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2021学年2.2.1 不等式及其性质第2课时学案设计
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这是一份2021学年2.2.1 不等式及其性质第2课时学案设计，共13页。学案主要包含了综合法，分析法，反证法等内容，欢迎下载使用。
第2课时 不等式的证明方法
学习目标 1.掌握综合法、分析法证明问题的过程和推理特点，能灵活选用综合法、分析法证明简单问题.2.了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点．掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的命题．
导语
数学家给出了“上帝不是万能的”的证明过程．
证明：假设上帝是万能的，那么上帝能做任何事，就让他制造一块自己都搬不动的大石头，如果他造不出来，就说明他不是万能的，如果他造出来了，但他又搬不动，这与假设矛盾．所以，上帝不是万能的．
数学家采用了哪种证明命题的方法？常见的证明方法有哪些呢？这节课我们一起来研究不等式的证明方法．
一、综合法
问题1 阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？
求证：－>－.
证明：因为0<＋<＋，
所以>，
所以－>－.
提示 由已知0<＋<＋出发，推出结论．
知识梳理
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法．综合法最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论．
注意点：
1．用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
→→→…→
2．综合法实际上是寻求使命题成立的必要条件，即由因导果．
例1 若a>b>0，c.
证明 ∵c－d>0.
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.
∴(a－c)2>(b－d)2>0.
两边同乘以，
得<.
又e<0，∴>.
延伸探究 本例条件不变的情况下，求证：>.
证明 ∵c－d>0.
∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，
∴0<<.
又∵e<0，∴>.
反思感悟 综合法处理问题的三个步骤
跟踪训练1 (1)已知a>b，e>f，c>0.求证：f－ac
证明 (1)∵a>b，c>0，
∴ac>bc，∴－ac<－bc.
∵f
∵bd>0，∴－＝≤0，
即≤，∴＋1≤＋1，
即≤.
二、分析法
问题2 阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？
求证：－>－.
证明：要证－>－，
只需证＋>＋，
只需证(＋)2>(＋)2，只需证8＋2>8＋2.
而上式显然成立，所以结论成立．
提示 证明过程是由结论出发，逆推寻求条件．
知识梳理
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等)为止．分析法最重要的推理形式为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件．
注意点：
1．用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
→→→…→
2．分析法实际上是寻求使结论成立的充分条件，即执果索因．
3．综合法和分析法为直接证明法．
例2 已知a>0，证明：－≥a＋－2.
证明 要证－≥a＋－2，
只需证≥－(2－)．
因为a>0，所以－(2－)＝＋>0，
所以只需证2≥2，
即2(2－)≥8－4，只需证a＋≥2.
因为a>0，所以a＋－2＝＝≥0，
所以a＋≥2显然成立(当且仅当a＝1时等号成立)，
所以要证的不等式成立．
反思感悟 分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．
跟踪训练2 若a，b∈(1，＋∞)，证明：<.
证明 要证<，
只需证()2<()2，
只需证a＋b－1－ab<0，
即证(a－1)(1－b)<0.
因为a>1，b>1，所以a－1>0,1－b<0，
即(a－1)(1－b)<0成立，
所以原不等式成立．
三、反证法
问题3 阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？
求证：如果a>b>0，那么>.
证明：假设>不成立，即≤成立，
即<或＝.
若＝，则a＝b，与已知a>b矛盾，
若<，则ab矛盾，
故假设不成立，从而>.
提示 假设结论不成立，逐步推出矛盾．
知识梳理
首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法．
注意点：
1．假设结论不成立，即结论的否定成立，可将其作为条件．
2．常见的主要矛盾有：与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；与公认的简单事实矛盾．
3．反证法适宜证明存在性、唯一性、带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的一些数学问题．
例3 已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.
证明 假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，
则有a＋b＋c<3，
而a＋b＋c＝＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋＝22＋3≥3.
这与a＋b＋c<3矛盾，假设不成立，
故a，b，c至少有一个不小于1.
反思感悟 反证法证明问题的一般步骤
跟踪训练3 若x>0，y>0，且x＋y>2，求证：与至少有一个小于2.
证明 假设与都不小于2，
即≥2，≥2.
∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，
两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)．
∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾．
∴假设不成立，原命题成立．
故与至少有一个小于2.
1．知识清单：三种证明方法的步骤．
2．方法归纳：综合法、分析法、反证法．
3．常见误区：综合法证明中不等式性质使用不当，反证法中假设不正确．
1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是( )
A．自然数a，b，c中至少有两个偶数
B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．自然数a，b，c都是奇数
D．自然数a，b，c都是偶数
答案 B
解析 “恰有一个”否定是“至少有两个或一个也没有”，故选B.
