数学必修 第一册3.1.2 函数的单调性集体备课ppt课件

这是一份数学必修 第一册3.1.2 函数的单调性集体备课ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了增函数与减函数的定义，注意点，反思感悟，∵x1x20，求函数的单调区间，单调性，函数单调性的应用，函数的最值，最值点，－31等内容，欢迎下载使用。

1.理解函数的单调性的定义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性.
2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间.
3.理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值.
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函数单调性的判断与证明
问题1　观察下面三个函数图形，他们的图像有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？
提示　函数y＝x的图像从左向右看是上升的；函数y＝x2的图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图像在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.
问题2　如何理解函数图像是上升的？
提示　从左向右的方向看函数的图像，当图像上点的横坐标逐渐增大时，点的纵坐标也逐渐变大，即函数的自变量逐渐增大时，对应的函数值逐渐增大.
(1)区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性；(2)同区间性，即x1，x2∈I；(3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替；(4)有序性，即要规定x1，x2的大小；(5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一，但自变量和函数值的不等方向要一致(相反)，简称为“步调一致(相反)增(减)函数”；
(6)函数单调性的判断与证明：①观察函数的图像判断；②利用单调性的定义和不等式证明.
任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1因为11，x1x2－1>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)延伸探究　若本例的函数不变，试判断f(x)在(0,1)上的单调性.
理由如下：任取x1，x2∈(0,1)，且x1因为00，即f(x1)>f(x2).
利用定义证明函数单调性的4个步骤
求证：函数f(x)＝ 在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数.
对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
问题3　“函数y＝f(x)在I上单调递增”与“函数y＝f(x)的单调递增区间为I”含义相同吗？
提示　不同.“函数y＝f(x)在I上单调递增”是指区间I为函数y＝f(x)的一个单调递增区间，还可能存在其他单调递增区间；“函数y＝f(x)的单调递增区间为I”是指除区间I外，函数y＝f(x)不存在其他单调递增区间.
如果函数y＝f(x)在I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在I上具有 (当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).
如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接.
画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图像，并指出函数的单调区间.
当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
作出函数的图像如图所示，
所以函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间为(－∞，－1)和[0,1)，单调递减区间为[－1,0)和[1，＋∞).
求函数单调区间的两种方法(1)定义法.即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解.(2)图像法.即先画出图像，根据图像求单调区间.
作出函数f(x)＝ 的图像，并指出函数f(x)的单调区间.
问题4　如图所示是函数y＝－x2－2x，y＝－2x＋1(x∈[－1，＋∞))，y＝f(x)的图像.观察并描述这三个图像的共同特征.
提示　函数y＝－x2－2x的图像有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的图像有最高点B，函数y＝f(x)的图像有最高点C，也就是说，这三个函数的图像的共同特征是都有最高点.
问题5　你是怎样理解函数图像最高点的？
提示　图像最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值.
(1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标.(2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R.(3)一个函数至多有一个最大(小)值.(4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性.
命题角度1　利用函数的单调性比较大小
已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，试比较f(a2－a＋1)与的大小.
又f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，
利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
(1)定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有>0，则A.f(3)则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，则f(x)在R上是增函数.又3>2>1，则f(1)(2)若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是A.f(a)>f(2a) B.f(a2)当a<0时，a>2a，因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f(a)f(a)，故B不正确.当a＝0时，a2＋a＝a＝0，所以f(a2＋a)＝f(a)，故C不正确.因为a2＋1>a2，函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f(a2＋1)命题角度2　利用函数的单调性解不等式
已知函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)∵函数f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，
解得1≤x≤2，①又∵f(x－2)利用函数的单调性解不等式的注意点利用函数的单调性解不等式的实质是单调性的逆用，如果f(x1)必须注意两点：①两边化为同名函数的不同函数值；②自变量必须化到同一单调区间上，若转化不了，就进行讨论.
(1)已知函数y＝f(x)在定义域(－2,2)上是减函数，且f(2－a2)(2)函数f(x)是定义在R上的减函数，其图像过点(－3,2)和(1，－2)，则使|f(x)|<2的自变量x的取值范围是________.
∵f(x)是定义在R上的减函数，f(－3)＝2，f(1)＝－2，∴当x>－3时，f(x)<2；当x<1时，f(x)>－2，故当－3命题角度3　利用单调性求最值
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；
f(x)在[3,5]上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈[3,5]，且x1因为3≤x10，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(2)求函数f(x)的最大值和最小值.
由(1)知，f(x)在[3,5]上单调递增，
利用函数单调性求最值的方法(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a).(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b).(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值.
设x1，x2是[2,4]上任意两个实数，且x1因为2≤x11.知识清单： (1)函数单调性的判断与证明. (2)函数的单调区间的求法. (3)单调性的应用.2.方法归纳：数形结合法.3.常见误区：函数的单调区间误用并集.
