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高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系课堂教学课件ppt
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系课堂教学课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了函数零点存在定理，知识梳理，连续不断，fafb0，fx0＝0，注意点，反思感悟，二分法，不断的，检查b－a≤2ε等内容，欢迎下载使用。
1.掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数.
2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握用二分法求函数零点近似解的步骤.
3.理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题.
路边有一条河，小明从A点走到了B点，观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？
(1) (2)
你能把这个实际问题抽象成数学模型吗？
问题1 探究函数f(x)＝2x－1的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况，并说明函数图像在零点附近有什么变化规律？函数f(x)＝x2＋4x－5呢？
函数f(x)＝x2＋4x－5的零点为－5,1，－5∈(－6，－4)，1∈(0,2)，且有f(－6)·f(－4)<0，f(0)f(2)<0，且以上函数在零点附近的图像都是连续的.
函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是 的，并且__________(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)， .
(1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0；(2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件；(3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点.
函数f(x)＝x3＋x－5的零点所在区间为A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)
由函数f(x)＝x3＋x－5，可得f(1)＝1＋1－5＝－3<0，f(2)＝8＋2－5＝5>0，故有f(1)f(2)<0，根据函数零点存在定理可得，函数f(x)的零点所在区间为(1,2).
判断函数零点所在区间的方法判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，若连续，看是否存在f(a)f(b)<0，若存在，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.注意：对于连续函数f(x)，若存在f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反之，不一定成立.
(多选)若a0，f(b)<0，f(c)>0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.
问题2 有16个大小、颜色相同的金币，其中有15个金币是真的，有一个质量稍轻的是假的.用天平称几次一定可以找出这个稍轻的假币？
提示 4次.第一次，两端各放8个金币，高的那一端一定有假币；第二次，两端各放4个金币，高的那一端一定有假币；第三次，两端各放2个金币，高的那一端一定有假币；第四次，两端各放1个金币，高的那一端一定是假币.
二分法求函数零点近似值的步骤在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a，b]上的图像是_____ ，且 ，给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|<ε的一般步骤如下：第一步： 是否成立，如果成立，取x1＝ ，计算结束；如果不成立，转到第二步.
f(a)·f(b)<0)
(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理；(2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解.
(1)下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是
按定义，f(x)的图像在区间[a，b]上是连续不断的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图像可得B，C，D满足条件，而A不满足，在A中，函数图像经过零点时，函数值不变号，因此不能用二分法求解.
(2)(多选)下列函数中，能用二分法求零点的是A.f(x)＝2x＋3 B.f(x)＝x2＋2x－6C.f(x)＝x2－2x＋1 D.f(x)＝2x－1
因为f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即含有零点的区间[a，b]不满足f(a)·f(b)<0，故C不能用二分法求零点，其余的都可以.
运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图像在零点附近连续不断.(2)在该零点左右函数值异号.
(1)已知函数f(x)的图像如图所示，其中零点的个数及可以用二分法求近似解的零点的个数分别为A.4,4 B.3,4C.5,4 D.4,3
由图像知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足函数值异号，因此不能用二分法求零点近似解，而其余3个均可使用二分法求零点近似解.
(2)下列对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是A.若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B.若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值C.函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的 零点D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
A中若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点，故A正确；B中若f(x)＝x2，则无法使用二分法求x0的近似值，故B错误；C中函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，故C错误；D中用二分法求方程的根时，得到的根可以是准确值，故D错误.
用二分法求函数零点的近似值
用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解.(精确度0.1)
令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解.取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
由于|0.625－0.75|＝0.125<0.1×2，所以0.687 5可作为方程的一个正实数近似解.
延伸探究 若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”，结论又如何？
在本例的基础上，取区间(0.625,0.75)的中点x＝0.687 5，因为f(0.687 5)<0，f(0.75)>0且|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.05×2，所以x＝0.718 75可作为方程的一个近似解.
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图像估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，则可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1).
因为|0.75－0.625|＝0.125<0.1×2，所以x＝0.687 5可作为方程的一个近似解.
1.知识清单： (1)函数零点存在定理. (2)二分法的概念. (3)用二分法求函数零点的近似值.2.常见误区：f(a)f(b)<0是连续函数存在零点的充分不必要条件，求近似值时 精确度理解不准确.
