高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.3.3 古典概型导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.3.3 古典概型导学案，共16页。学案主要包含了树形图在古典概型中的应用，统计图表在古典概型中的应用，古典概型的综合问题等内容，欢迎下载使用。

导语
古典概型是我们最常见也最广泛应用的数学模型之一．我们应当善于将学习到的知识应用于生活实际，那么今天一起探讨古典概型的综合问题．
一、树形图在古典概型中的应用
例1 有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；
(3)求这四人恰好有1人坐在自己的席位上的概率．
解 将A，B，C，D四位贵宾就座情况用树形图表示出来：
如图所示，样本点的总数为24，且每个样本点出现的可能性相等．
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝eq \f(1,24).
(2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己的席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝eq \f(9,24)＝eq \f(3,8).
(3)设事件C为“这四人恰有1人坐在自己的席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)＝eq \f(8,24)＝eq \f(1,3).
反思感悟 当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树形图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树形图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．另外，如果试验结果具有对称性，可简化结果以便于模型的建立与解答．
跟踪训练1 口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球．试计算第二个人摸到白球的概率．
解 方法一 需要找出4个人按顺序依次摸球的样本点总数和第二个人摸到白球的样本点数．
解题过程如下：用A表示事件“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号1,2；2个黑球也编上序号1,2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有样本点，可用树形图直观地表示出来，如图所示：
由图可知，试验的样本点总数是24，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以，这24个样本点出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的样本点有12个，
故第二个人摸到白球的概率P(A)＝eq \f(12,24)＝eq \f(1,2).
方法二 把2个白球编上序号1,2，两个黑球也编上序号1,2,4个人按顺序依次从袋中摸出一球，前两人摸出的球的所有样本点，可用树形图直观地表示出来，如图所示：
由图可知，试验的样本点总数是12，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这12个样本点出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的样本点有6个，
故第二个人摸到白球的概率P(A)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2).
二、统计图表在古典概型中的应用
例2 如图，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中乙中的两个数字被污损，且已知甲、乙两人在5次综合测评中的成绩的中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(1,5) C.eq \f(3,10) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 由题意可得甲的成绩为84,86,91,98,98，
中位数为91，平均数为eq \f(457,5).
乙的成绩为86,88,90＋x,90＋y,99(1≤x≤y≤9)．
∵甲、乙成绩的中位数相同，∴90＋x＝91，x＝1.
又乙的平均成绩为eq \f(454＋y,5)，乙的平均成绩低于甲，
∴eq \f(454＋y,5)∴1≤y<3，即y＝1或2.
又样本空间Ω＝{1,2,3，…，9}，
设乙的平均成绩低于甲为事件A，则A＝{1,2}，
∴乙的平均成绩低于甲的概率为P(A)＝eq \f(2,9).
反思感悟 (1)求古典概型的概率，关键是正确列出样本点，常见方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择，在列出样本点后最好检验一下各样本点出现的概率是否相同.
(2)求随机事件的概率的关键就是找该事件包含了几个样本点，根据事件C包含的样本点个数m及试验的样本点总个数n，再利用公式P(C)＝eq \f(m,n)，求出事件C发生的概率．
跟踪训练2 饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础．同时国家提倡节约用水，全民积极维护饮用水水源安全，保障安全饮水．为了提高节约用水意识，某校开展了“节约用水，从我做起”活动，从参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分eq \x\t(x)(同一组数据用该组区间的中点值代表)；
(2)在该样本中，若采用分层抽样方法，从成绩低于65分的学生中随机抽取6人调查他们的答题情况，再从这6人中随机抽取3人进行深入调研，求这3人中至少有1人的成绩低于55分的概率．
解 (1)根据频率分布直方图得到(0.005＋0.025×2＋0.010＋a)×10＝1，
解得a＝0.035.
这组样本数据的平均数为50×0.05＋60×0.25＋70×0.35＋80×0.25＋90×0.1＝71，
所以eq \x\t(x)＝71.
