2021学年2.5 直线与圆、圆与圆的位置说课课件ppt

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1.掌握圆的一般方程及其特点.
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.
3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.
前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式.请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题.
问题1　如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？
问题2　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？
1.圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程_________________________叫做圆的一般方程.
x2＋y2＋Dx＋Ey
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项.(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.
若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆.(1)求实数m的取值范围；
由表示圆的充要条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
(2)写出圆心坐标和半径.
将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________________.
方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为______.
由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心，
已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1).(1)求△ABC的外接圆的一般方程；
设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
(2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值.
由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，∵点M(a，2)在△ABC的外接圆上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6.
求圆的方程的策略(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程.(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到圆的方程.
已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为 ，求圆的一般方程.
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
即D＋E＝－2. ①
∴D2＋E2＝20. ②
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
问题3　轨迹和轨迹方程有什么区别？
提示　轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标满足的关系式.
点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
设线段AP的中点M(x，y)，由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2，2y).∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.
设线段PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
延伸探究1.在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程.
设T(x，y).因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.当斜率存在时，有kOT·kBT＝－1.
整理得x2＋y2－x－y＝0.当x＝0或1时，点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)也都在圆上.故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0.
2.本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程.
设点E(x，y)，P(x0，y0).
整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，整理得，点E的轨迹方程为x2＋y2－x－y－ ＝0.
求与圆有关的轨迹问题的方程(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.
以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，则A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC的中点D(x0，y0).
①
②将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点.轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
1.知识清单： (1)圆的一般方程. (2)求动点的轨迹方程.2.方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法.3.常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件.
1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是
根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，
2.已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2，3)，D，E分别为A.4，－6 B.－4，－6C.－4，6 D.4，6
又已知该圆的圆心坐标为(－2，3)，
3.(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0A.关于点(2，0)对称B.关于直线y＝0对称C.关于直线x＋3y－2＝0对称D.关于直线x－y＋2＝0对称
x2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5，即圆心的坐标为(2，0).A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2，0)是圆心，故正确；B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，故正确；C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，故正确；D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，故不正确.
4.已知△ABC的顶点A(0，0)，B(4，0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是______________________.
设C(x，y)(y≠0)，
(x－8)2＋y2＝36(y≠0)
∵B(4，0)，且AC边上的中线BD长为3，
即(x－8)2＋y2＝36(y≠0).
根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，
2.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为A.8π B.4πC.2π D.π
原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴半径r＝ ，∴圆的面积为S＝πr2＝2π.
3.(多选)下列结论正确的是A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程B.圆的一般方程和标准方程可以互化C.方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆D.若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则 ＋Dx0＋Ey0＋F>0
A，B显然正确；C中方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以表示点(1，－2)；D正确.
4.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是A.点 B.直线C.线段 D.圆
∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，∴(a－1)2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1为半径的圆.
5.圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的一般方程是A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B.(x＋4)2＋(y－1)2＝5C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5
把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，∴圆心C(2，－1).设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，
∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.
6.当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于
所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为 .
7.过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的一般方程为_________________.
x2＋y2－8x＋6y＝0
设过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
故所求圆的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
x2＋y2－4x－5＝0
设圆C的圆心坐标为(a，0)(a>0)，
所以圆C的一般方程为x2＋y2－4x－5＝0.
解得a＝2(a＝－2舍去)，
9.已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆.(1)求t的取值范围；
圆的方程可化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2.
(2)求这个圆的圆心坐标和半径；
(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程.
10.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程.
设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4，3)且点C是线段AB的中点，
于是有x0＝8－x，y0＝6－y. ①因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.
11.圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为A.0 B.1C.2 D.3
12.若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为A.(－∞，－2) B.(－∞，－1)C.(1，＋∞) D.(2，＋∞)
由题意得，曲线C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，因此曲线C是圆心为(－a，2a)，半径为2的圆.∵曲线C上所有的点均在第二象限内，
∴a的取值范围是(2，＋∞).
13.已知圆C经过点(4，2)，(1，3)和(5，1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为_____.
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将(4，2)，(1，3)，(5，1)代入方程中，
所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，则y2＋4y－20＝0，由根与系数的关系得y1＋y2＝－4；
令y＝0，则x2－2x－20＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝2，故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2.
14.设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是_______________.
圆的方程x2＋y2－2x－3＝0，化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1，0)，
15.已知点P(7，3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|＋|SQ|的最小值为A.7 B.8 C.9 D.10
由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1，5)，半径为1.如图所示，作点P(7，3)关于x轴的对称点P′(7，－3)，连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时|SP|＋|SQ|的值最小，
否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q，由于P与P′关于x轴对称，所以|SP|＝|SP′|，|S′P|＝|S′P′|，
所以|SP|＋|SQ|＝|SP′|＋|SQ|＝|P′Q|