1.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是A.[－2，－1] B.[－1,0]C.[0,1] D.[1,2]
由于f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，故可以取区间[－2，－1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算.
2.(多选)已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数f(x)一定存在零点的是
A.(1,2) B.[1,3]C.[2,5) D.(3,5)
由图表可知，f(1)＝3，f(2)＝－1，f(3)＝2，f(5)＝0.
由f(1)·f(2)<0，可知函数f(x)在(1,2)上一定有零点；则函数f(x)在[1,3]上一定有零点；由f(2)·f(3)<0，可知函数f(x)在(2,3)上一定有零点；则函数f(x)在[2,5)上一定有零点；由f(3)>0，f(5)＝0，可知f(x)在(3,5)上不一定有零点.
3.设用二分法求方程f(x)＝0在x∈(1,2)内的近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)C.(1.5,2) D.不能确定
∵f(1.5)f(1.25)<0，∴方程的根落在区间(1.25,1.5)上.
4.函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________.
∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像与x轴相切.∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.
5.从甲地到乙地的海底电缆有15个接点，现发现某处接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查接点的个数是______.
先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中；然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中；最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在.故一般最多只需检查3个接点.
1.(多选)用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，能求出的零点是
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
由图知x1，x2，x4是变号零点，可用二分法求出，x3不是变号零点，不能用二分法求出.
2.已知连续函数f(x)的部分对应值如下表：
则函数f(x)在区间[1,9]上的零点至少有A.2个 B.3个C.4个 D.5个
∵f(2)＝8>0，f(3)＝－2<0，f(4)＝2>0，
f(6)＝3>0，f(7)＝－2<0，f(8)＝－1<0，f(9)＝8>0，∴f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(6)·f(7)<0，f(8)·f(9)<0，∴在(2,3)，(3,4)，(6,7)，(8,9)上都至少各有一个零点，∴至少有4个零点.
3.(多选)在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是
4.用二分法求方程的近似解，求得f(x)＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表所示：
则当精确度为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取A.1.6 B.1.7 C.1.8 D.1.9
由表格可得，函数f(x)＝x3＋2x－9的零点在(1.75，1.812 5)之间，结合选项可知，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为(精确度为0.1)1.8.
5.用二分法求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正零点的近似值(精确度0.1)时，依次计算得到如下数据：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，关于下一步的说法正确的是A.已经达到精确度的要求，可以取1.437 5作为近似值B.已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值C.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.437 5)D.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.312 5)
由二分法知，方程x3＋x2－2x－2＝0的根在区间(1.375,1.5)内，|1.375－1.5|＝0.125<0.1×2，达到精确度的要求，可以取1.437 5作为近似值.
6.用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.
∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5)，利用二分法，
7.若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是______.①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；④函数f(x)在区间(0,4)内有零点.
∵f(1)f(2)f(4)<0，∴f(1)，f(2)，f(4)恰有一负两正或三个都是负的.又∵f(0)>0，∴函数的图像与x轴相交有多种可能，如图所示：
∴函数f(x)必在区间(0,4)内有零点.故选④.
8.设f(x)＝x2－3x＋a，若函数f(x)在区间(1,3)内有零点，则实数a的取值范围为________.
根据二次函数的性质可知f(1)
令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3).再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25).由于|2.25－2.2|＝0.05<2×0.05，
10.已知函数f(x)＝2x3－x2－3x＋1.(1)求证：f(x)在区间(1,2)上存在零点；
因为f(x)＝2x3－x2－3x＋1，所以f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，所以f(1)·f(2)＝－7<0.且f(x)＝2x3－x2－3x＋1在(1,2)内连续，所以f(x)在区间(1,2)上存在零点.
(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f(x)＝0的一个近似解(精确到0.1).
