高中人教B版 (2019)第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用第1课时导学案

这是一份高中人教B版 (2019)第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用第1课时导学案，共16页。学案主要包含了对均值不等式的理解，利用均值不等式求最值，利用均值不等式证明不等式等内容，欢迎下载使用。

2.2.4　均值不等式及其应用
第1课时　均值不等式
学习目标　 1.掌握均值不等式及其推导过程.2.理解均值不等式的几何意义.3.能初步运用均值不等式证明不等式和求最值．
导语
从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售．你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！
一、对均值不等式的理解
问题1　如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的关系吗？

提示　正方形的边长AB＝，故正方形的面积为a2＋b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立．
问题2　现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？
提示　用，分别替换上式中的a，b可得到a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立．我们习惯表示成≤.
问题3　上述不等式是在a2＋b2≥2ab(a，b∈R)的基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明．
提示　方法一　(作差法)
－＝＝＝≥0，即≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
方法二　(分析法)
要证≤，
只需证2≤a＋b，
只需证2－a－b≤0，
只需证－(－)2≤0，
显然(－)2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立．
方法三　(几何法)
如图所示，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝，由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤，由此也可以得出圆的半径不小于半弦．

问题4　探索均值不等式的几何意义．
提示　将均值不等式两边平方可得2≥ab，
如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab，2可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．
知识梳理
算术平均值
给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值
几何平均值
给定两个正数a，b，数称为a，b的几何平均值
均值不等式
如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立
几何意义
所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大

注意点：
(1)均值不等式常见的变形：①若a>0，b>0，则a＋b≥2；②若a>0，b>0，则ab≤2.
(2)均值不等式的实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．


例1　下列命题中正确的是(　　)
A．当a，b∈R时，＋≥2＝2
B．若a<0，b<0，则≤ab
C．当a>2时，a＋的最小值是6
D．当a>0，b>0时，≥
答案　C
解析　A中，可能<0，所以不正确；
B中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，所以不正确；
C中，a＋≥2＝6，当且仅当a＝，即a＝3时等号成立，所以正确；
D中，由均值不等式知，≤(a>0，b>0)，所以不正确．
反思感悟　均值不等式≥(a>0，b>0)的两个注意点
(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：
①当a＝b时，≥的等号成立，
即a＝b⇒＝；
②仅当a＝b时，≥的等号成立，
即＝⇒a＝b.
跟踪训练1　(多选)下列结论不正确的是(　　)
A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4
B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当0 答案　AC
解析　对于选项A，当x<0时，＋x≥4显然不成立；
对于选项B，符合应用均值不等式的基本条件，当x>0时，＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝1时等号成立．
对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝，则x＝1，不满足x≥2；
对于选项D,2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时，等号成立．
二、利用均值不等式求最值

例2　(1)已知t>0，求y＝的最小值；
(2)当x>0时，求＋4x的最小值；
(3)当x<0时，求＋4x的最大值．
解　(1)依题意得，y＝t＋－4≥2－4＝－2，
当且仅当t＝1时等号成立，即y＝(t>0)的最小值是－2.
(2)∵x>0，
∴>0,4x>0.
∴＋4x≥2＝8.
当且仅当＝4x，即x＝时，等号成立，取得最小值8，
∴当x>0时，＋4x的最小值为8.
(3)∵x<0，∴－x>0.
则＋(－4x)≥2＝8，
当且仅当＝－4x，即x＝－时取等号．
∴＋4x≤－8.
∴当x<0时，＋4x的最大值为－8.
反思感悟　在利用均值不等式求最值时要注意三点
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备．
跟踪训练2　(1)已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为(　　)
A．16 B．25 C．9 D．36
答案　 B
解析　因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2＝9＋42＝25，
当且仅当x＝y＝4时，等号成立，(1＋x)(1＋y)取得最大值25.
(2)若x>0，则12x＋的最小值为________，若x<0, 则12x＋的最大值为________．
答案　4　－4
解析　因为x>0，
所以12x＋≥2＝4，
当且仅当12x＝，即x＝时等号成立．
所以x>0时，12x＋的最小值为4.
当x<0时，－x>0，
所以12x＋＝－≤－2＝－4.
当且仅当x＝－时，等号成立．所以x<0时，12x＋的最大值为－4.