2．求证：－1>－.
证明：要证－1>－，
只需证＋>＋1，
即证7＋2＋5>11＋2＋1，即证>，
∵35>11，∴原不等式成立．
以上证明应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．分析法与综合法配合使用
D．反证法
答案 A
解析 该证明方法符合分析法的定义，故选A.
3．(多选)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用( )
A．结论的反设 B．已知条件
C．定义、公理、定理等 D．原结论
答案 ABC
解析 反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的反设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．
4．(多选)下列命题中，不正确的是( )
A．若a
B．若ac>bc，则a>b
C．若<，则a
答案 ABD
解析 ∵a
又∵－＝<0，
∴<，可知A错误；
当c<0时，ac>bc⇒a
∴c≠0，又c2>0，
∴a
5．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是______．
答案 甲
解析 假设甲获奖，则甲、乙、丙都说了假话，丁说了真话，满足题意，故获奖的歌手是甲．
1．要证－<－成立，只需证明( )
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
答案 C
解析 根据分析法知需是－<－成立的充分条件，即＋<＋，结合不等式的性质：“若a>b>0，则a2>b2”，应选C.
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
答案 C
解析 由题意知
⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0
⇐－2a2＋ac＋c2<0
⇐2a2－ac－c2>0
⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.
3．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
答案 B
解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．
4．①已知p3＋q3＝2，证明：p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2；
②若a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证：方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
以下结论正确的是( )
A．①与②的假设都错误
B．①的假设正确；②的假设错误
C．①与②的假设都正确
D．①的假设错误；②的假设正确
答案 D
解析 对于①，结论的否定是p＋q>2，故①中的假设错误；对于②，其假设正确，故选D.
5. 若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P＝Q
C．P 答案 C
解析 ∵P>0，Q>0，
∴要比较P，Q的大小关系，
只需比较P2，Q2的大小关系，
∵P2＝a＋a＋7＋2·
＝2a＋7＋2，
Q2＝a＋3＋a＋4＋2·
＝2a＋7＋2.
∵(a＋3)(a＋4)＝a2＋7a＋12>a2＋7a＝a(a＋7)．
∴Q2>P2.
∴P
答案
解析 假设a，b，c都小于，则a＋b＋c<1，
与已知矛盾．故a，b，c中至少有一个数不小于.
7．给出四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，能推得<成立的是________．
答案 ①②④
解析 <⇔<0，
所以①②④能使它成立．
8．要使－<成立，a，b应满足的条件是____________或者____________．
答案 ab>0且a>b ab<0且a
则a－b＋3－3a.
9．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
证明 方法一 要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，
只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，
即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，
即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.
∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，
∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，
∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
方法二 ∵a≥b>0，
∴a2≥b2，a2－b2≥0,2a＋b>0，
∴(a2－b2)(2a＋b)≥0，
∴2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，
∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
10．已知x>0，求证：<1＋(分别用分析法和反证法两种方法证明)．
证明 方法一 (分析法)
∵x>0，∴>0,1＋>0，
∴要证<1＋，
只需证1＋x<1＋x＋，
只需证0<.
∵x>0，∴>0成立，
故<1＋.
方法二 (反证法)
假设≥1＋，
∵x>0，∴>0,1＋>0，
∴1＋x≥1＋x＋，即0≥，
∴x＝0，与条件x>0矛盾．
∴假设不成立，故<1＋成立．
11．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
答案 A
解析 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，再假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．
12．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，所以b<0，与b>0矛盾．故P，Q，R都大于0.所以“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的充要条件．
13．用“>”或“<”填空：
(1)>，ac>0⇒ad________bc；
(2)a，b，m都是正整数，且b>a>m>0，则________.
答案 (1)< (2)<
解析 (1)⇒－>0⇒>0，
∴bc－ad>0
∴ad
∵b>a>m>0，∴a－b<0，b－m>0，
∴<0，∴<.
14．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．
答案 a≥0，b≥0且a≠b
解析 a＋b>a＋b⇔a－a>b－b⇔a(－)>b(－)⇔(a－b)(－)>0⇔(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
15．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)
答案 ③
解析 若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出．若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出．
若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出．
对于③，若a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.
反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
16．已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根．
证明 假设三个方程都没有两个相异实根．
则Δ1＝4b2－4ac≤0，
Δ2＝4c2－4ab≤0，
Δ3＝4a2－4bc≤0，上述三个式子相加得，
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，
即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.