由(1)知，f(x)＝2x3－x2－3x＋1在(1,2)内存在零点，由表知f(1)＝－1，f(1.5)＝1，所以f(1)·f(1.5)<0，所以f(x)的零点在(1，1.5)上，因为f(1.25)＝－0.406 25，所以f(1.25)·f(1.5)<0，所以f(x)的零点在(1.25,1.5)上，因为f(1.375)≈0.183 59，
所以f(1.25)·f(1.375)<0，所以f(x)的零点在(1.25,1.375)上，由于|1.375－1.25|＝0.125<0.1×2，
11.已知函数f(x)，g(x)的图像在[－1,3]上都是连续不断的.根据下表，能够判断f(x)＝g(x)有实数解的区间是
A.(－1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)
令F(x)＝f(x)－g(x)，因为F(－1)＝f(－1)－g(－1)＝－0.677－(－0.530)＝－0.147<0，F(0)＝f(0)－g(0)＝3.011－3.451＝－0.44<0，F(1)＝f(1)－g(1)＝5.432－4.890＝0.542>0，F(2)＝f(2)－g(2)＝5.980－5.241＝0.739>0，F(3)＝f(3)－g(3)＝7.651－6.892＝0.759>0，于是有F(0)·F(1)<0.所以F(x)在(0,1)内有零点，即f(x)＝g(x)在(0,1)内有实数解.
12.用二分法求方程x3－x2－1＝0的一个近似解，现在已经将一个实数根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该实数根所在的区间为________.
13.已知图像连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.005)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________.
得2n>10，∴n的最小值为4.
14.设方程2x＋x3＝10的唯一正实根为β，β所在区间为(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝______.
设f(x)＝2x＋x3－10，又f(0)＝－10，f(1)＝－7，f(2)＝2，∴f(1)·f(2)<0，∴β∈(1,2)，n＝1.
15.在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称____次就可以发现这枚假币.
将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币.综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币.
16.学校请了30名木工制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌和一把椅子的工时之比为10∶7，问：30名木工如何分组(一组制作课桌，一组制作椅子)才能使任务完成最快？
设x(1≤x≤29，x∈N＋)名木工制作课桌，(30－x)名木工制作椅子.一名木工在一个单位时间里可制作7张课桌或10把椅子，
则应求y＝max{P(x)，Q(x)}的最小值，
该函数图像是图中实线上的29个点，记x0为y取最小值时x的值，假设P(x)＝Q(x)，下面用二分法的思想求x0.
所以x0∈(1,29)；
1.掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数.
2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握用二分法求函数零点近似解的步骤.
3.理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题.
路边有一条河，小明从A点走到了B点，观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？
(1) (2)
你能把这个实际问题抽象成数学模型吗？
问题1 探究函数f(x)＝2x－1的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况，并说明函数图像在零点附近有什么变化规律？函数f(x)＝x2＋4x－5呢？
函数f(x)＝x2＋4x－5的零点为－5,1，－5∈(－6，－4)，1∈(0,2)，且有f(－6)·f(－4)<0，f(0)f(2)<0，且以上函数在零点附近的图像都是连续的.
函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是 的，并且__________(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)， .
(1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0；(2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件；(3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点.
函数f(x)＝x3＋x－5的零点所在区间为A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)
由函数f(x)＝x3＋x－5，可得f(1)＝1＋1－5＝－3<0，f(2)＝8＋2－5＝5>0，故有f(1)f(2)<0，根据函数零点存在定理可得，函数f(x)的零点所在区间为(1,2).
判断函数零点所在区间的方法判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，若连续，看是否存在f(a)f(b)<0，若存在，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.注意：对于连续函数f(x)，若存在f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，反之，不一定成立.
(多选)若a
问题2 有16个大小、颜色相同的金币，其中有15个金币是真的，有一个质量稍轻的是假的.用天平称几次一定可以找出这个稍轻的假币？
提示 4次.第一次，两端各放8个金币，高的那一端一定有假币；第二次，两端各放4个金币，高的那一端一定有假币；第三次，两端各放2个金币，高的那一端一定有假币；第四次，两端各放1个金币，高的那一端一定是假币.
二分法求函数零点近似值的步骤在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a，b]上的图像是_____ ，且 ，给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|<ε的一般步骤如下：第一步： 是否成立，如果成立，取x1＝ ，计算结束；如果不成立，转到第二步.
f(a)·f(b)<0)
(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理；(2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解.