(2)根据频率分布直方图得到，成绩在[45,55)，[55,65)内的频率分别为0.05,0.25，
所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的6人，
成绩在[45,55)内的有1人，记为X，
成绩在[55,65)内的有5人，分别记为a，b，c，d，e，
从这6人中随机抽取3人，所有可能的结果为Xab，Xac，Xad，Xae，Xbc，Xbd，Xbe，Xcd，Xce，Xde，abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，共20种．
这3人中至少有1人的成绩在[45,55)内的有Xab，Xac，Xad，Xae，Xbc，Xbd，Xbe，Xcd，Xce，Xde，共10种．
所以这3人中至少有1人的成绩低于55分的概率为eq \f(10,20)＝eq \f(1,2).
三、古典概型的综合问题
例3 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得的成绩，且前5位同学的成绩如下：
(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．
解 (1)因为这6位同学的平均成绩为75分，
所以eq \f(1,6)×(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，
解得x6＝90，
这6位同学成绩的方差s2＝eq \f(1,6)×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，
所以标准差s＝7.
(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩的样本点有
(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种．
恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有
(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，
故所求的概率为eq \f(4,10)＝0.4.
即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.
反思感悟 解决概率与统计相结合的题目的步骤主要有：
第一步，根据题目要求求出数据(有的用到分层随机抽样、有的用到频率分布直方图等知识)；
第二步，列出样本空间，计算样本空间包含的样本点个数；
第三步，找出所求事件包含的样本点个数；
第四步，根据古典概型概率计算公式求解；
第五步，明确规范地表述结论．
跟踪训练3 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．
解 (1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，
所以a＝0.006.
(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，
所以估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，
包含的样本点有
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10个．
因为所抽取2人的评分都在[40,50)包含的样本点有1个，即(B1，B2)，
故所求的概率为eq \f(1,10).
1．知识清单：
(1)树形图在古典概型中的应用．
(2)统计图表在古典概型中的应用．
(3)古典概型的综合应用．
2．方法归纳：列举法、树形图法等．
3．常见误区：样本空间中样本点列举错误和古典概型的错误判断．
1．将一枚质地均匀的硬币连掷两次，恰有一次正面朝上的概率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 一枚质地均匀的硬币连掷2次，样本点有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，而只有一次正面朝上的样本点有(正，反)，(反，正)，故其概率为eq \f(2,4)＝eq \f(1,2).
2．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )
A．0.4 B．0.6
C．0.8 D．1
答案 B
解析 记3件合格品分别为A1，A2，A3,2件次品分别为B1，B2，从5件产品中任取2件，有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10个样本点，其中恰有一件次品有6个样本点，由古典概型得所求事件概率为eq \f(6,10)＝0.6.
3．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取两个数，则所取两个数的乘积为6的概率是________．
答案 eq \f(1,3)
解析 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取两个数，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)}，共包含6个样本点，“所取两个数的乘积为6”包含的样本点有(1,6)，(2,3)，共2个，故所求概率P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
4．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
答案 eq \f(1,3)
解析 样本空间的样本点有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，红)，(白，白)，(白，蓝)，(蓝，红)，(蓝，白)，(蓝，蓝)，共9个，其中颜色相同的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3个，故所求的概率P＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).
1．一个停车场有3个并排的车位，分别停放着“红旗”“捷达”“桑塔纳”轿车各一辆，则“捷达”车停在“桑塔纳”车的右边的概率和“红旗”车停在最左边的概率分别是( )
A.eq \f(1,2)，eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)，eq \f(1,2) C.eq \f(1,3)，eq \f(2,3) D.eq \f(1,2)，eq \f(2,3)
答案 A
解析 三辆车从左往右停放组成的样本点有：(红旗、捷达、桑塔纳)，(红旗、桑塔纳、捷达)，(捷达，红旗、桑塔纳)，(桑塔纳、红旗、捷达)，(捷达、桑塔纳、红旗)，(桑塔纳、捷达、红旗)，共有6个，所以“捷达”车停在“桑塔纳”车右边的概率为eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，“红旗”车停在最左边的概率为eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
2．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
答案 D
解析 样本空间Ω＝{(a，b)|a∈{1,2,3,4,5}，b∈{1,2,3}}，包含的样本点个数为5×3＝15，事件“b>a”可表示为{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，包含的样本点个数为3，所以P＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
3．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则向上的点数之差的绝对值等于2的概率是( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(2,9) C.eq \f(1,3) D.eq \f(4,9)
答案 B
解析 连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，记录向上的点数，样本空间包含的样本点的个数为n＝6×6＝36，“向上的点数之差的绝对值等于2”包含的样本点有(1,3)，(3,1)，(2,4)，(4,2)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)，共8个，所以“向上的点数之差的绝对值等于2”的概率为P＝eq \f(8,36)＝eq \f(2,9).
