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人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法课前预习课件ppt
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这是一份人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法课前预习课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了函数关系的判断，提示略，函数的有关概念，知识梳理，实数集，每一个实数x，唯一确定，y＝fx，取值的范围，注意点等内容，欢迎下载使用。
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域.
在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l＝4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数.这个函数与正比例函数y＝4x相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断y＝x与y＝ 是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数的概念.
问题1 你还记得初中所学函数的概念吗？
提示 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数.
问题2 下面三个例子所给出的两个变量是函数关系吗？(1)某“复兴号”高速列车运行速度到350 km/h后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系是函数关系吗？
提示 是.s与t的关系可以表示为s＝350t，此时t的变化范围是数集A1＝{t|0≤t≤0.5}，s的变化范围是数集B1＝{s|0≤s≤175}，对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系s＝350t，在数集B1中都有唯一确定的路程s和它对应.
(2)如图，是某市某日的空气质量指数变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？
(3)国际上常用恩格尔系数 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.如表是我国某省城镇居民恩格尔系数的变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？ 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
问题3 上述例子中的函数有哪些共同特征？
提示 共同特征有：(1)都包含两个非空数集，用A，B来表示；(2)都有一个对应关系；(3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.
(1)A，B是非空的实数集，定义域是数集A，函数的值域是集合B的子集；(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性；(3)函数符号“y＝f(x)”是一个整体，不表示y等于f与x的乘积；(4)函数三要素：定义域、对应关系与值域.
(1)(多选)下列对应关系f是定义在集合A上的一个函数的是A.A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数的平方B.A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数的开方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数D.A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，f：A中的数的2倍
A选项，(－1)2＝1,02＝0,12＝1，为一一对应关系，f是定义在集合A上的一个函数.
集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，f不是定义在集合A上的函数.C选项，A中的元素0的倒数没有意义，不符合函数定义，f不是定义在集合A上的函数.D选项，1×2＝2,2×2＝4,3×2＝6,4×2＝8，为一一对应关系，f是定义在集合A上的一个函数.
(2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出如图所示的四个图形：
其中，对应关系是定义在集合M上的一个函数的个数是A.0 B.1 C.2 D.3
①中，因为在集合M中当1
(1)判断对应关系是否为函数的两个条件①A，B必须是非空实数集.②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应.对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系.
(2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法①任取一条垂直于x轴的直线l.②在定义域内平行移动直线l.③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内有两个或两个以上的交点，则不是函数.
(1)下列对应关系中是定义在集合A上的一个函数的是A.A⊆R，B⊆R，x2＋y2＝1B.A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，y＝|x|＋1
对于B，符合函数的定义；对于C,2∈A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义.
(2)下列对应关系f是定义在集合A上的一个函数的是______(填序号).①A＝R，B＝R，对应关系f：y＝ ；②A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；③A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示.
②由f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，知集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应关系是定义在A上的一个函数.③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数.
函数的定义域、函数值和值域
问题4 初中我们学习过哪些函数？
提示 一次函数、二次函数和反比例函数.
问题5 你能说一说问题4中的几个函数的定义域、对应关系和值域分别是什么吗？
提示 一次函数的定义域是R，值域也是R，对应关系实际上就是f(x)＝ax＋b(a≠0)；
(1)求下列函数的定义域：
命题角度1 求函数的定义域
即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}.
即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}.
(2)已知函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，则y＝f(2x－1)的定义域是A.[－3,1] B.[－1,1]C.[－1,0] D.[0,1]
－1≤2x－1≤1,0≤2x≤2,0≤x≤1.
求函数定义域的常用依据(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义.(4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际情况，使实际问题有意义.
(1)设全集为R，函数f(x)＝ 的定义域为M，则∁RM等于A.{x|x≥2或x＝－1}B.{x|x<2且x≠－1}C.{x|x≥2}D.{x|x>2或x＝－1}
(2)若函数f(x)的定义域为[－3,5]，则函数φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域是________.
解得－3≤x≤3.所以函数φ(x)的定义域为[－3,3].
已知f(x)＝ (x∈R，且x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R).(1)求f(1)，g(1), g(f(1))的值；
g(f(1))＝g(1)＝5.
(2)求f(g(x)).
求函数值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x，即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
(1)已知f(x)＝ (x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(g(2))＝____，f(g(x))＝________.
(2)若函数f(x)满足f(x)－2f(2－x)＝－x2＋8x－8，则f(1)＝_____.
