高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系学案设计，共13页。学案主要包含了配方法求一元二次方程的解集，一元二次方程判别式的应用，一元二次方程根与系数的关系等内容，欢迎下载使用。

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系
学习目标　1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集.2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用.3.理解一元二次方程根与系数的关系．
导语
今天是小芳的生日，她的4个小伙伴约好为她举办一个生日晚会，邻居张叔叔路过晚会现场，想了解一下他们的年龄．小芳说：我是最小的，我们5个的年龄从小到大依次恰好相差1岁．小明说：我们中较大的两个人的年龄的平方和恰好等于较小的三个人的年龄的平方和．张叔叔说：“我们可以算出小芳的年龄了”．如果设小芳的年龄为x，那么列出的方程是怎样的？这类方程你见过吗？它有什么特点？
一、配方法求一元二次方程的解集
知识梳理
形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c为常数，且a≠0. 其中二次项是ax2，一次项是bx，c是常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
问题1　 对于方程x2－8x－20＝0，除了通过分解因式求解外，是否有其他的方法求解呢？
提示　可以通过配方法求解．方程x2－8x－20＝0可化为(x－4)2＝36，开方得x－4＝6或x－4＝－6，即x＝10或－2.
知识梳理
一元二次方程的解法
直接开平方法
形如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程，形如(x－k)2＝t(t<0)的方程，解集为∅
配方法
把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方化成(x－k)2＝t(t≥0)的形式，再用直接开平方法求解
因式
分解法
一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化成a(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1＝－m，x2＝－n

例1　用配方法求下列一元二次方程的解集：
(1)x2＋4x－1＝0；
(2)4x2＋8x＋1＝0.
解　 (1)∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1，
∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴(x＋2)2＝5，
∴x＝－2±，∴x1＝－2＋，x2＝－2－.
∴原一元二次方程的解集是{－2＋，－2－}．
(2)移项，得4x2＋8x＝－1.
二次项系数化为1，得x2＋2x＝－，
配方，得x2＋2x＋12＝12－，即(x＋1)2＝.
∴x＋1＝±.
∴x1＝－1＋，x2＝－1－，
∴原一元二次方程的解集是.
反思感悟　用配方法解一元二次方程的步骤
(1)移项：把常数项移到方程的右边；
(2)二次项系数化为1，即方程两边都除以二次项系数；
(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式；
(4)开方：方程两边同时开方(直接开平方法)，目的是为了降次，得到一元一次方程；
(5)得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
跟踪训练1　用配方法解方程2x2－5＋x＝0.
解　移项，得2x2＋x＝5.
二次项系数化为1，得x2＋x＝.
配方，得x2＋x＋2＝＋2.
∴2＝.
∴x＋＝±.
∴x1＝，x2＝，
∴原一元二次方程的解集是.
二、一元二次方程判别式的应用
问题2　应用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你会有怎样的发现呢？
提示　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)可化为2＝，所以当b2－4ac≥0时，开方得x＝.
问题3　b2－4ac>0，b2－4ac＝0，b2－4ac<0对方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)解的个数有怎样的影响呢？
提示　当b2－4ac>0时，与不等，方程有两个不等实根；当b2－4ac＝0时，两根相等，方程有两等根；当b2－4ac<0时，方程无实根．
知识梳理
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b2－4ac≥0，利用求根公式x＝求解．
2．式子Δ＝b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．
判别式与根的情况为：
Δ＝b2－4ac
根的情况
b2－4ac>0
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，方程的解集为
b2－4ac＝0
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，方程的解集为
b2－4ac<0
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根，方程的解集为∅

例2　已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的取值范围．
(1)方程有两个不相等的实数根；
(2)方程有两个相等的实数根．
解　Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)．
(1)因为方程有两个不相等的实数根，
所以Δ>0，即4(1－3k)>0，所以k<.
(2)因为方程有两个相等的实数根，
所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，
所以k＝.
反思感悟　一元二次方程的根的情况分为“无实数根”“有两个相等的实数根”“有两个不相等的实数根”三种情况，注意与判别式的对应关系．
跟踪训练2　试证明：不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根．
证明　∵Δ＝[－(4m－1)]2－4×2×(－m2－m)＝24m2＋1>0，
∴不论m为何值时，方程2x2－(4m－1)x－m2－m＝0总有两个不相等的实数根．