4.(多选)如图，圆O的半径为1，六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，从A，B，C，D，E，F六点中任意取两点，并连接成线段，则下列结论正确的是( )
A．线段的长为1的概率是0.4
B．线段的长为2的概率是0.5
C．线段的长为eq \r(3)的概率是0.4
D．线段的长不超过eq \r(3)的概率是0.8
答案 ACD
解析 在A，B，C，D，E，F中任取两点的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共15个样本点．线段的长为1的样本点有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(D，E)，(E，F)，(A，F)，共有6个样本点，所以线段的长为1的概率P1＝eq \f(6,15)＝0.4，故A正确；线段的长为2的样本点有(A，D)，(B，E)，(C，F)，共有3个样本点，所以线段的长为2的概率P2＝eq \f(3,15)＝0.2，故B不正确；线段的长为eq \r(3)的样本点有(A，C)，(A，E)，(B，D)，(B，F)(C，E)，(D，F)，共有6个样本点，所以线段的长为eq \r(3)的概率P3＝eq \f(6,15)＝0.4，故C正确；线段的长不超过eq \r(3)的概率是P1＋P3＝0.4＋0.4＝0.8，故D正确．
5．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A.eq \f(8,15) B.eq \f(1,8) C.eq \f(1,15) D.eq \f(1,30)
答案 C
解析 ∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，共包含15个样本点，且每个样本点出现的可能性相等．
正确的开机密码只有1种，∴P＝eq \f(1,15).
6.(多选)下列关于各事件发生的概率判断正确的是( )
A．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为eq \f(2,3)
B．四条线段的长度分别是1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是eq \f(1,4)
C．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为eq \f(1,3)
D．已知集合A＝{2,3,4,5,6,7}，B＝{2,3,6,9}，在集合A∪B中任取一个元素，则该元素是集合A∩B中的元素的概率为eq \f(3,5)
答案 ABC
解析 对于A，从甲、乙、丙三人中任选两人，则该试验的样本空间Ω＝{(甲、乙)，(甲、丙)，(乙、丙)}，共包含3个样本点，其中，甲被选中的样本点有2个，故甲被选中的概率为P＝eq \f(2,3)，故A正确；对于B，样本空间Ω＝{(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)}，共包含4个样本点，而能构成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种情况，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P＝eq \f(1,4)，故B正确；对于C，该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，故C正确；对于D，因为A∪B＝{2,3,4,5,6,7,9}，A∩B＝{2,3,6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是eq \f(3,7)，故D错误．
7．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都被选中的概率为________．
答案 eq \f(3,10)
解析 从五个人中选取三人，则试验的样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，共包含10个样本点，甲、乙都被选中的样本点有3个，故所求的概率为eq \f(3,10).