令x＝1，得f(1)－2f(1)＝－1＋8－8＝－1，∴f(1)＝1.
求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}；
当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5；当x＝3时，y＝7；当x＝4时，y＝9.所以函数y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}的值域为{3,5,7,9}.
借助反比例函数的特征.
即所求函数的值域为{y|y≠3}.
求函数值域常用的四种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域.(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f(x)＝ax＋b＋ (其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法.
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
则x＝t2＋1，且t≥0，所以y＝2(t2＋1)－t
问题6 构成函数的要素有哪些？
提示 定义域、对应关系和值域.
问题7 结合函数的定义，如何才能确定一个函数？
提示 有确定的定义域和对应关系，则此时值域唯一确定.
如果两个函数表达式表示的函数 相同， 也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.
(1)两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同，故判断两个函数是否为同一函数时，只需判断定义域和对应关系是否相同即可.(2)定义域和值域分别相同的两个函数不一定是同一个函数.
(多选)下列各组函数表示同一个函数的是
A中，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝( )2的定义域为{x|x≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数.B中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数.C中，由于g(x)＝ ＝1的定义域为{x|x≠0}，故它们的定义域相同，所以它们是同一个函数.D中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数.
在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才是同一个函数.值域相等，只是前两个要素相等的必然结果.
下列各组式子是否表示同一个函数？为什么？
∵f(x)与φ(t)的定义域相同，
即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一个函数.
∴两函数的对应关系也相同.
1.知识清单： (1)函数的概念. (2)函数的定义域、值域. (3)同一个函数的判定.2.方法归纳：观察法、换元法、配方法、分离常数法.3.常见误区： (1)定义域中的每一个自变量都有唯一确定的值与其相对应. (2)自变量用不同字母表示不影响同一个函数的判断.
1.下列四个图像中，不是以x为自变量的函数的图像是
根据函数定义，可知对自变量x的任意一个值，都有唯一确定的实数(函数值)与之对应，显然选项A，B，D满足函数的定义，而选项C不满足.
A.{x|x≤1} B.{x|x≥0}C.{x|x≥1或x≤0} D.{x|0≤x≤1}
4.如果函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为A.{－1,0,3} B.{0,1,2,3}C.{y|－1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3}
当x取0,1,2,3时，y的值分别为0，－1,0,3，则其值域为{－1,0,3}.
5.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是
A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1,2}，故错误；B中值域为{y|1≤y≤2}，故正确.
1.(多选)下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是A.y是x的函数B.x是y的函数C.对于不同的x，y也不同D.f(a)表示x＝a时，f(x)的函数值是一个常数
由函数的定义可知B错误，根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1，故C错误.
2.(多选)图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是
根据函数的定义，对应关系可以是多对一，或一对一，故选AD.
3.给出下列三个说法：①f(x)＝x0与g(x)＝1是同一个函数；②y＝f(x)，x∈R与y＝f(x＋1)，x∈R可能是同一个函数；③y＝f(x)，x∈R与y＝f(t)，t∈R是同一个函数.其中正确的个数是A.3 B.2 C.1 D.0
①错误.函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}，函数g(x)＝1的定义域是R，故不是同一个函数；②正确.y＝f(x)，x∈R与y＝f(x＋1)，x∈R，两函数定义域相同，对应关系可能相同，所以可能是同一个函数；③正确.两个函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一个函数.所以正确的个数是2.
4.设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是A.0 B.3a2－1C.6a2－2 D.6a2
f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.
5.已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系，其中对应关系是定义在集合M上的一个函数的是A.y＝x2 B.y＝x＋1C.y＝x－1 D.y＝|x|
6.已知函数f(x)＝ －1，且f(a)＝3，则a＝_____.
8.已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为_____________.
{－1,1,3,5,7}
∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}.
(1)求f(2)，g(3)的值；
因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8.
(2)求f(g(3))的值及f(g(x)).
(1)求函数f(x)的定义域；
解得－3≤x<－2或x>－2.即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞).
(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值.
∵a>0，∴a，a－1∈[－3，－2)∪(－2，＋∞).即f(a)，f(a－1)有意义.
11.如图可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域的函数图像，则该函数的值域是
12.下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为A.f(x)＝x＋1 B.f(x)＝－x2C.f(x)＝ D.f(x)＝|x|
对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立；对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立；
对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立.
13.已知f(2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则f(1)＝_____.
f(1)＝f(2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3.
14.已知函数f(x)的定义域为[1,4]，则f(x＋2)的定义域为________.
