高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法第3课时学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法第3课时学案，共14页。学案主要包含了分段函数的定义域，分段函数的求值问题，分段函数的图像及应用等内容，欢迎下载使用。

导语
大家知道国家电网依据什么来收取电费吗？其实他们按不同的时间段来收取费用，一般来说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些，反映到我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电的费用，生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳税等．这些都属于我们今天要研究的分段函数的范畴．
一、分段函数的定义域、值域
问题 函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，x<0，,x，x≥0))是两个函数吗？
提示 是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同．
知识梳理
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
注意点：
(1)分段函数的重要特征是其在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系．
(2)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
例1 (1)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，0≤x≤1，,2，1A．R B．[0,2]∪{3}
C．[0，＋∞) D．[0,3]
答案 B
解析 当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当1(2)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋1，0答案 (－1,1) (－1,1)
解析 由已知得，f(x)的定义域为{x|0(－1,0)∪{0}∪(0,1)＝(－1,1)．
反思感悟 (1)分段函数定义域、值域的求法
①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集．
②分段函数的值域是各段函数值域的并集．
(2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1，))则函数的定义域为________，值域为________．
答案 R [0,1]
解析 由已知得，f(x)的定义域为[－1,1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R，又当x∈[－1,1]时，x2∈[0,1]，故函数的值域为[0,1]．
(2)若定义运算a⊙b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b，a≥b，,a，a答案 (－∞，1]
解析 由题意得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x<1，,2－x，x≥1.))画函数f(x)的图像如图所示，得值域是(－∞，1]．
二、分段函数的求值问题
例2 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2解 由－5∈(－∞，－2]，－eq \r(3)∈(－2,2)，
－eq \f(5,2)∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－eq \r(3))＝(－eq \r(3))2＋2×(－eq \r(3))＝3－2eq \r(3).
因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝－eq \f(5,2)＋1＝－eq \f(3,2)，
－2<－eq \f(3,2)<2，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(9,4)－3＝－eq \f(3,4).
延伸探究
1．本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．
解 ①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，
所以a＝2>－2不合题意，舍去．
②当－2即a2＋2a－3＝0.所以(a－1)(a＋3)＝0，
所以a＝1或a＝－3.
因为1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，所以a＝1符合题意．
③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意．
综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
2．本例条件不变，若f(x)>3，求x的取值范围．
解 ①当x≤－2时，x＋1>3，解得x>2，
又x≤－2，所以x∈∅.
②当－23，解得x>1或x<－3，
所以1③当x≥2时，2x－1>3，解得x>2，
又x≥2，所以x>2，
综上，若f(x)>3，则x的取值范围是(1,2)∪(2，＋∞)．
反思感悟 (1)求分段函数的函数值的方法
①确定要求值的自变量属于哪一段区间．
②代入该段的解析式求值，当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求某条件下自变量的值(或范围)的方法
先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内．
跟踪训练2 (1)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2，x≤1，,x2＋x－2，x>1，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,f2)))等于( )
A.eq \f(15,16) B．4 C．3 D．－3
答案 A
解析 依题意知f(2)＝22＋2－2＝4，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,f2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2＝eq \f(15,16).
(2)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≥－2，,－x－2，x<－2.))若f(x)>2，则x的取值范围是________．
答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析 当x≥－2时，f(x)＝x＋2，
由f(x)>2，得x＋2>2，解得x>0，故x>0；
当x<－2时，f(x)＝－x－2，
由f(x)>2，得－x－2>2，
解得x<－4，故x<－4.
综上可得，x>0或x<－4.
三、分段函数的图像及应用
eq \x(命题角度1 分段函数的图像的画法)
例3 (1)函数y＝eq \f(x2,|x|)的图像的大致形状是( )
答案 A
解析 因为y＝eq \f(x2,|x|)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x>0，,－x，x<0，))所以函数的图像为选项A.
(2)分别作出下列分段函数的图像，并写出定义域及值域．
①y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，0②y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3，x<－2，,－3x，－2≤x<2，,－3，x≥2.))
解 各函数对应图像如图所示：
由图像知，①的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)；
②的定义域是R，值域是(－6,6]．
反思感悟 分段函数图像的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图像，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图像．
(2)作分段函数的图像时，分别作出各段的图像，在作每一段图像时，先不管定义域的限制，作出其图像，再保留定义域内的一段图像即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝eq \f(|x|－x,2)＋1(－2(1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数；
(2)在坐标系中画出该函数的图像，并写出该函数的值域．
解 (1)①当0≤x≤2时，f(x)＝eq \f(x－x,2)＋1＝1.
②当－2故f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，0≤x≤2，,－x＋1，－2(2)函数f(x)的图像如图所示：
由图可知，函数f(x)的值域为[1,3)．
eq \x(命题角度2 分段函数的图像的应用)
例4 某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图像是一条折线(如图所示)，根据图像解决下列问题．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准；
(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？
解 (1)当0≤x≤100时，设函数解析式为y＝kx(k≠0)．
将x＝100，y＝65代入，
得k＝0.65，所以y＝0.65x.