所以a＝b＝c这与a，b，c是互不相等的非零实数相矛盾．
因此假设不成立，故三个方程ax2＋2bx＋c＝0，
bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根．
第2课时 不等式的证明方法
学习目标 1.掌握综合法、分析法证明问题的过程和推理特点，能灵活选用综合法、分析法证明简单问题.2.了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点．掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的命题．
导语
数学家给出了“上帝不是万能的”的证明过程．
证明：假设上帝是万能的，那么上帝能做任何事，就让他制造一块自己都搬不动的大石头，如果他造不出来，就说明他不是万能的，如果他造出来了，但他又搬不动，这与假设矛盾．所以，上帝不是万能的．
数学家采用了哪种证明命题的方法？常见的证明方法有哪些呢？这节课我们一起来研究不等式的证明方法．
一、综合法
问题1 阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？
求证：－>－.
证明：因为0<＋<＋，
所以>，
所以－>－.
提示 由已知0<＋<＋出发，推出结论．
知识梳理
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法．综合法最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论．
注意点：
1．用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
→→→…→
2．综合法实际上是寻求使命题成立的必要条件，即由因导果．
例1 若a>b>0，c
证明 ∵c
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.
∴(a－c)2>(b－d)2>0.
两边同乘以，
得<.
又e<0，∴>.
延伸探究 本例条件不变的情况下，求证：>.
证明 ∵c
∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，
∴0<<.
又∵e<0，∴>.
反思感悟 综合法处理问题的三个步骤
跟踪训练1 (1)已知a>b，e>f，c>0.求证：f－ac
证明 (1)∵a>b，c>0，
∴ac>bc，∴－ac<－bc.
∵f
∵bd>0，∴－＝≤0，
即≤，∴＋1≤＋1，
即≤.
二、分析法
问题2 阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？
求证：－>－.
证明：要证－>－，
只需证＋>＋，
只需证(＋)2>(＋)2，只需证8＋2>8＋2.
而上式显然成立，所以结论成立．
提示 证明过程是由结论出发，逆推寻求条件．
知识梳理
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等)为止．分析法最重要的推理形式为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件．
注意点：
1．用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
→→→…→
2．分析法实际上是寻求使结论成立的充分条件，即执果索因．
3．综合法和分析法为直接证明法．
例2 已知a>0，证明：－≥a＋－2.
证明 要证－≥a＋－2，
只需证≥－(2－)．
因为a>0，所以－(2－)＝＋>0，
所以只需证2≥2，
即2(2－)≥8－4，只需证a＋≥2.
因为a>0，所以a＋－2＝＝≥0，
所以a＋≥2显然成立(当且仅当a＝1时等号成立)，
所以要证的不等式成立．
反思感悟 分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．
跟踪训练2 若a，b∈(1，＋∞)，证明：<.
证明 要证<，
只需证()2<()2，
只需证a＋b－1－ab<0，
即证(a－1)(1－b)<0.
因为a>1，b>1，所以a－1>0,1－b<0，
即(a－1)(1－b)<0成立，
所以原不等式成立．
三、反证法
问题3 阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？
求证：如果a>b>0，那么>.
证明：假设>不成立，即≤成立，
即<或＝.
若＝，则a＝b，与已知a>b矛盾，
若<，则a
故假设不成立，从而>.
提示 假设结论不成立，逐步推出矛盾．
知识梳理
首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法．
注意点：
1．假设结论不成立，即结论的否定成立，可将其作为条件．
2．常见的主要矛盾有：与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；与公认的简单事实矛盾．
3．反证法适宜证明存在性、唯一性、带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的一些数学问题．
例3 已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.
证明 假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，
则有a＋b＋c<3，
而a＋b＋c＝＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋＝22＋3≥3.
这与a＋b＋c<3矛盾，假设不成立，
故a，b，c至少有一个不小于1.
反思感悟 反证法证明问题的一般步骤
跟踪训练3 若x>0，y>0，且x＋y>2，求证：与至少有一个小于2.
证明 假设与都不小于2，
即≥2，≥2.
∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，
两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)．
∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾．
∴假设不成立，原命题成立．
故与至少有一个小于2.
1．知识清单：三种证明方法的步骤．
2．方法归纳：综合法、分析法、反证法．
3．常见误区：综合法证明中不等式性质使用不当，反证法中假设不正确．
1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是( )
A．自然数a，b，c中至少有两个偶数
B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．自然数a，b，c都是奇数
D．自然数a，b，c都是偶数
答案 B
解析 “恰有一个”否定是“至少有两个或一个也没有”，故选B.
2．求证：－1>－.
