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    新教材人教B版步步高学习笔记【同步课件】第二章 2.2.4 第1课时 均值不等式

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    高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用教课ppt课件

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    这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用教课ppt课件,共60页。PPT课件主要包含了对均值不等式的理解,方法二分析法,知识梳理,a=b,正方形,注意点,反思感悟,利用均值不等式求最值,∵x0,∴1-3x0等内容,欢迎下载使用。
    1.掌握均值不等式及其推导过程.
    2.理解均值不等式的几何意义.
    3.能初步运用均值不等式证明不等式和求最值.
    从前有个金店的天平坏了,天平的两臂长短不相等,店主不想购置新的天平,又怕别人说他缺斤少两,于是他想出一个办法:先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中,右边托盘中加砝码得到一个读数,再把黄金放入右边的托盘中,在左边托盘加砝码得到第二个读数,然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗?要解决这个问题,我们一起进入今天的课堂吧!
    问题1 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的关系吗?
    故正方形的面积为a2+b2,而四个直角三角形的面积为2ab,故有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.实际上该不等式对任意的实数a,b都能成立.
    问题3 上述不等式是在a2+b2≥2ab(a,b∈R)的基础上转化出来的,是否对所有的a>0,b>0都能成立?请给出证明.
    提示 方法一 (作差法)
    方法三 (几何法)如图所示,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD,故有△ACD∽△DCB,
    由此也可以得出圆的半径不小于半弦.
    问题4 探索均值不等式的几何意义.
    (2)均值不等式的实质是:两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值.
    下列命题中正确的是
    (1)不等式成立的条件:a,b都是正数.(2)“当且仅当”的含义:
    (多选)下列结论不正确的是
    命题角度1 直接求最值
    ∵x0.
    在利用均值不等式求最值时要注意三点一是各项均为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值;三是考虑等号成立的条件是否具备.
    (1)已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)·(1+y)的最大值为A.16 B.25C.9 D.36
    因为x>0,y>0,且x+y=8,
    当且仅当x=y=4时,等号成立,(1+x)(1+y)取得最大值25.
    当x0,
    命题角度2 拼凑法求最值
    因为x>2,所以x-2>0,
    即x=4时,等号成立.
    因为x0,
    即x=0时,等号成立.
    通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略(1)拼凑的技巧,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.
    ∵x>-1,∴x+1>0,
    利用均值不等式证明不等式
    ∵a,b,c都是正数,
    当且仅当a=b=c时,等号成立.
    利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.
    (2)注意事项:①多次使用均值不等式时,要注意等号能否成立;②累加法是不等式证明中的一种常用方法;③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合,形成均值不等式模型.
    已知a,b,c都是正实数,求证:(a+b)·(b+c)·(c+a)≥8abc.
    ∵a,b,c都是正实数,
    即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc,当且仅当a=b=c时,等号成立.
    1.知识清单: (1) (a,b都是正数). (2)利用均值不等式求最值. (3)利用均值不等式证明.2.方法归纳:拼凑法.3.常见误区:忽视a,b都是正数的条件,忽视等号成立的条件;多次使用 均值不等式忽略等号同时成立的条件.
    1.设t=a+2b,s=a+b2+1,则t与s的大小关系是A.s≥t B.s>tC.s≤t D.s2)中等号成立的条件是A.x=3 B.x=-3C.x=5 D.x=-5
    即x=5(x=-1舍去).
    3.(多选)下列不等式成立的是
    a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,
    由均值不等式可知C是其变形,故C正确.
    即x=1时,等号成立.故当x=1时,y的最大值为1.
    1.若a>b>0,则下列不等式成立的是
    ∵a>1,∴a-1>0,
    A.3   B.-3   C.4   D.-4
    ∵x>1,∴x-1>0,
    即(x-1)2=1时,等号成立,∴当x=2时,y的最小值为4.
    5.(多选)已知a>0,b>0,则下列不等式中正确的是
    由a2+b2≥2ab知B,C正确,
    ∴x20,y>0,∴xb>c,∴a-b>0,b-c>0,
    当且仅当a-b=b-c,即a+c=2b时,等号成立.
    9.已知a,b,c∈R,求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
    由均值不等式可得a4+b4=(a2)2+(b2)2≥2a2b2,同理,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2a2c2,∴(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)≥2a2b2+2b2c2+2a2c2,从而a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,当且仅当a2=b2=c2时等号成立.
    因为x0.
    即x=1时,等号成立.
    11.(多选)一个矩形的周长为l,面积为S,则下列四组数对中,可作为数对(S,l)的有
    设矩形的长和宽分别为x,y,
    对于(1,4),则x+y=2,xy=1,
    对于(6,8),则x+y=4,xy=6,
    对于(7,12),则x+y=6,xy=7,
    13.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a=8,b+c=10,则此三角形面积的最大值为______.
    当且仅当b=c=5时,等号成立.故该三角形面积的最大值为12.
    14.某工厂第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,则这两年的平均增长率x与增长率的平均值 的大小关系为________.
    用两种方法求出第三年的产量分别为A(1+a)(1+b),A(1+x)2,则有(1+x)2=(1+a)(1+b).
    当且仅当a=b时,等号成立.
    15.(多选)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,
    也称之为无字证明.现有图形如图所示,C为线段AB上的点,且AC=a,BC=b,O为AB的中点,以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D,连接OD,AD,BD,过点C作OD的垂线,垂足为E,则该图形可以完成的所有的无字证明为
    由Rt△CDE∽Rt△ODC可知CD2=DE·OD,
    (1)求a2+b2的最小值;
    所以a2+b2的最小值为1.

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