当x>100时，设函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)．
将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(100a＋b＝65，,130a＋b＝89，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0.8，,b＝－15.))
所以y＝0.8x－15.
综上可得，y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.65x，0≤x≤100，,0.8x－15，x>100.))
(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.8元．
(3)当x＝62时，y＝62×0.65＝40.3(元)；
当y＝105时，
因为0.65×100＝65<105，故x>100，
所以105＝0.8x－15，解得x＝150.
即若该用户某月用电62度，则应交费40.3元；若该用户某月交费105元，则该用户该月用了150度电．
反思感悟 由分段函数的图像确定函数解析式的步骤
(1)定类型：根据自变量在不同范围内图像的特点，先确定函数的类型．
(2)设函数式：设出函数的解析式．
(3)列方程(组)：根据图像中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式．
(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围．
跟踪训练4 如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿逆时针方向由B点(起点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y.
(1)根据题意写出y与x之间的函数解析式；
(2)作出函数的图像，并根据图像求y的最大值．
解 (1)点P移动，△ABP的面积随之变化，可分点P落在边BC上，CD上，DA上三种情况进行讨论，得解析式．
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x∈0，4]，,8，x∈4，8]，,－2x＋24，x∈8，12.))
(2)函数的图像如图所示．由图像可得ymax＝8.
1．知识清单：
(1)分段函数的定义域和值域．
(2)分段函数的求值问题．
(3)分段函数的图像及应用．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：
(1)误认为分段函数是几个函数，求定义域和值域时不是求的并集．
(2)分段函数的端点是否包含．
1．函数f(x)＝|x－1|的图像是( )
答案 B
解析 方法一 函数的解析式可化为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x≥1，,1－x，x<1.))
画出此分段函数的图像，故选B.
方法二 由f(－1)＝2，知图像过点(－1,2)，排除A，C，D，故选B.
2．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，x≤0，,x2，x>0.))若f(a)＝4，则实数a等于( )
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
答案 B
解析 当a≤0时，f(a)＝－a＝4，解得a＝－4；当a>0时，f(a)＝a2＝4，解得a＝2或a＝
－2(舍)．
综上，a＝－4或a＝2.
3.如图，在△AOB中，点A(2,1)，B(3,0)，点E在射线OB上自O开始移动．设OE＝x，过E作OB的垂线l，记△AOB在直线l左边部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图像是( )
答案 D
解析 设直线l交△AOB于点F.
当0≤x≤2时，△OEF的高EF＝eq \f(1,2)x，
所以S＝eq \f(1,2)x·eq \f(1,2)x＝eq \f(1,4)x2；
当2所以S＝eq \f(1,2)×3×1－eq \f(1,2)(3－x)(3－x)＝－eq \f(1,2)x2＋3x－3；
当x>3时，S＝eq \f(1,2)×3×1＝eq \f(3,2).
综上有S＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,4)x2，0≤x≤2，,－\f(1,2)x2＋3x－3，23.))
结合图像知选D.
4.(多选)函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋1，x>0,x＋1，x≤0))
B．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－1，x>0,x＋1，x≤0))
C．f(x)＝－|x|＋1
D．f(x)＝|x＋1|
答案 AC
5．设x为任意一个实数，{x}是不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－{x}，x∈(0,3]的值域是________．
答案 [0,1)
解析 f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x∈0，1，,x－1，x∈[1，2，,x－2，x∈[2，3，,x－3，x＝3，))
所以f(x)的值域是[0,1)．
1．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，1A．R B．{2,3}
C．(1，＋∞) D．(1,2]
答案 B
2．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x>1，))则f(f(3))等于( )
A.eq \f(1,5) B．3 C.eq \f(2,3) D.eq \f(13,9)
答案 D
解析 由题意得f(3)＝eq \f(2,3)，所以f(f(3))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＋1＝eq \f(4,9)＋1＝eq \f(13,9).
3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x∈[－1，0]，,x2＋1，x∈0，1]，))则函数y＝f(x)的图像是( )
答案 A
解析 当x＝－1时，y＝0，即图像过点(－1,0)，故D错；当x＝0时，y＝1，即图像过点(0,1)，故C错；当x＝1时，y＝2，即图像过点(1,2)，故B错．故选A.
4．(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤－1，,x2，－1A．f(x)的定义域为R
B．f(x)的值域为(－∞，4)
C．f(1)＝3
D．若f(x)＝3，则x的值是eq \r(3)
答案 BD
解析 由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；
当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1当x＝1时，f(1)＝12＝1，故C错误；
当x≤－1时，由x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，当－15．著名的狄利克雷函数D(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x∈Q，,0，x∉Q，))则D(D(x))等于( )
A．0 B．1
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x∉Q，,0，x∈Q)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x∈Q，,0，x∉Q))
答案 B
解析 ∵D(x)∈{0,1}，
∴D(x)∈Q，
∴D(D(x))＝1.
