方程；
(2)M为Rt△ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
令y＝0，得C(4，0).∴圆心M(1，0).又∵|AM|＝3，∴圆M的方程为(x－1)2＋y2＝9.
(3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程.
∵P(－1，0)，M(1，0)，且圆N过点P(－1，0)，∴PN是该圆的半径.又∵动圆N与圆M内切，∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3>2.∴点N的轨迹是以M，P为焦点的椭圆，且2a＝3.
10.已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆的标准方程；
点F(2，0)为其右焦点，则不妨令其左焦点为F′(－2，0)，
又a2＝b2＋c2，∴b2＝12，
(2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程.
设P(x0，y0)，Q(x，y)，∵Q为PF的中点，
由tan∠CAB·tan∠CBA＝2，
当x＝±2时，C与A或B重合，不符合题意.
圆心C(－1，0)，半径为5，设点M(x，y)，∵AQ的垂直平分线交CQ于M，∴|MA|＝|MQ|，又|MQ|＋|MC|＝5>|AC|＝2，即|MA|＋|MC|>|AC|，由椭圆的定义可得点M的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，
设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，
______________.
15.如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是A.圆 B.一条直线C.椭圆 D.两条平行直线
因为三角形的面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且平面α与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆.
16.设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程.
圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1，0)，如图所示，因为|AD|＝|AC|，所以∠ACD＝∠ADC.因为EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.所以|EB|＝|ED|，