高中数学第三章函数3.3 函数的应用(一)导学案

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这是一份高中数学第三章函数3.3 函数的应用(一)导学案，共7页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{x|－1A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
答案 C
解析集合A＝{1,2,3}，B＝{x|－12．集合A＝{x∈N|0A．3 B．4 C．7 D．8
答案 C
解析 ∵集合A＝{x∈N|0∴真子集的个数是23－1＝7.
3．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是( )
A．对任意x∈R，都有x2<1
B．不存在x∈R，使得x2<1
C．存在x∈R，使得x2≥1
D．存在x∈R，使得x2<1
答案 D
解析因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2<1.
4．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于( )
A．0 B．1 C．2 D．－1
答案 C
解析由A＝B，得x＝0或y＝0.当x＝0时，x2＝0，
此时B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.
已知x＝0不合适，故y＝0，x＝1，则2x＋y＝2.
5．“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1与x轴只有一个交点；但若函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点，则a＝－1或a＝0，所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件．
6．王昌龄被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，内容为：“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．”由此推断，“返回家乡”是“攻破楼兰”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析由诗句可知不攻破楼兰，则不返回家乡，诗句中没有不返回家乡能推出不攻破楼兰，故“返回家乡”是“攻破楼兰”的充分不必要条件
7．已知集合A＝{x|a－2A．0≤a≤2 B．－2C．0答案 A
解析 A∩B＝∅⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2≥－2，,a＋2≤4))⇔0≤a≤2.
8．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))
答案 C
解析若a＝0，则不等式等价为2x＋3>0，
对于∀x∈R不恒成立，
若a≠0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝4－12a<0，))解得a>eq \f(1,3)，
∴当命题p为真命题时，a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))，
∴若使命题p为假命题，则a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3))).
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知集合 A＝{x|ax≤2}，B＝{2，eq \r(2)}，若 B⊆A，则实数 a 的值可能是( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
答案 ABC
解析因为B⊆A，所以2∈A，eq \r(2)∈A，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a≤2，,\r(2)a≤2，))解得a≤1.
10．下列说法正确的是( )
A．命题“∀x∈R，x2>－1”的否定是“∃x∈R，x2<－1”
B．命题“∃x∈(－3，＋∞)，x2≤9”的否定是“∀x∈(－3，＋∞)，x2>9”
C．“x2>y2”是“x>y”的必要不充分条件
D．“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件
答案 BD
解析 A项，命题“∀x∈R，x2>－1”的否定是“∃x∈R，x2≤－1”，故错误；
B项，命题“∃x∈(－3，＋∞)，x2≤9”的否定是“∀x∈(－3，＋∞)，x2>9”，正确；
C项，x2>y2⇔|x|>|y|，|x|>|y|不能推出x>y，x>y也不能推出|x|>|y|，所以“x2>y2”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故错误；
D项，关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－4m>0，,m<0))⇔m<0，所以“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件，正确．
11．给出下列四个条件其中能成为x>y的充分条件的是( )
A．xt2>yt2 B．xt>yt
C．2x>2y D．0答案 ACD
解析 A，由xt2>yt2可知t2>0，
所以x>y，故xt2>yt2⇒x>y；
B，当t>0时，x>y；当t<0时，xyt⇏x>y；
C，2x>2y⇒x>y；
D，0y.
12．若x∈{x|xk＋3}是x∈{x|－4A．－8 B．－5 C．1 D．4
答案 ACD
解析由题意知(－4,1)(－∞，k)∪(k＋3，＋∞)，
所以k≥1或k＋3≤－4，
即k∈(－∞，－7]∪[1，＋∞)．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这四句诗中，可作为命题的是________________．
答案红豆生南国
解析 “红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．
14．已知p：－1答案 (－2,2) 2
解析由p：－115．已知集合A＝{x|x答案 {a|a≥2}
解析因为B＝{x|1观察∁RB与A在数轴上表示的区间，如图所示，
可得当a≥2时，A∪(∁RB)＝R.
16．当A，B是非空集合，定义运算A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若M＝{x|x≤1}，N＝{x|0≤x≤1}，则M－N＝________.
答案 {x|x<0}
解析画出数轴如图．
∴M－N＝{x|x∈M，且x∉N}＝{x|x<0}．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知全集U为R，集合A＝{x|01}．求：
(1)A∩B；
(2)(∁UA)∩(∁UB)；
(3)∁U(A∪B)．
解 (1)在数轴上画出集合A和B，可知A∩B＝{x|1(2)∁UA＝{x|x≤0或x>2}，∁UB＝{x|－3≤x≤1}．
在数轴上画出集合∁UA和∁UB，
可知(∁UA)∩(∁UB)＝{x|－3≤x≤0}．
(3)由(1)中数轴可知，A∪B＝{x|x<－3或x>0}．
所以∁U(A∪B)＝{x|－3≤x≤0}．
18．(12分)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假性．
(1)∀x∈Z，|x|∈N；
(2)每一个平行四边形都是中心对称图形；
(3)∃x∈R，x＋1≤0；
(4)∃x∈R，x2＋2x＋3＝0.
解 (1)∃x∈Z，|x|∉N，假命题．
(2)有些平行四边形不是中心对称图形，假命题．
(3)∀x∈R，x＋1>0，假命题．
(4)∀x∈R，x2＋2x＋3≠0，真命题．
19．(12分)若一个数集中任何一个元素的倒数仍是该数集中的元素，则称该数集为“可倒数集”．
(1)判断集合A＝{－1,1,2}是否为可倒数集；
(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．
解 (1)由于2的倒数为eq \f(1,2)，eq \f(1,2)不在集合A中，故集合A不是可倒数集．
(2)若a∈B，则必有eq \f(1,a)∈B，现已知集合B中含有3个元素，故必有1个元素a＝eq \f(1,a)，即a＝±1.故可以取集合B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，2，\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，3，\f(1,3)))等．
20．(12分)已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}．
(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
解 (1)由题意得M＝{2}，当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
则M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．
(2)因为M∩N＝M，所以M⊆N，因为M＝{2}，所以2∈N.
所以2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，
即4－6＋m＝0，解得m＝2.
经验证，当m＝2时，满足题意，故m＝2.
21．(12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
证明必要性：∵方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根ξ，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ξ2＋2aξ＋b2＝0，,ξ2＋2cξ－b2＝0))⇒ξ＝eq \f(－b2,a－c)＝eq \f(b2,c－a).
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,c－a)))2＋2c·eq \f(b2,c－a)－b2＝0⇒a2＝b2＋c2，
∴∠A＝90°.
充分性：若∠A＝90°，则a2＝b2＋c2，
易得x0＝eq \f(b2,c－a)是两个方程的公共根．
综上可知，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
22．(12分)已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}．
(1)若a＝3，求(∁RP)∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解因为P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0.
(1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}，
(∁RP)＝{x|x<4或x>7}，
Q＝{x|－2≤x≤5}，
所以(∁RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}．
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即PQ，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1≥－2，,2a＋1≤5，,a≥0，))
且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得，
解得0≤a≤2，
即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}．

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