由1≤x＋2≤4，得－1≤x≤2.
15.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”.函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有A.10个 B.9个 C.8个 D.4个
由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”.
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域.
在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l＝4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数.这个函数与正比例函数y＝4x相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断y＝x与y＝ 是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数的概念.
问题1 你还记得初中所学函数的概念吗？
提示 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数.
问题2 下面三个例子所给出的两个变量是函数关系吗？(1)某“复兴号”高速列车运行速度到350 km/h后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系是函数关系吗？
提示 是.s与t的关系可以表示为s＝350t，此时t的变化范围是数集A1＝{t|0≤t≤0.5}，s的变化范围是数集B1＝{s|0≤s≤175}，对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系s＝350t，在数集B1中都有唯一确定的路程s和它对应.
(2)如图，是某市某日的空气质量指数变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？
(3)国际上常用恩格尔系数 反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.如表是我国某省城镇居民恩格尔系数的变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？ 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
问题3 上述例子中的函数有哪些共同特征？
提示 共同特征有：(1)都包含两个非空数集，用A，B来表示；(2)都有一个对应关系；(3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.
(1)A，B是非空的实数集，定义域是数集A，函数的值域是集合B的子集；(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性；(3)函数符号“y＝f(x)”是一个整体，不表示y等于f与x的乘积；(4)函数三要素：定义域、对应关系与值域.
(1)(多选)下列对应关系f是定义在集合A上的一个函数的是A.A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数的平方B.A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数的开方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数D.A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，f：A中的数的2倍
A选项，(－1)2＝1,02＝0,12＝1，为一一对应关系，f是定义在集合A上的一个函数.
集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，f不是定义在集合A上的函数.C选项，A中的元素0的倒数没有意义，不符合函数定义，f不是定义在集合A上的函数.D选项，1×2＝2,2×2＝4,3×2＝6,4×2＝8，为一一对应关系，f是定义在集合A上的一个函数.
(2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出如图所示的四个图形：
其中，对应关系是定义在集合M上的一个函数的个数是A.0 B.1 C.2 D.3
①中，因为在集合M中当1
(1)判断对应关系是否为函数的两个条件①A，B必须是非空实数集.②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应.对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系.
(2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法①任取一条垂直于x轴的直线l.②在定义域内平行移动直线l.③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内有两个或两个以上的交点，则不是函数.
(1)下列对应关系中是定义在集合A上的一个函数的是A.A⊆R，B⊆R，x2＋y2＝1B.A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，y＝|x|＋1
对于B，符合函数的定义；对于C,2∈A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义.
(2)下列对应关系f是定义在集合A上的一个函数的是______(填序号).①A＝R，B＝R，对应关系f：y＝ ；②A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；③A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示.
②由f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，知集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应关系是定义在A上的一个函数.③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数.
函数的定义域、函数值和值域
问题4 初中我们学习过哪些函数？
提示 一次函数、二次函数和反比例函数.
问题5 你能说一说问题4中的几个函数的定义域、对应关系和值域分别是什么吗？
提示 一次函数的定义域是R，值域也是R，对应关系实际上就是f(x)＝ax＋b(a≠0)；
(1)求下列函数的定义域：
命题角度1 求函数的定义域
即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}.
即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}.
(2)已知函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，则y＝f(2x－1)的定义域是A.[－3,1] B.[－1,1]C.[－1,0] D.[0,1]
－1≤2x－1≤1,0≤2x≤2,0≤x≤1.
求函数定义域的常用依据(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义.(4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际情况，使实际问题有意义.
(1)设全集为R，函数f(x)＝ 的定义域为M，则∁RM等于A.{x|x≥2或x＝－1}B.{x|x<2且x≠－1}C.{x|x≥2}D.{x|x>2或x＝－1}
(2)若函数f(x)的定义域为[－3,5]，则函数φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域是________.
解得－3≤x≤3.所以函数φ(x)的定义域为[－3,3].
已知f(x)＝ (x∈R，且x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R).(1)求f(1)，g(1), g(f(1))的值；
g(f(1))＝g(1)＝5.
(2)求f(g(x)).
求函数值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x，即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
(1)已知f(x)＝ (x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(g(2))＝____，f(g(x))＝________.
(2)若函数f(x)满足f(x)－2f(2－x)＝－x2＋8x－8，则f(1)＝_____.
令x＝1，得f(1)－2f(1)＝－1＋8－8＝－1，∴f(1)＝1.
