数学2.2.4 均值不等式及其应用教学课件ppt

这是一份数学2.2.4 均值不等式及其应用教学课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了知识梳理，用均值不等式求最值，x＝y，注意点，反思感悟，均值不等式的综合应用，mm－10，随堂演练，∵x0y0，∴2xy≤1等内容，欢迎下载使用。
1.熟练掌握均值不等式及其变形的应用.
2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.
3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题.
相等与不等关系经常会涉及最大值、最小值问题，而均值不等式可以解决变化中的最值问题，那么在什么条件下可以应用均值不等式来求最值呢？这节课我们就一起来探究一下这个问题.
利用均值不等式变形求最值
问题1　若两个正数的和为8，那么这两个正数分别是多少时，其积最大？
问题2　若两个正数的积为16，那么这两个正数分别是多少时，其和最小？
1.口诀：和定积最大，积定和最小.2.应用均值不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正二定三相等.
故当x＝12，y＝3时，x＋2y的最小值为18.
即y＝3，x＝12时，等号成立，x＋2y的最小值为18.
利用均值不等式的变形求最值的策略(1)应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用均值不等式以及使等号成立的条件.(2)特别注意“1”的代换.
设x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值.
方法一　由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.
∴x＋y的最小值是18.
方法二　由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，
均值不等式在实际问题中的应用
“足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q＝ (其中推广促销费不能超过3万元).已知加工此批农产品还要投入成本 万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为 元/件.那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)
设该批产品的利润为y万元，
∴当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元.
利用均值不等式解决实际问题的步骤先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).
为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成.若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元.追加投入的费用按以下关系计算： 千元，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天完工，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)
设城建公司获得的附加效益为y千元，
所以提前11天完工，能使公司获得最大附加效益.
不等式9x＋ ≥a＋1(常数a>0)，对一切正实数x成立，求a的取值范围.
(1)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)的最小值.(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)的最大值.注意：f(x)表示关于x的代数式.
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，
(2)已知不等式2x＋m＋ >0对任意的x>1恒成立，则实数m的取值范围为____________.
∵x>1，∴x－1>0，
∴m>－10，∴实数m的取值范围为{m|m>－10}.
1.知识清单： (1)已知x，y是正数，“和定积最大，积定和最小”. (2)求解应用题的方法与步骤. ①审题，②建模(列式)，③求解，④作答. (3)均值不等式的综合应用.2.方法归纳：常数代换法.3.常见误区：缺少等号成立的条件.
2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是A.6.5 m　　　B.6.8 m　　　C.7 m　　　D.7.2 m
∵要求够用且浪费最少.∴选用7 m的铁丝.
3.已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为______.
因为x>0，y>0,2x＋3y＝6，
1.(多选)下列求最值的运算中，运算方法错误的有
对于A中，根据均值不等式，可判定是正确的；
对于D中，两次均值不等式的等号成立条件不相同，第一次是x＝4y，第二次是x＝y，所以D不正确.
2.若对于任意x>1，　　 ≥a恒成立，则a的最大值是A.4　　　B.6　　　C.8　　　D.10
即x＝3时，“＝”成立，∴a≤6.则a的最大值是6.
3.(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a0，b>0， ，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为A.8　　　B.7　　　C.6　　　D.5
∴9m≤54，即m≤6.∴m的最大值为6.
5.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站A.5千米处 B.4千米处C.3千米处 D.2千米处
设仓库与车站的距离为d千米，
∴k1＝20，k2＝0.8，
即d＝5时，等号成立.
6.若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是___________.
∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号.
7.若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0，＋∞)恒成立，则a的取值范围是___________.
8.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝　 　，则经过____ h后池水中该药品的浓度达到最大，最大浓度是____mg·L－1.
所以经过2 h后池水中该药品的浓度达到最大，最大浓度为5 mg·L－1
＝10＋2×3＝16，
即b＝3a时等号成立.
∴a＝4，b＝12.这两个数分别是4,12.
10.如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
设每间虎笼长x m，宽y m，则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
当且仅当2x＝3y时，等号成立.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.
∵01，∴a－1>0，∵a＋b＝2，∴(a－1)＋b＝1.
12.若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是
由x2＋3xy－1＝0，
13.如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是______dm2.
四周空白部分的面积是y dm2.
即x＝12时等号成立.
14.如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为_______(单位：cm2)，此时矩形的长、宽比是________.
如图所示，连接OC，设OB＝x(0c，知a－b>0，b－c>0，a－c>0.