证明：要证－1>－，
只需证＋>＋1，
即证7＋2＋5>11＋2＋1，即证>，
∵35>11，∴原不等式成立．
以上证明应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．分析法与综合法配合使用
D．反证法
答案 A
解析 该证明方法符合分析法的定义，故选A.
3．(多选)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用( )
A．结论的反设 B．已知条件
C．定义、公理、定理等 D．原结论
答案 ABC
解析 反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的反设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．
4．(多选)下列命题中，不正确的是( )
A．若a
B．若ac>bc，则a>b
C．若<，则a
答案 ABD
解析 ∵a
又∵－＝<0，
∴<，可知A错误；
当c<0时，ac>bc⇒a
∴c≠0，又c2>0，
∴a
5．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是______．
答案 甲
解析 假设甲获奖，则甲、乙、丙都说了假话，丁说了真话，满足题意，故获奖的歌手是甲．
1．要证－<－成立，只需证明( )
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
答案 C
解析 根据分析法知需是－<－成立的充分条件，即＋<＋，结合不等式的性质：“若a>b>0，则a2>b2”，应选C.
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
答案 C
解析 由题意知
⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0
⇐－2a2＋ac＋c2<0
⇐2a2－ac－c2>0
⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.
3．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
答案 B
解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．
4．①已知p3＋q3＝2，证明：p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2；
②若a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证：方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
以下结论正确的是( )
A．①与②的假设都错误
B．①的假设正确；②的假设错误
C．①与②的假设都正确
D．①的假设错误；②的假设正确
答案 D
解析 对于①，结论的否定是p＋q>2，故①中的假设错误；对于②，其假设正确，故选D.
5. 若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P＝Q
C．P 答案 C
解析 ∵P>0，Q>0，
∴要比较P，Q的大小关系，
只需比较P2，Q2的大小关系，
∵P2＝a＋a＋7＋2·
＝2a＋7＋2，
Q2＝a＋3＋a＋4＋2·
＝2a＋7＋2.
∵(a＋3)(a＋4)＝a2＋7a＋12>a2＋7a＝a(a＋7)．
∴Q2>P2.
∴P
答案
解析 假设a，b，c都小于，则a＋b＋c<1，
与已知矛盾．故a，b，c中至少有一个数不小于.
7．给出四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，能推得<成立的是________．
答案 ①②④
解析 <⇔<0，
所以①②④能使它成立．
8．要使－<成立，a，b应满足的条件是____________或者____________．
答案 ab>0且a>b ab<0且a
则a－b＋3－3
9．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
证明 方法一 要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，
只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，
即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，
即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.
∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，
∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，
∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
方法二 ∵a≥b>0，
∴a2≥b2，a2－b2≥0,2a＋b>0，
∴(a2－b2)(2a＋b)≥0，
∴2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，
∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
10．已知x>0，求证：<1＋(分别用分析法和反证法两种方法证明)．
证明 方法一 (分析法)
∵x>0，∴>0,1＋>0，
∴要证<1＋，
只需证1＋x<1＋x＋，
只需证0<.
∵x>0，∴>0成立，
故<1＋.
方法二 (反证法)
假设≥1＋，
∵x>0，∴>0,1＋>0，
∴1＋x≥1＋x＋，即0≥，
∴x＝0，与条件x>0矛盾．
∴假设不成立，故<1＋成立．
11．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
答案 A
解析 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，再假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．
12．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，所以b<0，与b>0矛盾．故P，Q，R都大于0.所以“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的充要条件．
13．用“>”或“<”填空：
(1)>，ac>0⇒ad________bc；
(2)a，b，m都是正整数，且b>a>m>0，则________.
答案 (1)< (2)<
解析 (1)⇒－>0⇒>0，
∴bc－ad>0
∴ad
∵b>a>m>0，∴a－b<0，b－m>0，
∴<0，∴<.
14．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．
答案 a≥0，b≥0且a≠b
解析 a＋b>a＋b⇔a－a>b－b⇔a(－)>b(－)⇔(a－b)(－)>0⇔(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
15．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)
答案 ③
解析 若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出．若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出．
若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出．
对于③，若a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.
反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
16．已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根．
证明 假设三个方程都没有两个相异实根．
则Δ1＝4b2－4ac≤0，
Δ2＝4c2－4ab≤0，
Δ3＝4a2－4bc≤0，上述三个式子相加得，
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，
即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.
所以a＝b＝c这与a，b，c是互不相等的非零实数相矛盾．
因此假设不成立，故三个方程ax2＋2bx＋c＝0，
bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根．
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