高中数学2.2.1 不等式及其性质第1课时学案

这是一份高中数学2.2.1 不等式及其性质第1课时学案，共14页。学案主要包含了作差法比较大小，利用不等式的性质判断或证明，利用不等式的性质求取值范围等内容，欢迎下载使用。
第1课时 不等式及其性质
学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.学会用作差法比较两实数(代数式)的大小.3.掌握不等式的性质，并能运用这些性质解决有关问题．
导语
大家知道，相等关系与不等关系是数学中、也是日常生活中最基本的关系．比如说：长与短、远与近的比较；比如说：同学们之间高与矮、轻与重的比较；比如说：国家人口的多少、面积的大小的比较；正所谓：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．
一、作差法比较大小
问题1 生活中，我们经常看到下列标志，你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？
提示 ①最低限速50 km/h，v≥50；②限制质量10 t，00，b>0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？
解 (a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3
＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)
＝(a2－b2)(a3－b3)
＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)．
∵a>0，b>0，
∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0.
∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3.
2．对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？
解 若a>0，b>0，n>r，n，r∈N＋，则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr.
反思感悟 作差法比较大小的四个步骤
跟踪训练1 (1)下列不等式，正确的个数为( )
①x2＋3>2x(x∈R)；②a3＋b3≥a2b＋ab2；③a2＋b2≥2(a－b－1)．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ①∵x2＋3－2x＝(x－1)2＋2>0，∴x2＋3>2x；
②a3＋b3－a2b－ab2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)＝(a＋b)(a－b)2，
∵(a－b)2≥0，但a＋b的符号不能确定，
∴②不一定正确；
③a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)．故①③正确，选C.
(2)若x∈R，则eq \f(x,1＋x2)与eq \f(1,2)的大小关系为__________________．
答案 eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2)
解析 ∵eq \f(x,1＋x2)－eq \f(1,2)＝eq \f(2x－1－x2,21＋x2)＝eq \f(－x－12,21＋x2)≤0.
∴eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2).
二、利用不等式的性质判断或证明
问题4 你能根据下列等式的性质，类比出不等式的性质吗？
(1)如果a＝b，那么b＝a；
(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3)如果a＝b，那么a＋c＝b＋c；
(4)如果a＝b，那么ac＝bc.
提示 (1)如果a>b，那么bb，b>c，那么a>c；
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c；(4)如果a>b，若c>0，那么ac>bc，若cb＋c
答案 C
解析 由于b0，求证：eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b).
证明 a>b>0⇒－a0，所以00.
又因为a>b>0，所以eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b).
反思感悟 利用不等式的性质解决问题的注意点
(1)在解决选择题时，可利用特殊值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算．
(2)应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立条件，不可省略条件或跳步推导．
跟踪训练2 (1)(多选)下列命题正确的是( )
A．eq \f(c,a)0⇒a>b
B．a>b且c>d⇒ac>bd
C．a>b>0且c>d>0⇒eq \r(\f(a,d))>eq \r(\f(b,c))
D．eq \f(a,c2)>eq \f(b,c2)⇒a>b
答案 CD
解析 A中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)0))⇒eq \f(1,a)b，错误；
B中，当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立，错误；
C中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>b>0，,c>d>0))⇒eq \f(a,d)>eq \f(b,c)>0⇒eq \r(\f(a,d))>eq \r(\f(b,c))成立，正确；
D中，显然c2>0，
∴两边同乘以c2得a>b，正确．
(2)已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )
A．若a>b，c>b，则a>c
B．若a>－b，则c－ab，ceq \f(b,d)
D．若a2>b2，则－ab>0，c0时才成立，否则如a＝－2，b＝－1时不成立，故选B.
三、利用不等式的性质求取值范围
例3 已知－1