(1)下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是
按定义，f(x)的图像在区间[a，b]上是连续不断的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图像可得B，C，D满足条件，而A不满足，在A中，函数图像经过零点时，函数值不变号，因此不能用二分法求解.
(2)(多选)下列函数中，能用二分法求零点的是A.f(x)＝2x＋3 B.f(x)＝x2＋2x－6C.f(x)＝x2－2x＋1 D.f(x)＝2x－1
因为f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即含有零点的区间[a，b]不满足f(a)·f(b)<0，故C不能用二分法求零点，其余的都可以.
运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图像在零点附近连续不断.(2)在该零点左右函数值异号.
(1)已知函数f(x)的图像如图所示，其中零点的个数及可以用二分法求近似解的零点的个数分别为A.4,4 B.3,4C.5,4 D.4,3
由图像知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足函数值异号，因此不能用二分法求零点近似解，而其余3个均可使用二分法求零点近似解.
(2)下列对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是A.若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B.若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值C.函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的 零点D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
A中若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点，故A正确；B中若f(x)＝x2，则无法使用二分法求x0的近似值，故B错误；C中函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，故C错误；D中用二分法求方程的根时，得到的根可以是准确值，故D错误.
用二分法求函数零点的近似值
用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解.(精确度0.1)
令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解.取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
由于|0.625－0.75|＝0.125<0.1×2，所以0.687 5可作为方程的一个正实数近似解.
延伸探究 若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”，结论又如何？
在本例的基础上，取区间(0.625,0.75)的中点x＝0.687 5，因为f(0.687 5)<0，f(0.75)>0且|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.05×2，所以x＝0.718 75可作为方程的一个近似解.
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图像估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，则可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1).
因为|0.75－0.625|＝0.125<0.1×2，所以x＝0.687 5可作为方程的一个近似解.
1.知识清单： (1)函数零点存在定理. (2)二分法的概念. (3)用二分法求函数零点的近似值.2.常见误区：f(a)f(b)<0是连续函数存在零点的充分不必要条件，求近似值时 精确度理解不准确.
1.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是A.[－2，－1] B.[－1,0]C.[0,1] D.[1,2]
由于f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，故可以取区间[－2，－1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算.
2.(多选)已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数f(x)一定存在零点的是
A.(1,2) B.[1,3]C.[2,5) D.(3,5)
由图表可知，f(1)＝3，f(2)＝－1，f(3)＝2，f(5)＝0.
由f(1)·f(2)<0，可知函数f(x)在(1,2)上一定有零点；则函数f(x)在[1,3]上一定有零点；由f(2)·f(3)<0，可知函数f(x)在(2,3)上一定有零点；则函数f(x)在[2,5)上一定有零点；由f(3)>0，f(5)＝0，可知f(x)在(3,5)上不一定有零点.
3.设用二分法求方程f(x)＝0在x∈(1,2)内的近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)C.(1.5,2) D.不能确定
∵f(1.5)f(1.25)<0，∴方程的根落在区间(1.25,1.5)上.
4.函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________.
∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像与x轴相切.∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.
5.从甲地到乙地的海底电缆有15个接点，现发现某处接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查接点的个数是______.
先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中；然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中；最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在.故一般最多只需检查3个接点.
1.(多选)用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，能求出的零点是
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
由图知x1，x2，x4是变号零点，可用二分法求出，x3不是变号零点，不能用二分法求出.
2.已知连续函数f(x)的部分对应值如下表：
则函数f(x)在区间[1,9]上的零点至少有A.2个 B.3个C.4个 D.5个
∵f(2)＝8>0，f(3)＝－2<0，f(4)＝2>0，
f(6)＝3>0，f(7)＝－2<0，f(8)＝－1<0，f(9)＝8>0，∴f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(6)·f(7)<0，f(8)·f(9)<0，∴在(2,3)，(3,4)，(6,7)，(8,9)上都至少各有一个零点，∴至少有4个零点.
3.(多选)在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是
4.用二分法求方程的近似解，求得f(x)＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表所示：
则当精确度为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取A.1.6 B.1.7 C.1.8 D.1.9
由表格可得，函数f(x)＝x3＋2x－9的零点在(1.75，1.812 5)之间，结合选项可知，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为(精确度为0.1)1.8.
