高中2.2.4 均值不等式及其应用第2课时学案

这是一份高中2.2.4 均值不等式及其应用第2课时学案，共16页。学案主要包含了利用均值不等式变形求最值， 均值不等式在实际问题中的应用等内容，欢迎下载使用。
第2课时　均值不等式的综合应用
学习目标　1.熟练掌握均值不等式及其变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．
导语
相等与不等关系经常会涉及最大值、最小值问题，而均值不等式可以解决变化中的最值问题，那么在什么条件下可以应用均值不等式来求最值呢？这节课我们就一起来探究一下这个问题．
一、利用均值不等式变形求最值
问题1　若两个正数的和为8，那么这两个正数分别是多少时，其积最大？
提示　x＋y＝8，由2≥xy得xy≤16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，即这两个正数都为4时，其积最大．
问题2　若两个正数的积为16，那么这两个正数分别是多少时，其和最小？
提示　xy＝16，由x＋y≥2得x＋y≥8，当且仅当x＝y＝4时等号成立，即这两个正数都等于4时，其和最小．
知识梳理
用均值不等式求最值
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值
已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值
已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.

注意点：
1．口诀：和定积最大，积定和最小．
2．应用均值不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正二定三相等．
例1　已知x>0，y>0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．
解　方法一　∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋
≥10＋2＝18，
当且仅当即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，x＋2y的最小值为18.
方法二　∵x>0，y>0，＋＝1,8y＋x＝xy，
∴x＝，
∴y－1>0.
∴x＋2y＝＋2y＝＋(2y－2)＋2＝10＋＋(2y－2)≥10＋2＝10＋8＝18，当且仅当＝2y－2，
即y＝3，x＝12时，等号成立，x＋2y的最小值为18.
延伸探究　若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．
解　∵x>0，y>0，∴＋＝(x＋2y)
＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当即时取等号，
∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18.
反思感悟　利用均值不等式的变形求最值的策略
(1)应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用均值不等式以及使等号成立的条件．
(2)特别注意“1”的代换．
跟踪训练1　设x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．
解　方法一　由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.
∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，
∴x＋y＝x＋＝x＋
＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18，
当且仅当x－8＝，即x＝12，y＝6时，等号成立．
∴x＋y的最小值是18.
方法二　由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，
得＋＝1.∴x＋y＝(x＋y)
＝＋＋10≥2＋10＝18，
当且仅当＝，即x＝12，y＝6时等号成立．
∴x＋y的最小值是18.
二、 均值不等式在实际问题中的应用
例2　“足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q＝(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为元/件．那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)
解　设该批产品的利润为y万元，
由题意知y＝·Q－2－x
＝2Q＋20－2Q－－x＝20－－x
＝20－－x＝21－，00)，对一切正实数x成立，求a的取值范围．
解　常数a>0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，
则a＋1≤9x＋的最小值，
又9x＋≥6a，
当且仅当9x＝，
即x＝时，等号成立．
故必有6a≥a＋1，解得a≥.
所以a的取值范围为a≥.
反思感悟　(1)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)的最小值．
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)的最大值．
注意：f(x)表示关于x的代数式．
跟踪训练3　(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≤－2或m≥2
B．m≤－4或m≥2
C．－2m2恒成立，即8>m2，
解得－21恒成立，则实数m的取值范围为________．
答案　{m|m>－10}
解析　∵2x＋m＋>0对任意的x>1恒成立，
∴m>－2x－＝－2
＝－2，
∵x>1，∴x－1>0，
∴(x－1)＋＋1≥2＋1＝5，
当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立，
∴－2≤－2×5＝－10.
∴m>－10，∴实数m的取值范围为{m|m>－10}．

1．知识清单：
(1)已知x，y是正数，“和定积最大，积定和最小”．
(2)求解应用题的方法与步骤．
①审题，②建模(列式)，③求解，④作答．
(3)均值不等式的综合应用．
2．方法归纳：常数代换法．
3．常见误区：缺少等号成立的条件．


