人教B版 (2019)必修 第二册6.1.2 向量的加法学案及答案

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册6.1.2 向量的加法学案及答案，共13页。学案主要包含了向量加法的三角形法则，向量加法的平行四边形法则，多个向量相加等内容，欢迎下载使用。

导语
我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，我们就引入了向量的运算．
一、向量加法的三角形法则
问题1 某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？
提示
这个质点两次位移eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))的结果，与从点A直接到点C的位移eq \(AC,\s\up6(→))的结果相同，因此位移eq \(AC,\s\up6(→))可以看成是位移eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))合成的，即eq \(AC,\s\up6(→))可以算作是eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))的和．
问题2 请结合课本例1，探索一下|a＋b|与|a|，|b|之间的关系？
提示 (1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b方向不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.
(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
知识梳理
1．一般地，平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，作出向量eq \(AC,\s\up6(→))，则向量eq \(AC,\s\up6(→))称为向量a与b的和(也称eq \(AC,\s\up6(→))为向量a与b的和向量)．向量a与b的和向量记作a＋b，因此eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，当a与b不共线时，求它们的和可用图表示，此时a，b，a＋b正好能构成一个三角形，所以上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则．
2．对任意向量a，有a＋0＝0＋a＝a.
3．向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
注意点：
运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，连首尾”．
例1 如图所示，
(1)a＋b＝________；
(2)c＋d＝________；
(3)a＋b＋d＝________；
(4)c＋d＋e＝________.
答案 (1)c (2)f (3)f (4)g
反思感悟 向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，即
eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(A1A2,\s\up6(——→))＋……＋eq \(An－1An,\s\up6(——→))＝eq \(AAn,\s\up6(—→)).
跟踪训练1 如图是一个机器人手臂的示意图．该手臂分为三段，分别可用向量a，b，c代表．若用向量d代表整条手臂，则( )
A．|a|＋|b|＋|c|＝|d|
B．|a|＋|b|＝|c|＋|d|
C．a＋c＝d－b
D．a＋b＝c－d
答案 C
解析 根据题意得a＋b＋c＝d，所以a＋c＝d－b，a＋b＝d－c，
故|a|＋|b|＋|c|＝|d|，|a|＋|b|＝|c|＋|d|均不一定成立，
故C选项正确，A，B，D选项错误．
二、向量加法的平行四边形法则
问题3 图(1)表示橡皮条ME在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图(2)表示橡皮条ME在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度EO.从力学的观点分析，力F与F1，F2之间的关系如何？你能从这个问题出发，给出求解向量之和的另一种方法吗？
提示 F＝F1＋F2；平行四边形法则．
知识梳理
1.平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量eq \(AD,\s\up6(→))，因为eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，因此eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则．
2．从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的．
3．向量的加法运算满足交换律，即对于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋a.
注意点：
运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同．
例2 (1)如图①所示，求作向量a＋b；
(2)如图②所示，求作向量a＋b＋c.
图① 图②
解 (1)首先作向量eq \(OA,\s\up6(→))＝a，然后作向量eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b.如图③所示．
图③
(2)方法一 (三角形法则)如图④所示，
首先在平面内任取一点O，作向量eq \(OA,\s\up6(→))＝a，再作向量eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，然后作向量eq \(BC,\s\up6(→))＝c，则向量eq \(OC,\s\up6(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．