求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}；
当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5；当x＝3时，y＝7；当x＝4时，y＝9.所以函数y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}的值域为{3,5,7,9}.
借助反比例函数的特征.
即所求函数的值域为{y|y≠3}.
求函数值域常用的四种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域.(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f(x)＝ax＋b＋ (其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法.
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
则x＝t2＋1，且t≥0，所以y＝2(t2＋1)－t
问题6 构成函数的要素有哪些？
提示 定义域、对应关系和值域.
问题7 结合函数的定义，如何才能确定一个函数？
提示 有确定的定义域和对应关系，则此时值域唯一确定.
如果两个函数表达式表示的函数 相同， 也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.
(1)两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同，故判断两个函数是否为同一函数时，只需判断定义域和对应关系是否相同即可.(2)定义域和值域分别相同的两个函数不一定是同一个函数.
(多选)下列各组函数表示同一个函数的是
A中，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝( )2的定义域为{x|x≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数.B中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数.C中，由于g(x)＝ ＝1的定义域为{x|x≠0}，故它们的定义域相同，所以它们是同一个函数.D中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数.
在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才是同一个函数.值域相等，只是前两个要素相等的必然结果.
下列各组式子是否表示同一个函数？为什么？
∵f(x)与φ(t)的定义域相同，
即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一个函数.
∴两函数的对应关系也相同.
1.知识清单： (1)函数的概念. (2)函数的定义域、值域. (3)同一个函数的判定.2.方法归纳：观察法、换元法、配方法、分离常数法.3.常见误区： (1)定义域中的每一个自变量都有唯一确定的值与其相对应. (2)自变量用不同字母表示不影响同一个函数的判断.
1.下列四个图像中，不是以x为自变量的函数的图像是
根据函数定义，可知对自变量x的任意一个值，都有唯一确定的实数(函数值)与之对应，显然选项A，B，D满足函数的定义，而选项C不满足.
A.{x|x≤1} B.{x|x≥0}C.{x|x≥1或x≤0} D.{x|0≤x≤1}
4.如果函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为A.{－1,0,3} B.{0,1,2,3}C.{y|－1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3}
当x取0,1,2,3时，y的值分别为0，－1,0,3，则其值域为{－1,0,3}.
5.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是
A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1,2}，故错误；B中值域为{y|1≤y≤2}，故正确.
1.(多选)下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是A.y是x的函数B.x是y的函数C.对于不同的x，y也不同D.f(a)表示x＝a时，f(x)的函数值是一个常数
由函数的定义可知B错误，根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1，故C错误.
2.(多选)图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是
根据函数的定义，对应关系可以是多对一，或一对一，故选AD.
3.给出下列三个说法：①f(x)＝x0与g(x)＝1是同一个函数；②y＝f(x)，x∈R与y＝f(x＋1)，x∈R可能是同一个函数；③y＝f(x)，x∈R与y＝f(t)，t∈R是同一个函数.其中正确的个数是A.3 B.2 C.1 D.0
①错误.函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}，函数g(x)＝1的定义域是R，故不是同一个函数；②正确.y＝f(x)，x∈R与y＝f(x＋1)，x∈R，两函数定义域相同，对应关系可能相同，所以可能是同一个函数；③正确.两个函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一个函数.所以正确的个数是2.
4.设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是A.0 B.3a2－1C.6a2－2 D.6a2
f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.
5.已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系，其中对应关系是定义在集合M上的一个函数的是A.y＝x2 B.y＝x＋1C.y＝x－1 D.y＝|x|
6.已知函数f(x)＝ －1，且f(a)＝3，则a＝_____.
8.已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为_____________.
{－1,1,3,5,7}
∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}.
(1)求f(2)，g(3)的值；
因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8.
(2)求f(g(3))的值及f(g(x)).
(1)求函数f(x)的定义域；
解得－3≤x<－2或x>－2.即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞).
(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值.
∵a>0，∴a，a－1∈[－3，－2)∪(－2，＋∞).即f(a)，f(a－1)有意义.
11.如图可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域的函数图像，则该函数的值域是
12.下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为A.f(x)＝x＋1 B.f(x)＝－x2C.f(x)＝ D.f(x)＝|x|
对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立；对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立；
对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立.
13.已知f(2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则f(1)＝_____.
f(1)＝f(2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3.
14.已知函数f(x)的定义域为[1,4]，则f(x＋2)的定义域为________.
由1≤x＋2≤4，得－1≤x≤2.
15.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”.函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有A.10个 B.9个 C.8个 D.4个
由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”.
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