1．若xy是正数，则2＋2的最小值是(　　)
A．3 B. C．4 D.
答案　C
解析　2＋2
＝x2＋＋＋y2＋＋
＝＋＋
≥1＋1＋2＝4，
当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．
2．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)
A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m
答案　C
解析　设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，
∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．
∵要求够用且浪费最少．
∴选用7 m的铁丝．
3．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．
答案　
解析　因为x>0，y>0,2x＋3y＝6，
所以xy＝(2x·3y)≤·2
＝·2＝.
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，等号成立．
xy取到最大值.
4．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，那么xy的最大值是________，＋的最小值是_________．
答案　　(3＋2)
解析　∵x>0，y>0，
∴x＋2y＝2≥2，
∴2xy≤1，
∴xy≤，
当且仅当x＝2y，
即x＝1，y＝时取等号．
∴xy的最大值是.
又由x＋2y＝2，
得(x＋2y)＝1，
∴＋＝(x＋2y)
＝≥(3＋2)．
当且仅当x＝y，
即x＝2－2，y＝2－时取等号．
∴＋的最小值是(3＋2)．
5．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
答案　
解析　因为x>0，
所以＝≤＝，
当且仅当x＝，x＝1时等号成立，
即的最大值为，故a≥.


1．(多选)下列求最值的运算中，运算方法错误的有(　　)
A．当x1，所以取x＝2，故当x>1时，x＋的最小值为2＋＝4
C．由于x2＋＝x2＋4＋－4≥2－4＝2，故x2＋的最小值是2
D．当x>0，y>0，且x＋4y＝2时，由于2＝x＋4y≥2＝4，所以≤，又＋≥2＝≥＝4，故当x>0，y>0，且x＋4y＝2时，＋的最小值为4
答案　BCD
解析　对于A中，根据均值不等式，可判定是正确的；
对于B中，当x>1时，x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝2＋1，
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号，x＋的最小值为2＋1，所以B不正确；
对于C中，由于x2＋＝x2＋4＋－4≥2－4＝2，
当且仅当x2＋4＝，即x2＋4＝3时等号成立，但此时x2＋4＝3无解，所以取不到等号，
所以C不正确；
对于D中，两次均值不等式的等号成立条件不相同，第一次是x＝4y，第二次是x＝y，所以D不正确．
2．若对于任意x>1，≥a恒成立，则a的最大值是(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
答案　B
解析　∵x>1，
∴＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－1＝，
即x＝3时，“＝”成立，∴a≤6.则a的最大值是6.
3．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a0，
∴01，∴a－1>0，
∵a＋b＝2，
∴(a－1)＋b＝1.
又b>0，∴＋＝·[(a－1)＋b]
＝1＋＋＋2≥3＋2.
当且仅当＝，即a＝，b＝2－时，等号成立，
∴＋的最小值为3＋2，故选A.
12．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由x2＋3xy－1＝0，
可得y＝.
又x>0，所以x＋y＝＋≥2＝
.
13.如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.

答案　56
解析　设阴影部分的长为x dm，
则宽为 dm，
四周空白部分的面积是y dm2.
由题意，得y＝(x＋4)－72
＝8＋2≥8＋2×2＝56.
当且仅当x＝，
即x＝12时等号成立．
14.如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)，此时矩形的长、宽比是________．

答案　16　2∶1
解析　如图所示，连接OC，

设OB＝x(0c，且＋≥恒成立，求m的取值范围．
解　由a>b>c，知a－b>0，b－c>0，a－c>0.
因此，原不等式等价于＋≥m.
要使原不等式恒成立，
只需＋的最小值不小于m即可．
因为＋
＝＋
＝2＋＋
≥2＋2＝4，
当且仅当＝，
即2b＝a＋c时，等号成立．
所以m≤4，即m∈(－∞，4]．