例3　已知x>2，则y＝x＋的最小值为________．
答案　6
解析　因为x>2，所以x－2>0，
所以y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，
即x＝4时，等号成立．所以y＝x＋的最小值为6.
延伸探究　若把本例中的条件“x>2”改为“x<2”，求y＝x＋的最大值．
解　因为x<2，所以2－x>0，
所以y＝x＋＝－＋2
≤－2＋2＝－2，
当且仅当2－x＝，得x＝0或x＝4(舍去)，
即x＝0时，等号成立．
故y＝x＋的最大值为－2.
反思感悟　通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
(1)拼凑的技巧，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．
(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.
跟踪训练3　(1)已知0 (2)已知x>－1，求y＝的最小值．
解　(1)∵0 ∴1－3x>0，
y＝x(1－3x)＝×3x·(1－3x)≤2＝.
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，取等号，
∴当x＝时，y取得最大值.
(2)∵x>－1，∴x＋1>0，
y＝＝
＝x＋1＋＋1≥2＋1，
当且仅当x＋1＝，
即x＝－1时，等号成立，
∴y取得最小值2＋1.
三、利用均值不等式证明不等式
例4　设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明　∵a，b，c都是正数，
∴，，也都是正数，
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
∴2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
反思感悟　利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法；
③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型．
跟踪训练4　已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)·(b＋c)·(c＋a)≥8abc.
证明　∵a，b，c都是正实数，
∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc.
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

1．知识清单：
(1)≥(a，b都是正数)．
(2)利用均值不等式求最值．
(3)利用均值不等式证明．
2．方法归纳：拼凑法．
3．常见误区：忽视a，b都是正数的条件，忽视等号成立的条件；多次使用均值不等式忽略等号同时成立的条件．

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　)
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．s 答案　A
解析　∵b2＋1≥2b，∴a＋b2＋1≥a＋2b，∴s≥t.
2．不等式＋(x－2)≥6(x>2)中等号成立的条件是(　　)
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
答案　C
解析　由均值不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．
3．(多选)下列不等式成立的是(　　)
A．ab≤
B．ab≥
C.2≥ab(a>0，b>0)
D．a＋b≤2
答案　AC
解析　a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab，ab≤，故A正确，
由均值不等式可知C是其变形，故C正确．
4．若x>0，则x＋________2，若x<0，则x＋________－2.(填“＝”“≥”“≤”“>”或“<”)
答案　≥　≤
解析　当x>0时，x＋≥2＝2，
当且仅当x＝，即x＝时取等号．
当x<0时，x＋＝－≤－2.当且仅当x＝－时取等号．
5．已知x<，则y＝4x－2＋的最大值为________，此时x的值是______．
答案　1　1
解析　∵x<，∴5－4x>0.
∴y＝4x－2＋＝－＋3
≤－2＋3＝－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，
即x＝1时，等号成立．故当x＝1时，y的最大值为1.