三、一元二次方程根与系数的关系
问题4　当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根时，你能找到两根之和、两根之积与方程系数的关系吗？
提示　由x1＝，x2＝知，x1＋x2＝＋＝－，x1x2＝×＝.
知识梳理
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
注意点：
一元二次方程根与系数的关系成立的前提是方程有实根，即b2－4ac≥0.
例3　已知一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，求下列各式的值：
(1)x＋x；
(2)|x1－x2|(x1＋x2)．
解　由一元二次方程根与系数的关系，得
x1＋x2＝－2，x1x2＝－1.
(1)x＋x＝(x1＋x2)(x－x1x2＋x)
＝(－2)[(x1＋x2)2－3x1x2]
＝(－2)[(－2)2－3×(－1)]＝－14.
(2)因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝(－2)2－4×(－1)＝8.
所以|x1－x2|＝＝2，
所以|x1－x2|(x1＋x2)＝2×(－2)＝－4.
延伸探究　本例方程改为“x2＋2x－3＝0”，则结果如何？
解　x2＋2x－3＝0可化为(x＋3)(x－1)＝0，
∴x1＝－3，x2＝1.
分别代入(1)(2)可得(1)x＋x＝－27＋1＝－26.
(2)|x1－x2|(x1＋x2)＝4×(－2)＝－8.
反思感悟　在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．
跟踪训练3　已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系求：
(1)x＋x；(2)＋.
解　根据一元二次方程根与系数的关系，
得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1.
(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×(－1)＝11.
(2)＋＝＝＝3.

1．知识清单：
(1)配方法求一元二次方程的解集．
(2)一元二次方程判别式的应用．
(3)一元二次方程根与系数的关系．
2．方法归纳：配方法、公式法．
3．常见误区：忽视对二次项系数的讨论．

1．用配方法解下列方程时，配方有错误的是(　　)
A．x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100
B．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25
C．2t2－7t－4＝0化为2＝
D．3y2－4y－2＝0化为2＝
答案　B
解析　x2＋8x＋9＝0配方应为(x＋4)2＝7.
2．方程2(x－3)＝3x(x－3)的解集为(　　)
A. B. C．{3} D．{0,3}
答案　A
解析　2(x－3)＝3x(x－3)，
移项得2(x－3)－3x(x－3)＝0，
整理得(x－3)(2－3x)＝0，
x－3＝0或2－3x＝0，
解得x＝3或x＝.
3．已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是(　　)
A．3 B．1 C．－1 D．－3
答案　B
解析　∵α，β是方程x2＋x－2＝0的两个实数根，
∴α＋β＝－1，αβ＝－2，∴α＋β－αβ＝－1＋2＝1，故选B.
4．关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，则m的值为________．
答案　2
解析　∵关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝0，即22－4(m－1)＝0，
解得m＝2.
5．关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两个实数根为负，则实数m的取值范围是________．
答案　
解析　设方程的两个实数根为x1，x2，
则x1<0，x2<0，
∴
∴0≤m<.


