高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.3 函数的应用(一)导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.3 函数的应用(一)导学案，共14页。学案主要包含了一次函数模型的应用，二次函数模型的应用，分段函数模型的应用等内容，欢迎下载使用。
导语
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件，于是商场经理决定每件衬衫降价15元，那么经理的决定正确吗？
要解决这个问题需要用数学模型来刻画，那么我们学过哪些常见的数学模型呢？如何建立函数模型呢？
知识梳理
几种常见的函数模型
应用函数模型解决问题的基本过程
(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型．
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型．
(4)还原——将数学结论还原为实际问题．
一、一次函数模型的应用
例1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出
400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，则报刊亭摊主应该每天从报社买进________份报纸，才能使每月所获利润最大．
答案 400
解析 设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸，
每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份，
每月退回报社报纸共10×(x－250)份．
依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．
即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，
化简得y＝1.6x＋800，
其中250≤x≤400，
因为此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6>0，
所以该函数为增函数，再由250≤x≤400知，
当x＝400时，y取得最大值，
此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)．
所以每天买进400份可使每月所获利润最大，获利1 440元．
反思感悟 一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图像是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
跟踪训练1 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李．若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图像如图所示．
(1)根据图像数据，求y与x之间的函数关系式；
(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？
解 (1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．
由图像可知，当x＝60时，y＝6；
当x＝80时，y＝10.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60k＋b＝6，,80k＋b＝10.))解得k＝eq \f(1,5)，b＝－6.
所以y与x之间的函数关系式为
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x－6，x>30，,0，x≤30.))
(2)根据题意，当y＝0时，x≤30.
所以旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.
二、二次函数模型的应用
例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解 (1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，
化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．
(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱的销售利润．
所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．
(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3(x－60)2＋1 200，
所以当x0，则0