1．若a>b>0，则下列不等式成立的是(　　)
A．a>b>>
B．a>>>b
C．a>>b>
D．a>>>b
答案　B
解析　a＝>>>＝b，
因此只有B项正确．
2．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是(　　)
A．3 B．3－2 C．3－2 D．－1
答案　C
解析　 y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，
即x＝时取等号．
∴当x＝时，y的最大值是3－2.
3．若a>1，则a＋的最小值是(　　)
A．2 B．a C. D．3
答案　D
解析　∵a>1，∴a－1>0，
∴a＋＝(a－1)＋＋1≥2
＋1＝3，当且仅当a－1＝，
即a＝2时等号成立．
∴当a＝2时，a＋的最小值是3.
4．若x>1，则y＝的最小值为(　　)
A．3 B．－3 C．4 D．－4
答案　C
解析　∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝＝＝x＋1＋
＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当＝x－1，
即(x－1)2＝1时，等号成立，
∴当x＝2时，y的最小值为4.
5．(多选)已知a>0，b>0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．ab≤2 B．ab≤
C.≥ D.≤2
答案　ABC
解析　由a2＋b2≥2ab知B，C正确，
由均值不等式知，ab≤2，
∴≥2，故A正确，D错误．
6．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________．
答案　x 解析　x2＝，
y2＝a＋b＝.
∵a＋b>2(a>0，b>0且a≠b)，
∴x20，y>0，∴x 7．已知x>－1，则当x＝________时，的最小值为________．
答案　2　16
解析　＝
＝＝(x＋1)＋＋10，
∵x>－1，∴x＋1>0，∴(x＋1)＋＋10≥2＋10＝16.
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立．
∴当x＝2时，的最小值是16.
8．已知a>b>c，则与的大小关系是__________________________．
答案　≤
解析　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，
∴≤＝.
当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．
9．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
证明　由均值不等式可得
a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，
同理，b4＋c4≥2b2c2，
c4＋a4≥2a2c2，
∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，
从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2，当且仅当a2＝b2＝c2时等号成立．
10．(1)若x<3，求y＝2x＋1＋的最大值；
(2)已知x>0，求y＝的最大值．
解　(1)因为x<3，所以3－x>0.
又因为y＝2(x－3)＋＋7＝－＋7，
由均值不等式可得2(3－x)＋≥
2＝2，
当且仅当2(3－x)＝，
即x＝3－时，等号成立，
于是－≤－2，－
＋7≤7－2，
故y的最大值是7－2.
(2)y＝＝.
因为x>0，
所以x＋≥2＝2，
当且仅当x＝，
即x＝1时，等号成立．
所以0 故y的最大值为1.

11．(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有(　　)
A．(1,4) B．(6,8) C．(7,12) D.
答案　AC
解析　设矩形的长和宽分别为x，y，
则x＋y＝l，S＝xy.
对于(1,4)，则x＋y＝2，xy＝1，
根据均值不等式满足xy≤2，符合题意；
对于(6,8)，则x＋y＝4，xy＝6，
根据均值不等式不满足xy≤2，不符合题意；
对于(7,12)，则x＋y＝6，xy＝7，
根据均值不等式满足xy≤2，符合题意；
对于，则x＋y＝，xy＝3，
根据均值不等式不满足xy≤2，不符合题意．
12．设x>0，则y＝x＋－的最小值是________．
答案　0
解析　因为x>0，所以x＋>0，
所以y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，
当且仅当x＋＝，
即x＝时等号成立，
所以y＝x＋－的最小值为0.
13．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝8，b＋c＝10，则此三角形面积的最大值为________．
答案　12
解析　由已知可得p＝＝9，
所以S＝
＝3≤＝12.
当且仅当b＝c＝5时，等号成立．故该三角形面积的最大值为12.
14．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
答案　x≤
解析　用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，
则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝≤＝1＋，∴x≤.
当且仅当a＝b时，等号成立．

15．(多选)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的所有的无字证明为(　　)

A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C.≥(a>0，b>0)
D.≥(a≥0，b>0)
答案　AC
解析　由AC＋CB＝a＋b，得OD＝，
由Rt△ACD∽Rt△DCB可知
CD＝＝，
又OD≥CD，∴≥(a>0，b>0)，A正确；
由Rt△CDE∽Rt△ODC可知CD2＝DE·OD，
即DE＝＝＝，
又CD≥DE，即≥(a>0，b>0)，C正确．
16．已知a，b为正实数，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
解　(1)因为a，b为正实数，且＋＝2，
所以＋＝2≥2，
即ab≥(当且仅当a＝b＝时，等号成立)．
因为a2＋b2≥2ab≥2×＝1(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，
所以a2＋b2的最小值为1.
(2)因为＋＝2，所以a＋b＝2ab.
因为(a－b)2≥4(ab)3，所以(a＋b)2－4ab≥4(ab)3，
即(2ab)2－4ab≥4(ab)3，
即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0.
因为a，b为正实数，所以ab＝1.