图④ 图⑤
方法二 (平行四边形法则)如图⑤所示，
首先在平面内任取一点O，作向量eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，
以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，
则eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，
则eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c即为所求．
反思感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
跟踪训练2 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量．
(1)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝__________；
(2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＝__________；
(3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＝__________.
答案 (1)eq \(OB,\s\up6(→)) (2)eq \(AD,\s\up6(→)) (3)0
解析 (1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→)).
(2)因为eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(FE,\s\up6(→))，故eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))方向相同，长度为eq \(BC,\s\up6(→))的长度的2倍，
故eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
(3)因为eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(FE,\s\up6(→))，故eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝0.
三、多个向量相加
问题4 我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法也满足交换律，是否也满足结合律呢？你能证明自己的猜想吗？
提示 借助下图，不难证明满足结合律．
知识梳理
加法结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
例3 化简：
(1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))；
(2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))；
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)).
解 (1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).
(2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))
＝(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝0.
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))
＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))
＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))
＝eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝0.
反思感悟 向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
跟踪训练3 已知正方形ABCD的边长等于1，则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))|＝________.
答案 2eq \r(2)
解析 |eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(2).
1．知识清单：
(1)向量加法的三角形法则．
(2)向量加法的平行四边形法则．
(3)向量加法的运算律．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点．
1．化简eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(DB,\s\up6(→)) B.eq \(CA,\s\up6(→)) C.eq \(CD,\s\up6(→)) D.eq \(DC,\s\up6(→))
答案 C
解析 根据平面向量的加法运算，得
eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→)).
2．正方形ABCD的边长为1，则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))|为( )
A．1 B.eq \r(2) C．3 D．2eq \r(2)
答案 B
解析 在正方形ABCD中，AB＝1，易知AC＝eq \r(2)，所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝AC＝eq \r(2).
3．(多选)下列等式不正确的是( )
A．a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b
B.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0
C.eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
答案 BD
解析 B错误，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0；D错误，当a，b方向相同时成立，故选BD.
4．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(CD,\s\up6(→)) B.eq \(DC,\s\up6(→)) C.eq \(DA,\s\up6(→)) D.eq \(DO,\s\up6(→))
答案 B
解析 eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→)).
5.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝________.
答案 0
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0.
1.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(BC,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→)) C.eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \(AM,\s\up6(→))
答案 C
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→)))＋(eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝(eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→)))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).
2．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行eq \r(3) km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋eq \r(3)) km
答案 B
解析 如图，易知tan α＝eq \f(\r(3),3)，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.
又|a＋b|＝2 km，故选B.
3.如图，在正六边形ABCDEF中，eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))等于( )
A．0 B.eq \(BE,\s\up6(→))
C.eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(CF,\s\up6(→))
答案 D
解析 eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(CF,\s\up6(→)).
4.如图所示，在▱ABCD中，eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(BD,\s\up6(→)) B.eq \(DB,\s\up6(→))
C.eq \(BC,\s\up6(→)) D.eq \(CB,\s\up6(→))
答案 C
解析 eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋(eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋0＝eq \(BC,\s\up6(→)).
5．若在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝eq \r(2)，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
答案 D
解析 由于|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|a|＝1，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|b|＝1，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|a＋b|＝eq \r(2)，所以△ABC为等腰直角三角形．
6．(多选)在▱ABCD中，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AC,\s\up6(→))＝c，eq \(BD,\s\up6(→))＝d，则下列等式中成立的是( )
A．a＋b＝c B．a＋d＝b
C．b＋d＝a D．|a＋b|＝|c|
答案 ABD
解析 由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故|a＋b|＝|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立．
7.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．则
(1)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝________；
(2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝________.
答案 (1)eq \(AD,\s\up6(→)) (2)0
8．在边长为1的等边三角形ABC中，|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|＝____，|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝________.
答案 1 eq \r(3)
解析 易知|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝1，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))|＝2|eq \(AB,\s\up6(→))|×sin 60°＝2×1×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).
9.如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
(1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))；
(2)eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))；
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)).
解 (1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＝eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→)).
(2)eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＝(eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→)).
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).
10．在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
解 作出图形，如图所示．
设船速v船与岸的方向成α角，
由图可知v水＋v船＝v实际，
结合已知条件，得四边形ABCD为平行四边形，
在Rt△ACD中，
|eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|v水|＝10 m/min，
|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|v船|＝20 m/min，
∴cs α＝eq \f(|\(CD,\s\up6(→))|,|\(AD,\s\up6(→))|)＝eq \f(10,20)＝eq \f(1,2)，
∴α＝60°，从而船行进的方向与水流方向成120°角．
∴船沿与水流方向成120°角的方向行进．
11．(多选)下列说法错误的有( )
A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同
B．若向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向与向量a的方向相同
C．若eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点
D．若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|－|b|
答案 ACD
解析 A错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；B正确，若a和b方向相同，则它们的和向量的方向应该与a(或b)的方向相同，若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和向量的方向与a的方向相同；C错，当A，B，C三点共线时，也满足eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0；D错，||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
12．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))，则下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
答案 D
解析
eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))，根据向量加法的平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外．
13.已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是( )
A.eq \(FD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→)) B.eq \(FD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝0
C.eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(EC,\s\up6(→)) D.eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(FD,\s\up6(→))
答案 D
解析 由向量加法的平行四边形法则可知，
eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DF,\s\up6(→))≠eq \(FD,\s\up6(→)).
14．已知点G是△ABC的重心，则eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝______.
答案 0
解析 如图所示，连接AG并延长交BC于点E，则点E为BC的中点，延长AE到点D，使GE＝ED，
则eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝eq \(GD,\s\up6(→))，eq \(GD,\s\up6(→))＋eq \(GA,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0.
15．设|a|＝2，e为单位向量，则|a＋e|的最大值为______．
答案 3
解析 在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝e，则a＋e＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))，
因为e为单位向量，
所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，
|eq \(OB,\s\up6(→))|即|a＋e|最大，最大值是3.
16.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝0.
证明 由题意知，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))，
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)).
由平面几何知识可知，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))
＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→)))＋(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)))
＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))
＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)))＋0
＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝0.区别
联系
三角形
法则
(1)首尾相接；
(2)适用于任何两个非零向量求和
当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边形法则
(1)共起点；
(2)仅适用于不共线的两个向量求和