6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≤－2，,x＋1，－2答案 (－∞，－3)
解析 当a≤－2时，f(a)＝a<－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；
当－2当a≥4时，f(a)＝3a<－3，此时不等式无解．
故a的取值范围是(－∞，－3)．
7.函数y＝f(x)的图像如图所示，则其解析式为________．
答案 f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，0≤x≤1，,2，1解析 当0≤x≤1时，设f(x)＝kx(k≠0)，又过点(1,2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；
当1综上，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，0≤x≤1，,2，18．分段函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x>0，,－x，x≤0))可以表示为f(x)＝|x|，分段函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≤3，,3，x>3))可表示为f(x)＝eq \f(1,2)(x＋3－|x－3|)．仿此，分段函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6，x<6，,x，x≥6))可以表示为f(x)＝________.
答案 eq \f(1,2)(x＋6＋|x－6|)
解析 因为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≤3，,3，x>3))可表示为f(x)＝eq \f(1,2)(x＋3－|x－3|)，其分界点为3.从而式子中含有x＋3与x－3.并通过|x－3|前面的“－”达到需要的结果的形式．
仿此，对于分段函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6，x<6，,x，x≥6，))其分界点为6.
故式子中应含有x＋6与x－6.
又x<6时，f(x)＝6.
故|x－6|的前面应取“＋”．
因此f(x)＝eq \f(1,2)(x＋6＋|x－6|)．
9．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11：00到12：00他骑了多少千米？
(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．
(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)第一次休息时，离家17千米．
(4)11：00至12：00他骑了13千米．
(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；
10：00～10：30的平均速度是14 千米/时．
(6)从12：00～13：00停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．
10．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5 km以内(含5 km)，票价2元；
(2)5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的部分按5 km计算)．
如果某条线路的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像．
解 设里程为x km时，票价为y元．
由题意可知，自变量x的取值范围是(0,20]．由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得函数解析式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，0根据这个函数的解析式，可画出函数的图像，如图所示．
11．(多选)设x∈R，定义符号函数sgn x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))则下列各式不正确的是( )
A．x＝－x|sgn x| B．x＝－xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
答案 ABC
解析 对于选项A，右边＝－x|sgn x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，x≠0，,0，x＝0，))而左边＝x，显然不正确；
对于选项B，右边＝－xsgn|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，x≠0，,0，x＝0，))而左边＝x，显然不正确；
对于选项C，右边＝|x|sgn x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x|，x>0，,0，x＝0，,－|x|，x<0))＝x，x∈R，
而左边＝|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x<0，))显然不正确；
对于选项D，右边＝xsgn x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x>0，,0，x＝0，,－x，x<0，))
而左边＝|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x<0，))显然正确．
12．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x≥0，,0，x<0，))则不等式xf(x)＋x≤2的解集是( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≤2}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|x<0}
答案 A
解析 因为当x≥0时，f(x)＝1，
所以xf(x)＋x≤2⇔x≤1，所以0≤x≤1；
因为当x<0时，f(x)＝0，
所以xf(x)＋x≤2⇔x≤2，所以x<0.
综上，x≤1.
13．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,\r(x))，x答案 60 16
解析 因为组装第A件产品用时15分钟，所以eq \f(c,\r(A))＝15.①
由题意知4由①②解得c＝60，A＝16.
14．设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________．
答案 (－∞，2]
解析 当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；
当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；
当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.
故y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－2，x≥1，,－5x＋2，0≤x<1，,x＋2，x<0.))
根据函数解析式作出函数图像，如图所示．
由图像可以看出，函数的值域为(－∞，2]．
15．给定函数f(x)＝2x－1，g(x)＝－2x＋3，x∈R，用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小值，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，则m(x)＝________，m(x)的最大值为________．
答案 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x<1，,－2x＋3，x≥1)) 1
16．对定义域分别是Df，Dg的函数y＝f(x)，y＝g(x)，规定：
函数h(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx·gx，当x∈Df且x∈Dg，,fx，当x∈Df且x∉Dg，,gx，当x∉Df且x∈Dg.))
(1)若函数f(x)＝－2x＋3，x≥1；g(x)＝x－2，x∈R，写出函数h(x)的解析式；
(2)求(1)中函数h(x)的最大值．
解 (1) h(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x2＋7x－6，x∈[1，＋∞，,x－2，x∈－∞，1.))
(2)当x≥1时，h(x)＝－2x2＋7x－6＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(7,4)))2＋eq \f(1,8)，
∴h(x)≤eq \f(1,8).
当x<1时，h(x)<－1，
∴当x＝eq \f(7,4)时，h(x)取最大值且最大值是eq \f(1,8).