8．2021年7月1日，建党百年盛典，天安门广场上共青团员、少先队员齐诵青春誓言“请党放心，强国有我！”，新的百年，听党话、感党恩、跟党走！给人们留下深刻印象．表演前，为呈现最佳效果，节目编排人员将4名领诵人员排成一排，则两名女领诵相邻的概率为_．
答案 eq \f(1,2)
解析 记女领诵分别为m1，m2，男领诵分别为b1，b2，则样本空间Ω＝{(m1，m2，b1，b2)，(m1，m2，b2，b1)，(m1，b1，m2，b2)，(m1，b1，b2，m2)，(m1，b2，b1，m2)，(m1，b2，m2，b1)，(m2，m1，b1，b2)，(m2，m1，b2，b1)，(m2，b1，m1，b2)，(m2，b1，b2，m1)，(m2，b2，b1，m1)，(m2，b2，m1，b1)，(b1，b2，m1，m2)，(b1，b2，m2，m1)，(b1，m1，b2，m2)，(b1，m1，m2，b2)，(b1，m2，m1，b2)，(b1，m2，b2，m1)，(b2，b1，m1，m2)，(b2，b1，m2，m1)，(b2，m1，b1，m2)，(b2，m1，m2，b1)，(b2，m2，b1，m1)，(b2，m2，m1，b1)}，共包含24个样本点，
其中，两名女领诵相邻的样本点有(m1，m2，b1，b2)，(m1，m2，b2，b1)，(m2，m1，b1，b2)，(m2，m1，b2，b1)，(b1，b2，m1，m2)，(b1，b2，m2，m1)，(b1，m1，m2，b2)，(b1，m2，m1，b2)，(b2，b1，m1，m2)，(b2，b1，m2，m1)，(b2，m1，m2，b1)，(b2，m2，m1，b1)共12个，
故所求的概率P＝eq \f(12,24)＝eq \f(1,2).
9．从两台台式电脑(记为A和B)、两台笔记本电脑(记为C和D)中任意抽取两台．
(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按类型等比例分层抽样的样本空间；
(2)在三种抽样方法下，分别计算抽到的两台都是笔记本电脑的概率．
解 设第一次抽到的电脑记为x，第二次抽到的电脑记为y，
则可用数组(x，y)表示两次抽取的样本点．
(1)根据相应的抽样方法可知，
有放回简单随机抽样的样本空间Ω1＝{(A，A)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(B，D)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，(C，D)，(D，A)，(D，B)，(D，C)，(D，D)}．
不放回简单随机抽样的样本空间Ω2＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，A)，(B，C)，(B，D)，(C，A)，(C，B)，(C，D)，(D，A)，(D，B)，(D，C)}．
按类型等比例分层抽样，先从台式电脑中抽一台，再从笔记本电脑中抽一台，其样本空间Ω3＝{(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)}．
(2)设事件E＝“抽到两台笔记本电脑”，
则对于有放回简单随机抽样，
E＝{(C，C)，(C，D)，(D，C)，(D，D)}．
因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等，
所以这是一个古典概型．
因此P(E)＝eq \f(4,16)＝eq \f(1,4).
对于不放回简单随机抽样，
E＝{(C，D)，(D，C)}．
对于抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等，
所以这是一个古典概型．
因此P(E)＝eq \f(2,12)＝eq \f(1,6).
因为按类型等比例分层抽样，不可能抽到两台笔记本电脑，
所以E＝∅，因此P(E)＝0.
10．某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
(1)从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78米以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
解 (1)由题意知，从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，这一试验E1的样本空间Ω1＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共包含6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，故属于古典概型．设事件M表示“选到的2人身高都在1.78米以下”，则M＝{AB，AC，BC}，共含有3个样本点，
所以P(M)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).
(2)从该小组同学中任选2人，这一试验E2的样本空间Ω2＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共包含10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等．设事件N表示“选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5，23.9)中”，则N＝{CD，CE，DE}，共含有3个样本点，所以P(N)＝eq \f(3,10).
11．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前都放着一枚完全相同的硬币，所有人同时翻转自己面前的硬币，若翻转后，面前的硬币正面朝上，则这个人站起来；若翻转后，面前的硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(5,16) C.eq \f(7,16) D.eq \f(11,16)
答案 C
解析 四个人翻转硬币后是否站起来共有16种情形，其中没有相邻的两个人站起来，即正面朝上不相邻有：正反正反，反正反正，反反反正，反反正反，反正反反，正反反反，反反反反，共7种情形，所以没有相邻的两个人站起来的概率为eq \f(7,16).