5.用二分法求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正零点的近似值(精确度0.1)时，依次计算得到如下数据：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，关于下一步的说法正确的是A.已经达到精确度的要求，可以取1.437 5作为近似值B.已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值C.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.437 5)D.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.312 5)
由二分法知，方程x3＋x2－2x－2＝0的根在区间(1.375,1.5)内，|1.375－1.5|＝0.125<0.1×2，达到精确度的要求，可以取1.437 5作为近似值.
6.用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.
∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5)，利用二分法，
7.若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是______.①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；④函数f(x)在区间(0,4)内有零点.
∵f(1)f(2)f(4)<0，∴f(1)，f(2)，f(4)恰有一负两正或三个都是负的.又∵f(0)>0，∴函数的图像与x轴相交有多种可能，如图所示：
∴函数f(x)必在区间(0,4)内有零点.故选④.
8.设f(x)＝x2－3x＋a，若函数f(x)在区间(1,3)内有零点，则实数a的取值范围为________.
根据二次函数的性质可知f(1)
令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3).再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25).由于|2.25－2.2|＝0.05<2×0.05，
10.已知函数f(x)＝2x3－x2－3x＋1.(1)求证：f(x)在区间(1,2)上存在零点；
因为f(x)＝2x3－x2－3x＋1，所以f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，所以f(1)·f(2)＝－7<0.且f(x)＝2x3－x2－3x＋1在(1,2)内连续，所以f(x)在区间(1,2)上存在零点.
(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f(x)＝0的一个近似解(精确到0.1).
由(1)知，f(x)＝2x3－x2－3x＋1在(1,2)内存在零点，由表知f(1)＝－1，f(1.5)＝1，所以f(1)·f(1.5)<0，所以f(x)的零点在(1，1.5)上，因为f(1.25)＝－0.406 25，所以f(1.25)·f(1.5)<0，所以f(x)的零点在(1.25,1.5)上，因为f(1.375)≈0.183 59，
所以f(1.25)·f(1.375)<0，所以f(x)的零点在(1.25,1.375)上，由于|1.375－1.25|＝0.125<0.1×2，
11.已知函数f(x)，g(x)的图像在[－1,3]上都是连续不断的.根据下表，能够判断f(x)＝g(x)有实数解的区间是
A.(－1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)
令F(x)＝f(x)－g(x)，因为F(－1)＝f(－1)－g(－1)＝－0.677－(－0.530)＝－0.147<0，F(0)＝f(0)－g(0)＝3.011－3.451＝－0.44<0，F(1)＝f(1)－g(1)＝5.432－4.890＝0.542>0，F(2)＝f(2)－g(2)＝5.980－5.241＝0.739>0，F(3)＝f(3)－g(3)＝7.651－6.892＝0.759>0，于是有F(0)·F(1)<0.所以F(x)在(0,1)内有零点，即f(x)＝g(x)在(0,1)内有实数解.
12.用二分法求方程x3－x2－1＝0的一个近似解，现在已经将一个实数根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该实数根所在的区间为________.
13.已知图像连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.005)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________.
得2n>10，∴n的最小值为4.
14.设方程2x＋x3＝10的唯一正实根为β，β所在区间为(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝______.
设f(x)＝2x＋x3－10，又f(0)＝－10，f(1)＝－7，f(2)＝2，∴f(1)·f(2)<0，∴β∈(1,2)，n＝1.
15.在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称____次就可以发现这枚假币.
将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币.综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币.
16.学校请了30名木工制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌和一把椅子的工时之比为10∶7，问：30名木工如何分组(一组制作课桌，一组制作椅子)才能使任务完成最快？
设x(1≤x≤29，x∈N＋)名木工制作课桌，(30－x)名木工制作椅子.一名木工在一个单位时间里可制作7张课桌或10把椅子，
则应求y＝max{P(x)，Q(x)}的最小值，
该函数图像是图中实线上的29个点，记x0为y取最小值时x的值，假设P(x)＝Q(x)，下面用二分法的思想求x0.
所以x0∈(1,29)；
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