数学必修 第一册3.1.2 函数的单调性教学课件ppt

这是一份数学必修 第一册3.1.2 函数的单调性教学课件ppt，共58页。PPT课件主要包含了反思感悟，二次函数最值问题，随堂演练，∵0≤m≤4，或－1，课时对点练，在R上为增函数等内容，欢迎下载使用。

二次函数的单调性和最值问题在考题中经常出现，由于二次函数的参变量取不同的值时，可引起函数性质的变化，因此分类讨论思想在研究此类问题时是很常见的.二次函数的单调性问题与最值问题，均与二次函数的开口方向、对称轴有关，求解时要注意利用二次函数的图像，通过直观想象，进行分类讨论.
已知二次函数单调性求参数
如果f(x)＝ax2－(2－a)x＋1在区间 上为减函数，则a的取值范围是A.(0,1] B.[0,1)C.[0,1] D.(0,1)
由题意，当a＝0时，可得f(x)＝－2x＋1，在R上单调递减，满足题意；当a<0时，显然不成立；
∴0解决二次函数单调性问题的关键是数形结合思想，重点研究二次函数的开口方向和对称轴，结合图像求解.解题时应注意所给条件是“在某区间上单调”还是“单调区间为某区间”.
若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，则实数k的取值范围为A.[2，＋∞) B.(2，＋∞)C.(－∞，0) D.(－∞，2)
综上可得，实数k的取值范围是[2，＋∞).
已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最小值.
命题角度1　轴定区间动
由题意得，函数f(x)的对称轴为x＝1，(1)当1≥t＋2，即t≤－1时，f(x)在[t，t＋2]上为减函数，∴f(x)的最小值为f(t＋2)＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.(2)当t≤11时，f(x)在[t，t＋2]上为增函数，∴f(x)的最小值为f(t)＝t2－2t－3.
求函数y＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值.
命题角度2　轴动区间定
即－2≤a≤2，a<－2和a>2这三种情形讨论，图像如下图所示.
图①　　　 图②　　　 图③
(1)当a<－2时，由图①可知f(x)max＝f(－1).
(3)当a>2时，由图③可知f(x)max＝f(1).
求函数y＝－x(x－a)在x∈[－1，a]上的最大值.
命题角度3　轴动区间动
二次函数的最值主要有三种类型：轴动区间动、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图像的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图像的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
(1)设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，则函数的最小值g(a)＝__________________.
∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，当－2(2)已知y2＝4a(x－a)(a>0)，求u＝(x－3)2＋y2的最小值.
因为y2＝4a(x－a)≥0且a>0，所以x≥a.将y2＝4a(x－a)代入u中，得u＝(x－3)2＋4a(x－a)＝[x－(3－2a)]2＋12a－8a2，x∈[a，＋∞)，①当3－2a≥a，即01时，u(x)min＝u(a)＝(a－3)2，
1.知识清单： (1)二次函数单调性问题. (2)二次函数求最值的三种情形.2.方法归纳：分类讨论、数形结合.3.常见误区：分类讨论分类不清；二次项系数没讨论.
1.函数f(x)＝x2－2x＋t(t为常数，且t∈R)在[－2,3]上的最大值是A.t－1 B.t＋6C.t＋8 D.t＋3
由f(x)＝x2－2x＋t＝(x－1)2＋t－1(t为常数，且t∈R)，得f(x)在[－2,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，又f(－2)＝8＋t, f(3)＝3＋t<8＋t，∴f(x)max＝f(－2)＝8＋t.
2.二次函数f(x)＝ax2＋2x－1在区间(－∞，1)上单调递增的一个充分不必要条件为A.a>1 B.a<－2C.－ 3.函数f(x)＝x2－4x－6的定义域为[0，m]，值域为[－10，－6]，则m的取值范围是A.[0,4]　　　B.[2,4]　　　C.[2,6]　　　D.[4,6]
函数f(x)＝x2－4x－6的图像是开口向上，且以直线x＝2为对称轴的抛物线，故f(0)＝f(4)＝－6，f(2)＝－10.∵函数f(x)＝x2－4x－6的定义域为[0，m]，值域为[－10，－6]，∴2≤m≤4，即m的取值范围是[2,4].
4.已知函数f(x)＝－2x2＋mx＋3(0≤m≤4,0≤x≤1)的最大值为4，则m的值为_______.
5.已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，则a的值为________.
f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，当a>1时，ymax＝a；当0≤a≤1时，ymax＝a2－a＋1；当a<0时，ymax＝1－a.
解得a＝2或a＝－1.
1.函数f(x)＝2x2－mx＋3，在(－∞，－2]上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，则f(1)等于A.－3 D.不能确定
所以m＝－8，f(x)＝2x2＋8x＋3，f(1)＝13.