12．先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别记为x，y，则lg2xy＝1的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(5,36) C.eq \f(1,12) D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 所有样本点的个数为36，且每个样本点出现的可能性相等．由lg2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝6，))故事件“lg2xy＝1”包含3个样本点，所以所求的概率为P＝eq \f(3,36)＝eq \f(1,12).
13．(多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是( )
A．任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是eq \f(1,2)
B．每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16
C．每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是eq \f(1,2)
D．每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为16
答案 ACD
解析 记4件产品分别为1,2,3，a，其中a表示次品．在A中，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,3)，(2，a)，(3，a)}，共包含6个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，“恰有一件次品”的样本点为(1，a)，(2，a)，(3，a)，因此其概率P＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，A正确；在B中，每次抽取1件，不放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,1)，(2,3)，(2，a)，(3,1)，(3,2)，(3，a)，(a,1)，(a,2)，(a,3)}，因此n(Ω)＝12.B错误；在C中，“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6，因此其概率为eq \f(1,2)，C正确；在D中，每次抽取1件，有放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2，a)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3，a)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a，a)}，因此n(Ω)＝16，D正确．
14．用红、黄、蓝三种不同颜色给如图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形颜色都相同的概率是________，3个矩形颜色都不同的概率是________．
答案 eq \f(1,9) eq \f(2,9)
解析 所有可能的样本点共有27个，如图所示，
记“3个矩形颜色都相同”为事件A，由图可知，事件A包含的样本点有3个，故P(A)＝eq \f(3,27)＝eq \f(1,9).记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B中的样本点有6个，故P(B)＝eq \f(6,27)＝eq \f(2,9).
15.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处，跳动一次只能进入3处；若它在3处，则跳动一次可以等可能地进入1,2,4,5处)，则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是( )
A.eq \f(3,16) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 由题意可知小青蛙三次跳动后的所有情况有(3→1→3→1)，(3→1→3→2)，(3→1→3→4)，(3→1→3→5)，(3→2→3→2)，(3→2→3→1)，(3→2→3→4)，(3→2→3→5)，(3→4→3→4)，(3→4→3→1)，(3→4→3→2)，(3→4→3→5)，(3→5→3→5)，(3→5→3→1)，(3→5→3→2)，(3→5→3→4)，共16种．
满足题意的有(3→1→3→5)，(3→2→3→5)，(3→4→3→5)，共3种．
由古典概型的概率计算公式可得，小青蛙在第三次跳动后，首次进入5处的概率是eq \f(3,16).
16．《中国诗词大会》是中央电视台推出的一档有重大影响力的大型电视文化节目，在某次采访时，教育部部长陈宝生答记者问时就给予其高度评价．基于这样的背景，某中学积极响应，也举行了一次诗词竞赛．组委会在竞赛后，从中抽取了部分选手的成绩(百分制)作为样本进行统计，作出了图1的频率分布直方图和图2的茎叶图(但中间三行污损，看不清数据)．
(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；
(2)分数在[80,90)的学生中，男生有2人，现从该组抽取3人“座谈”，写出样本空间并求至少有1名男生的概率．
解 (1)由茎叶图可知，位于区间[50,60)的样本数为8，
由频率分布直方图可知，位于区间[50,60)的频率为0.016×10＝0.16，
所以n＝eq \f(8,0.16)＝50.
位于区间[90,100]的样本数为2，所以y＝eq \f(2,50×10)＝0.004.
因为(0.016＋x＋0.040＋0.010＋0.004)×10＝1，所以x＝0.030.
(2)分数在区间[80,90)的学生共有50×0.010×10＝5(人)，用1,2,3表示女生，a，b表示男生，
则样本空间可表示为{(1,2,3)，(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(1，a，b)，(2,3，a)，(2,3，b)，(2，a，b)，(3，a，b)}，共有10个样本点，
至少有1名男生包含的样本点为(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(1，a，b)，(2,3，a)，(2,3，b)，(2，a，b)，(3，a，b)，有9个，
所以至少有1名男生的概率为eq \f(9,10).编号n
1
2
3
4
5
成绩xn
70
76
72
70
72
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9