1．(多选)用配方法解下列方程，配方不正确的是(　　)
A．2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝4
B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8
C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16
D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4
答案　ABC
解析　A项，2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝3，故选项错误；
B项，x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝10，故选项错误；
C项，x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝25，故选项错误；
D项，x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4，故选项正确．
2．已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为(　　)
A．5 B．－1 C．2 D．－5
答案　B
解析　设方程的另一个根为x0，
则－2＋x0＝－3，
即x0＝－1.
3．(多选)关于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下说法正确的是(　　)
A．当m＝0时，方程只有一个实数根
B．当m＝1时，方程有两个相等的实数根
C．当m＝－1时，方程没有实数根
D．当m＝2时，方程有两个不相等的实数根
答案　AB
解析　当m＝0时，方程化为－4x＋5＝0，
解得x＝，
此时方程只有一个实数根，A正确；
当m＝1时，方程化为x2－4x＋4＝0，
因为Δ＝(－4)2－4×1×4＝0，
所以此时方程有两个相等的实数根，B正确；
当m＝－1时，
方程化为－x2－4x＋6＝0，即x2＋4x－6＝0，
因为Δ＝42－4×1×(－6)＝40>0，
所以此时方程有两个不相等的实数根，C错误；
当m＝2时，方程化为2x2－4x＋3＝0，
因为Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，
所以此时方程无实数根，D错误．
4．已知关于x的一元二次方程2x2－kx＋3＝0的解集中只有一个元素，则k的值为(　　)
A．±2 B．±
C．－2或3 D．2或－3
答案　A
解析　∵a＝2，b＝－k，c＝3，
∴Δ＝b2－4ac＝k2－4×2×3＝k2－24，
∵方程的解集中只有一个元素，
∴Δ＝k2－24＝0，
解得k＝±2.
5．已知x1，x2是关于x的方程x2＋4x－5＝0的两根，那么|x－x|的值为(　　)
A．26 B．126
C．24 D．124
答案　B
解析　x2＋4x－5＝0可化为(x＋5)(x－1)＝0，
∴x1＝－5，x2＝1，
∴|x－x|＝126.
6．将方程x2－2x＝3化为(x－m)2＝n的形式，则m＝________，n＝________.
答案　1　4
解析　 x2－2x＝3，
配方得x2－2x＋1＝4，
即(x－1)2＝4，
∴m＝1，n＝4.
7．若关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两根异号，则实数m的取值范围是________．
答案　(0，＋∞)
解析　设方程的两个实数根为x1，x2，则
∴m>0，∴m∈(0，＋∞)．
8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x－x＝10，则a＝________.
答案　
解析　由题意知x1＋x2＝5，x1x2＝a.
因为x－x＝(x1＋x2)(x1－x2)＝10，
所以x1－x2＝2，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝25－4a＝4，
所以a＝.
9．求下列方程的解集．
(1)x4－3x2＋2＝0；
(2)x＋2－1＝0；
(3)(x2－x)2－(x2－x)－2＝0.
解　(1)令y＝x2≥0，
得y2－3y＋2＝0，
∴y＝1或y＝2，
即x2＝1或x2＝2，
∴x＝±1或x＝±.
∴原方程的解集为{－，－1,1，}．
(2)令y＝≥0，
得y2＋2y－1＝0，
∴y＝－1＋或y＝－1－(舍)．
从而＝－1＋，
即x＝3－2，
∴原方程的解集为{3－2}．
(3)令x2－x＝t，得t2－t－2＝0，
∴t＝－1或t＝2，
即x2－x＋1＝0，①
或x2－x－2＝0，②
对①，Δ＝－3<0，无实数解；
对②，易得x＝－1或x＝2，故原方程的解集为{－1,2}．
10．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0.
(1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值．
解　(1)根据题意得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－2)≥0，
解得m≥－，
∴m的最小整数值为－2.
(2)根据题意得x1＋x2＝－(2m＋1)，
x1x2＝m2－2，
∵(x1－x2)2＋m2＝21，
∴(x1＋x2)2－4x1x2＋m2＝21，
∴(2m＋1)2－4(m2－2)＋m2＝21，
整理得m2＋4m－12＝0，
即m2＋4m＋4＝16，∴(m＋2)2＝16，
解得m1＝2，m2＝－6，
∵m≥－，∴m的值为2.



11．若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两根，则＋的值是(　　)
A. B．－
C．－ D.
答案　C
解析　∵α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两根，
∴α＋β＝－，αβ＝－3，
∴＋＝＝
＝＝－.
12．已知关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，则关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是(　　)
A．{1,3} B．{－1,3}
C. {2,3} D．{3}
答案　B
解析　∵关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，
∴方程m(x＋a－2)2＋n＝0可变形为
m[(x－2)＋a]2＋n＝0，
此方程中x－2＝－3或x－2＝1，解得x＝－1或x＝3.
∴关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是{－1,3}．
13．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝________.
答案　6
解析　∵(x◆2)－5＝x2＋2x＋4－5＝x2＋2x－1，
∴m，n为方程x2＋2x－1＝0的两个根，
∴m＋n＝－2，mn＝－1，∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝6.
14．已知(x2＋y2＋1)(x2＋y2－3)＝5，则x2＋y2＝______.
答案　4
解析　令t＝x2＋y2≥0，
则原方程可化为(t＋1)(t－3)＝5，
即t2－2t－8＝0.∴t＝4或t＝－2(舍去)，故x2＋y2＝4.

15．已知x1，x2是关于x的方程x2－m2x＋n＝0的两个实数根，y1，y2是关于y的方程y2－3my＋6＝0的两个实数根，其中m，n是常数，且x1＋y1＝x2＋y2＝2，则8m＋n＝________.
答案　2
解析　因为y1，y2是关于y的方程y2－3my＋6＝0的两个实数根，
所以
解得m≤－或m≥，
因为x1，x2是关于x的方程x2－m2x＋n＝0的两个实数根，
所以
因为x1＋y1＝x2＋y2＝2，
所以x1＋x2＋y1＋y2＝2＋2＝4，
所以m2＋3m＝4，解得m＝－4或m＝1(舍去)，
所以n＝x1x2＝(2－y1)(2－y2)
＝4－2(y1＋y2)＋y1y2
＝4－2×3×(－4)＋6＝34，
所以8m＋n＝8×(－4)＋34＝2.
16．已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．
(1)是否存在a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．
解　由题意知
∴a≥0且a≠6.
由根与系数的关系，得
(1)若－x1＋x1x2＝4＋x2，
则x1＋x2＋4＝x1x2，
即4－＝，
∴a＝24.
故满足条件的a存在，且a＝24.
(2)∵(x1＋1)(x2＋1)＝(x1＋x2)＋x1x2＋1
＝－＋1
＝－为负整数，
∴a可取的整数为7,8,9,12.