2.已知函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是A.a≤2或a≥3 B.2≤a≤3C.a≤－3或a≥－2 D.－3≤a≤－2
二次函数y＝x2－2ax＋1的图像开口向上，对称轴为x＝a，要使得二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则对称轴不在(2,3)内部即可，即a≤2或a≥3.
3.函数f(x)＝kx2＋(3k－2)x－5在[1，＋∞]上单调递增，则k的取值范围是
4.已知二次函数f(x)＝x2－2x－4在区间[－2，a]上的最小值为－5，最大值为4，则实数a的取值范围是A.(－2,1) B.(－2,4]C.[1,4] D.[1，＋∞)
∵f(x)＝x2－2x－4＝(x－1)2－5，∴f(x)min＝f(1)＝－5，又由题知，f(x)max＝4，即x2－2x－4＝4，解得x＝－2或x＝4，∴作出f(x)的大致图像如图所示.由题意及图像可知，1≤a≤4.
5.设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是A.(－∞，0] B.[2，＋∞)C.(－∞，0]∪[2，＋∞) D.[0,2]
∵f(x)的对称轴为x＝1，∴f(0)＝f(2)，∵f(x)在区间[0,1]上单调递减，∴f(x)在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∵f(m)≤f(0)，∴0≤m≤2.
6.函数f(x)＝x(|x|－2)在[m，n]上的最小值为－1，最大值为1，则n－m的最大值为_________.
函数f(x)＝x(|x|－2)，当x≥0时，f(x)＝x2－2x；当x<0时，f(x)＝－2x－x2.作出y＝f(x)的图像，如图所示，
7.已知函数f(x)＝x2－2x，x∈[a，b]的值域为[－1,3]，则b－a的取值范围是________.
f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为x∈[a，b]的值域为[－1,3]，所以当a＝－1时，1≤b≤3；当b＝3时，－1≤a≤1，所以b－a∈[2,4].
8.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，则每天可销售100件.现准备采用提高售价的方法来增加利润，已知这种商品每件的售价每提高1元，每天的销量就要减少10件.要使该商场每天销售该商品所得的利润最大，则该商品每件的售价为_____元.
设该商品每件的售价为x元，则每件商品售出所获利润为(x－8)元，销售量为[100－10(x－10)]件，商场每天销售该商品所得的利润y＝(x－8)[100－10(x－10)]＝－10x2＋280x－1 600＝－10(x－14)2＋360，当x＝14时，ymax＝360，所以该商品每件的售价为14元.
9.已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，求实数a的值.
f(x)＝a(x＋1)2＋1－a，x∈[－3,2]，(1)若a＝0，f(x)＝1，不符合题意；
(3)若a<0，则f(x)max＝f(－1)＝1－a，由1－a＝4，得a＝－3.
10.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.(1)求函数f(x)的解析式；
由题意得，f(0)＝c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－ax2－bx－c＝2ax＋a＋b＝2x－1，所以2a＝2，a＋b＝－1，解得a＝1，b＝－2，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x＋2.
(2)若函数g(x)＝f(x)－mx在区间[－1,2]上是单调函数，求实数m的取值范围.
要想函数g(x)＝f(x)－mx在区间[－1,2]上是单调函数，
故实数m的取值范围是(－∞，－4]∪[2，＋∞).
解得1≤b≤2，∴实数b的取值范围是[1,2].
12.已知在(－∞，1]上单调递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是
由于f(x)＝x2－2tx＋1的图像的对称轴为x＝t，又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以t≥1.则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，
13.已知函数f(x)＝x2－2mx(m>0)满足：∀x∈[0,2]，f(x)≥－8；∃x0∈[0,2]，f(x0)＝－8，则m的值为_____.
因为函数f(x)＝x2－2mx(m>0)满足：∀x∈[0,2]，f(x)≥－8，∃x0∈[0,2]，f(x0)＝－8，即函数f(x)＝x2－2mx(m>0)在[0,2]上的最小值为－8，因为f(x)＝(x－m)2－m2，对称轴是直线x＝m，开口向上，当014.函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)，则g(t)的最小值为________.
f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；当t＋1<2，即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
g(t)的大致图像如图所示，
由图像易知g(t)的最小值为－8.
15.若函数f(x)＝x2＋(2m＋3)|x|＋1的定义域被分成了四个单调区间，则实数m的取值范围是
所以若f(x)有四个单调区间，则其大致图像应如图所示，
16.已知函数f(x)＝－ ＋x在区间[m，n]上的值域是[3m,3n]，求m，n的值.
解得m＝－4，n＝0.