1.如图是函数y＝f(x)的图像，则此函数的单调递减区间的个数是
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
由图像，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个.
2.函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数x1，x2，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则函数f(x)在(a，b)上是A.增函数 B.减函数C.不增不减函数 D.既增又减函数
即当x1f(x2)或当x1>x2时，f(x1)3.函数y＝x2－6x的单调递减区间是A.(－∞，2] B.[2，＋∞)C.[3，＋∞) D.(－∞，3]
y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故单调递减区间为(－∞，3].
4.函数f(x)＝ 在[1，＋∞)上A.有最大值，无最小值B.有最小值，无最大值C.有最大值，也有最小值D.无最大值，也无最小值
所以f(x)在[1，＋∞)上有最大值，无最小值.
5.函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，若函数f(x)在区间[－4，－2]上单调递减，在区间[－2,6]上单调递增，且f(－4)作出符合条件的函数的简图(图略)，可知最小值为f(－2)，最大值为f(6).
1.如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是A.函数在区间[－5，－3]上单调递增B.函数在区间[1,4]上单调递增C.函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D.函数在区间[－5,5]上没有单调性
单调区间不能用“∪”连接.
2.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是A.y＝3－x B.y＝x2＋1C.y＝ D.y＝－|x＋1|
y＝x2＋1在(0,2)上是增函数.
3.函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的单调递增区间分别是A.(－∞，0]，(－∞，1] B.(－∞，0]，(1，＋∞)C.[0，＋∞)，(－∞，1] D.[0，＋∞)，[1，＋∞)
分别作出f(x) 与g(x)的图像(图略)得，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在(－∞，1]上单调递增，选C.
4.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为A.－1　　　B.0　　　C.1　　　D.2
因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以函数f(x)图像的对称轴为x＝2.所以f(x)在[0,1]上单调递增.又因为f(x)在[0,1]上的最小值为－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2.所以f(x)的最大值为f(1)＝－1＋4－2＝1.
5.(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是A.　　　　　 >0B.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C.f(a)≤f(x1)f(x2)
由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B正确；对于选项C，D，因为x1，x2的大小关系无法判断，所以f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断，故C，D不正确.
6.若f(x)在R上单调递减，且f(x－2)函数的定义域为R，由条件可知，x－2>3，解得x>5.
7.若二次函数f(x)＝x2－2ax＋m在(－∞，2]上是减函数，则a的取值范围是___________.
题中二次函数图像的对称轴为x＝a，由二次函数的图像，知函数在(－∞，a]上单调递减，∴a≥2.
8.已知函数f(x)＝ 则f(x)的单调递减区间是___________，单调递增区间是___________.
因为当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是[1，＋∞).
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1因为－10，x2＋1>0，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值.
由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增，
设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1∵00.由于x1x2－9的符号不能确定，因此需要对x1，x2的取值进行讨论.
当x1，x2∈(0,3]时，有x1x2－9<0，
∴f(x)在区间(0,3]上是减函数；当x1，x2∈[3，＋∞)时，有x1x2－9>0，
即f(x1)故f(x)的最小值为f(3)＝6.
11.已知函数f(x)＝　　　　　　　　　是R上的减函数，则实数a的取值范围是A.(0,3)　　　B.(0,3]　　　C.(0,2)　　　D.(0,2]
12.(多选)若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值可以是A.2　　　B.－2　　　C.1　　　D.0
依题意，当a>0时，y＝ax＋1在x＝2处取得最大值，在x＝1处取得最小值，所以2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2.当a<0时，y＝ax＋1在x＝1处取得最大值，在x＝2处取得最小值，所以a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2.
13.设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为___________.
令y＝－2，f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1，∴不等式f(x)＋f(－2)>1，即为f(－2x)>f(3).∵f(x)是定义在R上的增函数，
14. 已知函数f(x)＝　　　　　　　 若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是___________.
画出f(x)的图像(图略)可判断f(x)在R上单调递增，故f(4－a)>f(a)⇔4－a>a，解得a<2.
15. (多选)已知f(x)是定义在R上的增函数，则下列结论中错误的有A.y＝[f(x)]2是增函数B.y＝ (f(x)≠0)是减函数C.y＝－f(x)是减函数D.y＝|f(x)|是增函数
设f(x)＝x，满足在R上单调递增.对于A选项，y＝x2在(－∞，0)上单调递减，故A选项结论错误.
故B选项结论错误.对于C选项，y＝－x是减函数.
以下证明一般性：由于f(x)是定义在R上的增函数，根据复合函数的单调性同增异减可知，y＝－f(x)是R上的减函数.故C选项结论正确.对于D选项，y＝|x|在(－∞，0)上单调递减，故D选项结论错误.
16.若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x>0，y>0，满足 ＝f(x)－f(y).(1)求f(1)的值；
令x＝y＝1，则有f(1)＝f(1)－f(1)，∴f(1)＝0.